Логарифмы и их свойства

Тема урока: Логарифмы и их свойства. Цель урока:   Образовательная  –  сформировать   понятие   логарифма,   изучить   основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.  Развивающая  – развивать логическое мышление; технику вычисления; умение рационально работать.   Воспитательная  –   содействовать   воспитанию   интереса   к   математике, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.  Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.  Оборудование:  компьютер,   мультимедийный   проектор,   презентация   "Логарифмы   и   их свойства", раздаточный материал. Учебник: Алгебра и начала математического анализа,10­11. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др., Просвещение, 2014. Ход урока: 1. Организационный момент: проверка готовности учащихся к уроку. 2. Повторение пройденного материала. Вопросы учителя:    1)   Дать   определение   степени.   Что   называется   основанием   и   показателем?   (Корень  n­ой степени из числа а называется такое число, n­я степень которого равна а. 34 = 81.) 2) Сформулируйте свойства степени.  Тема сегодняшнего урока ­ Логарифмы и их свойства (откройте тетради и запишите 3. Изучение новой темы. дату и тему). свойства   логарифмов.    На   этом   уроке   мы   познакомимся   с   понятием   «логарифм»,   также   рассмотрим Зададим вопрос: 1) В какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 25? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 5, чтобы получить 25, равен 2. 2) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 27? Очевидно, в третью. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 27, равен 3. Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что­то возвести, чтобы что­то получить. Показатель степени, в которую нужно что­то возвести называется логарифмом и обозначается log. Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем:  log5 25=2 Эта запись читается так: «Логарифм числа 25 по основанию 5». Логарифм числа 25 по основанию 5­ это показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 25. Этот показатель равен 2. Аналогично разберём второй пример. Дадим определение логарифма. Определение.  Логарифмом   числа  b>0    по   основанию  a>0,   a  ≠  1    называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.  Логарифмом числа b  по основанию a обозначается loga b.    История возникновения логарифма: Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550­1617) и математиком Иостом Бюрги (1552­1632).  Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.),   а   первой   в   1614г.   появилась   работа   Непера   «Описание   удивительной   таблицы логарифмов».  С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов   можно смело поставить рядом с другими,  более  древним  великим  изобретением    – нашей десятичной системой нумерации.  Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел   очень   популярный   прежде   счетный   прибор   –   логарифмическую   линейку.   Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической   линейки   не   были   бы   созданы   ни   первые   компьютеры,   ни микрокалькуляторы.  Рассмотрим примеры: log327=3;   log525=2;    log255=1/2;  log5 1/125=­3;    log­2 (­8)­ не существует;   log51=0;   log44=1 Рассмотрим такие примеры: 10. loga1=0, а>0, a ≠ 1; 20. logaа=1, а>0, a ≠ 1. решении задач. Эти две формулы являются свойствами логарифма. Ими можно пользоваться при Как   перейти   из   логарифмического   равенства   к   показательному?  logаb=с,   с   –  это логарифм,   показатель   степени,   в   которую   нужно   возвести  а,   чтобы   получить  b. Следовательно, а степени с равен b: а с= b. Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b. (Доказательство приводит учитель на доске). Рассмотрим пример.   13 =13 5 log  5 Рассмотрим ещё важные свойства логарифмов. Свойства логарифмов: 3°. logа ху = logах + logау. 4°. logа х/у = logах ­ logау. 5°.  logах p = p ∙ logах, для любого действительного p. Рассмотрим пример на проверку 3 свойства: log28 + log216= log2 8∙16= log2 128=7         3 +4           =               7 Рассмотрим пример на проверку 5 свойства: 3∙ log28= log283= log2512 =9           3∙3         =     9 Задание 1.  Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих  логарифмов, и вычислите (устно): 4.Закрепление. • • • • • log66  log 0,51 log63+ log62 log36­ log32 log448  Задание 2.  Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с  ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте  ошибки. log232+ log22= log264=6 log553 = 2; log345 ­ log35 =  log340 1. 2. 3. 4. 3∙log24 = log2 (4∙3) 5. 6. 2∙log56 = log512 7. 3∙log23 = log227 8. log315 + log33 = log345; log2162 = 8. Задание 3. Работа с учебником. №271, 275, 280,290(1,2), 291(1,2)      5. Проверка ЗУН – самостоятельная работа по карточкам. Вариант 1.                             Вычислите: 1) 2) 3) 4) log327              log4 8 log49 7 log55 Вариант 2. Вычислите: 1) 2) 3) 4) log416 log25125 log82 log66         С каким математическим понятием вы познакомились на уроке?         Какие свойства логарифмов вы запомнили? (Записать на доске).         Сформулировать и записать основное логарифмическое тождество. 6. Подведение итогов.  п 15­16, № 273, 276,293(1­3). 7. Домашнее задание.