Лекция_Напряжения при изгибе

Тема. Изгиб бруса

ЛЕКЦИЯ Напряжения при изгибе

12.1. Виды изгиба
12.2. Внутренние силовые факторы при изгибе, их взаимосвязь
12.3. Нормальные напряжения при чистом изгибе
12.4. Касательные напряжения при поперечном изгибе

Учебные вопросы

12.1. Виды изгиба

Основные понятия

Изгиб – вид деформации, при котором происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса.
Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

Основные понятия

Основные понятия

На сопротивляемость изгибу влияет величина
осевого момента инерции
сечения тела относительно этой оси


площади

Основные понятия

Основные понятия

Основные понятия

В общем случае плоского изгиба в сечении балки из шести внутренних усилий возникает два:
изгибающий момент;
поперечная сила.
Силовая плоскость – плоскость, в которой расположены внешние силы и моменты
Главная плоскость – плоскость, походящая через продольную ось бруса и через одну их главных центральных осей (это оси, относительно которых центробежный момент инерции равен 0, и проходят через центр тяжести сечения)

Основные понятия

Типы изгибов:
в зависимости от расположения плоскости действия изгибающей нагрузки относительно оси бруса – прямой, косой изгиб;
в зависимости от характера внешней нагрузки, приложенной к брусу, различают чистый изгиб и поперечный изгиб.

Основные понятия

Прямой
все силы и моменты, изгибающие балку, должны лежать в одной силовой плоскости, проходящей через ось стержня;
силовая плоскость должна совпадать с одной из главных центральных осей инерции сечения.
изгиб балки будет происходить в той же плоскости, что и плоскость нагружения, т. е. силовая плоскость и плоскость деформаций совпадают.

Основные понятия

Основные понятия

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент.

Основные понятия

Поперечный изгиб – изгиб, при котором в сечениях стержня кроме внутреннего изгибающего момента возникает и поперечная сила

Основные понятия

12.2. Внутренние силовые факторы при изгибе, их взаимосвязь

Дифференциальные зависимости при изгибе

дифференциальные зависимости Д. И. Журавского при изгибе

Дифференциальные зависимости при изгибе

12.3. Нормальные напряжения при чистом изгибе

Напряжения и деформации при чистом изгибе

При чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

а) продольные линии искривляются по длине окружности;
б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;
в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

Напряжения и деформации при чистом изгибе

Внутри бруса существует слой волокон, которые искривляются, но не меняют своей длины. Такой слой называется нейтральным слоем, а его след на плоскости сечения – нейтральной (нулевой) линией или осью

Напряжения и деформации при чистом изгибе

Основные предположения
справедлив закон Гука для каждого продольного волокна,
продольные волокна друг на друга не давят (пренебрегаем влиянием σх и σу, т.е. считаем, что σх=σу=0)
справедлива гипотеза плоских сечений
при чистом изгибе в поперечном сечении возникают только нормальные напряжения (τ=0)
по ширине сечения деформации и напряжения постоянны

Определение нормальных напряжений

Действие левой части представим в виде изгибавшего момента силы, которая является равнодействующей нормального напряжения
Действие правой в виде σzdA, приложенной к каждой элементарной площадке dA

Состояние чистого изгиба

Определение нормальных напряжений

Ввиду малости угла поворота сечений считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

относительную деформацию волокна ВС, находящегося на расстоянии y от нейтрального волокна m-n

При чистом изгибе ρ постоянная и волокна изгибаются по дугам окружностей

Определение нормальных напряжений

Этот интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной оси. Поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения и является центральной.

Определение нормальных напряжений

Нормальные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Причем, наибольшие растягивающие или наибольшие сжимающие напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси и расположенных по обе стороны от нее

Определение нормальных напряжений

Нормальные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону. Причем, наибольшие растягивающие или наибольшие сжимающие напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси и расположенных по обе стороны от нее

Определение нормальных напряжений

12.4. Касательные напряжения при поперечном изгибе

Поперечный изгиб

Поперечная сила представляет собой равнодействующую неравномерно распределенных по высоте поперечного сечения, лежащих в плоскости сечения касательных напряжений
В свою очередь, касательные напряжения способствуют появлению угловых деформаций γ , которые также по высоте сечения будут неравномерно распределены. Поперечные сечения не остаются плоскими, они искривляются (депланируются), т. е. гипотеза плоских сечений не выполняется.

Поперечный изгиб

Поперечная сила представляет собой равнодействующую неравномерно распределенных по высоте поперечного сечения, лежащих в плоскости сечения касательных напряжений
В свою очередь, касательные напряжения способствуют появлению угловых деформаций γ , которые также по высоте сечения будут неравномерно распределены.

Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

Считаем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения b равномерно:

Поперечный изгиб

Величина касательных напряжений, возникающих в продольных сечениях балки. Напряжения в поперечных сечениях равны им как парные

Условие прочности

По условию прочности наибольшие нормальные напряжения не должны превышать соответствующих допускаемых напряжений


для балок из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию

Рациональные формы поперечных сечений при изгибе

Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку и у которого получается наибольшая величина момента сопротивления

Выводы

На данной лекции мы рассмотрели различные виды изгиба, изучили порядок построения и правила для проверки правильности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Мы вывели достаточно простую, но важную и достаточно точную формулу для определения нормальных напряжений при изгибе. Это простая на вид формула применяется в прочностных расчётах и таких ответственных объектов, как самолёты и ракеты

Выводы

На данной лекции мы рассмотрели различные виды изгиба, изучили порядок построения и правила для проверки правильности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Мы вывели достаточно простую, но важную и достаточно точную формулу для определения нормальных напряжений при изгибе. Это простая на вид формула применяется в прочностных расчётах и таких ответственных объектов, как самолёты и ракеты

Тесты

Тесты

Тесты

Тесты

Тесты