Логико-содержательный анализ «Начала» Евклида

Логико­содержательный анализ «Начала» Евклида 1. Общий анализ «Начала» Евклида как научной теории Научная   теория  является   наиболее   развитой   формой   организации научного   знания,   дающей   целостное   представление   о   закономерностях   и существующих связях изучаемой области действительности. «Начала»   Евклида   являются   примером   научной   теории.   Потому   что Евклид: 1. Изложил и систематизировал свои знания в книге «Начала»; 2. Продемонстрировал один из важнейших принципов построения  математической теории в книге «Начала»; 3. Стремился к максимальной объективности в описании изучаемых  предметов и явлений; 4. Ввел аксиомы и постулаты, чтобы обосновать истинность полученных  знаний; 5. Пользовался особым (научным) языком, используемым для описания  изучаемых явлений и предметов; 6. Разработал учения, которые удовлетворяются не только сиюминутные  потребности общества, но и важные для будущего поколения; 7. Оставил после себя огромный вклад, как в развитии геометрии, так и в  развитии других наук. 2. Научная значимость и методология «Начала» Евклида Значение «Начала»  определяется  не  какой­то  одной  отдельно  взятой теоремой из тех, которые были предложены Евклидом. Почти все теоремы, включенные в эту книгу, были хорошо известны до Евклида, точно так же, как и   многие   доказательства.   Огромной   заслугой   Евклида   является систематизация материала и разработанный им общий план книги. Эта работа заключалась,   прежде   всего,   в   выборе   необходимого   набора   аксиом   и постулатов. Затем Евклид произвел тщательную систематизацию теорем, при которой каждая теорема логически вытекала из предыдущей теоремы. «Начала» служат в качестве учебника уже более 2000 лет. С появлением этой книги все ранее написанные учебники по геометрии были ею с успехом заменены и вскоре забыты. Написанные на греческом языке, «Начала» были впоследствии переведены на многие другие языки. Первое печатное издание появилось   в   1482   году,   спустя   всего   лишь   три   года   после   изобретения Гуттенбергом   книгопечатанья.   С   тех   пор   были   опубликовано   более   тысяч различных изданий.  Эта книга ­ выдающийся пример законченной дедуктивной структуры, которая с момента своего создания не перестает восхищать не только ученых, но и обычных людей. Книга Евклида явилась главным фактором в развитии современной науки. Сегодня   математики   убедились,   что   геометрия   Евклида   является   не единственной  последовательной  геометрической системой, и за прошедшие 150 лет было создано много неевклидовых геометрий. И, по сути дела, с тех пор, как в мире признали теорию относительности Эйнштейна, ученые пришли к   выводу,   что   геометрия   Евклида   не   всегда   бывает   точной   в   условиях истинной   Вселенной.   Эти   последние   достижения   в   области   человеческих знаний ни в коей мере не уменьшают интеллектуальный вклад Евклида. Геометрия   Евклида   имела   не   столько   логическую,   сколько содержательную   (наглядную)   основу.   С   позиции   современной   теории геометрия   Евклида   есть   гибрид   математической   теории,   и   её   физической модели. Геометрия   Евклида   представляет   один   из   важнейших   принципов построения математической теории: 1. Выделяются первичные термины теории; 2. Фиксируются отношения на первичных терминах теории; 3. Свойства отношений фиксируются в качестве аксиом; 4. Фиксируется логическая система в форме правил логического вывода; 5. Формулируется и на базе аксиом и правил вывода доказываются свойства объектов теории. Рассмотрим   развитие   «Начал»   Евклида   как   первого   в   методологии примера аксиоматической теории.  Фиксируются первичные термины теории в форме определений: 1. Точка есть то, что не имеет частей; 2. Линия ­ длина без ширины; 3. Прямая  линия   есть   та,   которая   равнорасположена   по   отношению   к точкам на ней; 4. Круг ­ плоская фигура, содержащая внутри одной линии, на которой все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой; 5. Параллельные   прямые  ­   это   прямые,   которые   находясь   в   одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются. После этого выделяется ряд отношений на первичных терминах. Это: a. Отношение принадлежности; b. Отношение равенства (конгруэнтности); c. Отношение подобия. Фундаментальными идеями Евклида были: 1. Однозначно дать определение каждого из используемых понятий; 2. Указать на системные характеристики свойств (необходимых и  достаточных свойств), которыми определяются описываемые объекты; 3. Понятия определяются в процедуре их систематизации. Но в этих идеях имелись недостатка: a) Включение в определение элементов обыденное сознание; b) Включение   представления   реального   физического   пространства   в качестве домысливаемых характеристических свойств. Реальный  физический  смысл  в  определении  понятия  искажал   бы  эти понятия, не делая их объективными. Для   исключения   наглядных   представлений   из   процедуры систематизации   математических   явлений   Евклид   вводит  аксиомы  и постулаты. Аксиомы, у Евклида ­ это утверждения, о первичных терминах теории, лежащих в её основе. Они определяют собой общие свойства отношений. Аксиом в «Началах» девять:  1. Равные одному и тому же, равны и между собой;  2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны;  3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны;  4. И если к неравным прибавляются равные, то целые не равны; 5. И удвоенные одного и того же равны между собой; 6. И половины одного и того же равны между собой; 7. Совмещающиеся друг с другом равны между собой;  8. 9. И две прямые не содержат пространства.  Целое больше части; В число исходных положений «Начал» входят постулаты (требования), т. е. утверждения о возможности геометрических построений. С их помощью Евклид   обосновывает   все   геометрические   построения   и   алгоритмические операции. Они имеют конструктивный характер. Постулатов в «Начале» Евклида пять:  1. Через две точки можно провести прямую;  2. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно;  3. Из всякого центра всяким раствором можно описать круг;  4. Все прямые углы равны между собой; 5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет место.  Далее   на   основе   только   аксиом   и   постулатов   доказываются   первые теоремы (предложения), но при этом ни одно предложение не доказывается вне аксиом. 3. Достоинства и недостатки «Начала» Евклида как научной теории и как учебной геометрии Достоинства: 1) Для   человечества   существует   реальное   физическое   пространство. «Начало» Евклида ­ это математическая теория, которая фиксирует и доказывает   пространственные   свойства   геометрического   пространства. Человечество   впервые   разработало   теорию,   в   которой   исследовали определенную   модель.   С   «Начал»   Евклида   реализуется   цель   всей математики,   тое   есть   описание   математической   модели   различных процессов и явлений реального мира. 2) «Начала»   Евклида   разработаны   в   форме   аксиоматической   теории: исходящей из системы первичных терминов, отношений и систем аксиом (утверждений   о   свойствах   первичных   терминов   теории). Аксиоматический   метод,   созданный   всякой   аксиоматической   теории, возник в человеческой цивилизации благодаря «Начала» Евклида.  3) У Евклида геометрические фигуры ­ мысленные, абстрактные; каждую из   Свойства   геометрических   фигур них   измерять   невозможно. устанавливаются только в результате доказательства. Согласно «Начала» Евклида  доказательство  есть последовательность предложений, каждое из   которых   есть   либо   аксиома,   либо   получено   из   предыдущего предложения, по правилу логического вывода. 4) «Начала»   Евклида   ­   систематизированный   курс   научной   теории,   по которой человечество училось более 2000лет, ничего в ней не изменяя. Недостатки: 1) У   Евклида   физическое   пространство   и   геометрическое   как математическая теория реального физического пространства соединены с современным научным представлением, теория и её модель изучаются одновременно, хотя их роль в науке разная. 2) Система   первичных   терминов,   отношения   на   множестве   первичных терминов, система аксиом являются неполною. В частности у Евклида отсутствует   отношение   порядка,   которое   затем   приводит   к   понятию «отрезок»   и   отсутствуют   соответствующие   аксиомы.   Так   же   Евклид использует понятие «движение» для доказательства равенства, при этом, не аксиоматизировав его.  Лишь   в   1809   году   Гильбертом   был   разработан систематизированный курс Евклидовой геометрии на базе полного списка аксиом. Другую систему аксиом в начале  XX  века предложил Герман Вейль. 3) Систему   аксиом   Евклида   необходимо   совершенствовать,   в   частности четвертый   постулат   Евклида   (о   равных   прямых   углах)   оказался теоремой, а  значит, в систему аксиом не должен входить. 4) Евклид не исследовал факт противоречивости или непротиворечивости своей теории. 4. Логико­содержательный анализ главы VI 4.1 Общий анализ содержания главы VI Первой   сборник,   куда   входят   книги  I  ­  VI,   посвящен   планиметрии. Книга  VI  ­  учение о подобии геометрических фигур, и она завершает курс планиметрии первого сборника.  Книга VI не нарушает логико­содержательную структуру Евклида. Как и все остальные книги, она начинается с определений: 1. Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы равные по порядку и стороны при равных углах пропорциональные. 2. Обратно ­ сопряженные  фигуры суть те, в каждой из которых имеются предыдущие и последующие отношения. 3. Говорится,  что прямая делится в крайнем и среднем отношении, если как целая к большему отрезку, так и больший отрезок к меньшему. 4. Высота  всякой фигуры есть перпендикуляр, проведенный от вершины к основанию. 5. Говорится, что отношение  составляется  из отношений, когда количества этих отношений, перемноженные между собой, образуют нечто. Далее за определениями в книге излагаются 33 предложения (теоремы): 1. Треугольники и параллелограммы, находятся под одной и той же высотой, «относятся» друг к другу как основания. 2. Если   в   треугольнике   параллельно   одной   из   сторон   проведена   некоторая прямая, то она пропорционально рассечет стороны треугольника; и если стороны   треугольника   рассечены   пропорционально, соединяющая   сечения,   то   прямая,   будет   параллельна   остающейся   стороне треугольника. 3. Если угол треугольника рассечён пополам и секущая угол прямая рассекает и   основание,   то   отрезки   основания   будут   иметь   то   же   отношение,   что остальные стороны треугольника; и если отрезки основания имеют то же отношение, что остальные стороны треугольника, то прямая соединяющая, «проведённая»   от   вершины   к   точке   сечения,   рассекает   пополам   угол треугольника.   В   равноугольных   треугольниках   стороны   при   равных   углах пропорциональны и соответственными «будут» стягивающие равные углы.  Если два треугольника имеют стороны пропорциональные, то треугольники будут равноугольные и будут иметь равными углы, которые стягиваются 4. 5. соответственными сторонами. 6. Если два треугольника имеют один угол, равный одному углу, и стороны   то   треугольники   будут при   равных   углах   пропорциональные, равноугольными   и   будут   иметь   равными   углы, соответственными сторонами.   стягиваемые 7. Если два треугольника имеют один угол, равный одному углу, при других же углах стороны пропорциональные, причём из остальных углов каждый одновременно или меньше или не меньше прямого, то треугольники будут равноугольны   и   будут   иметь   равными   те   углы,   при   которых   стороны пропорциональны. 8. Если в прямоугольном треугольнике проведён из прямого угла к основанию перпендикуляр, то треугольники при перпендикуляре подобны и целому и между собой. 9. От данной прямой отнять предложенную часть. 10.Данную не рассеченную прямую рассечь подобно данной рассеченной. 11.Для данных двух прямых найти третью пропорциональную. 12.Для трех данных прямых найти четвертую пропорциональную. 13.Для двух данных прямых найти среднюю пропорциональную. 14.В равных и равноугольных параллелограммах стороны при равных углах обратно пропорциональны; и из равноугольных параллелограммов равны те, у которых стороны при равных углах обратно пропорциональны. 15.В равных треугольниках, имеющих по одному равному углу, стороны при равных   углах   обратно   пропорциональны;   и   из   треугольников,   имеющих стороны при равных углах обратно пропорциональны. 16.Если   четыре   прямые   пропорциональны,   то   прямоугольник,   заключённый между крайними, равен прямоугольнику, заключённому между средними; и если прямоугольник, заключённый между крайними, равен прямоугольнику, заключённому   между   средними,   то   эти   четыре   прямые   будут пропорциональны. 17.Если три прямые пропорциональны, то прямоугольник, заключённый между крайними, равен квадрату на средней; и если прямоугольник, заключённый между   крайними,   равен   квадрату   на   средней,   то   три   прямые   будут пропорциональны. 18.На   данной   прямой   построить   прямолинейную   фигуру,  подобную   данной прямолинейной фигуре и подобно расположенную. 19.Подобные   треугольники   находятся   друг   к   другу   в   двойном   отношении соответственных сторон. 20.Подобные   многоугольники   разделяются   на   подобные     треугольники   в равном количестве и в том же отношении, что и целые «многоугольники», и многоугольник   к   многоугольнику   имеет   двойное   отношение соответственных сторон. 21.«Фигуры», подобные одной и той же прямолинейной фигуре, подобны и между собой. 22.Если   четыре   прямые   пропорциональны,   то   и   подобные   и   подобно построенный   на   них   прямолинейные   фигуры   будут   пропорциональны;   и если   подобные   и   подобно   построенные   на   них   прямолинейные   фигуры пропорциональны, то и сами эти прямые будут пропорциональны. 23.Равноугольные параллелограммы имеют друг к другу составное отношение их сторон. 24.Во   всяком   параллелограмме   параллелограммы   на   диаметре   подобны   и целому и между собой. 25.Построить   подобную   данной   прямолинейной   фигуре   и   равную   другой данной ту же «фигуру». 26.Если   от   параллелограмма   отнимается   параллелограмм,   подобный   и подобно расположенный целому, имеющий с ним общий угол, то он будет на том же диаметре, что и целый. 27.Из   всех   параллелограммов,   приложенных   к   той   же   прямой   и   имеющих недостатки в виде параллелограммов, подобных и подобно расположенных «параллелограмму»,   построенному   на   половине,   наибольшим   будет (параллелограмм),   приложенный   к   половине   и   подобный   своему недостатку.  28.К   данной   прямой   приложить   равный   данной   прямолинейной   фигуре параллелограмм, имеющий недостаток в виде параллелограмма, подобного данному;   необходимо   же,   чтобы   данная   прямолинейная   фигура   (равную которой   надо   приложить),   была   не   больше   «фигуры»,   построенной   на половине,   подобной   недостатку   (от   «фигуры»   на   половине   и   подобную которой надо взять в недостатке). 29.К   данной   прямой   приложить   равный   данной   прямолинейной   фигуре параллелограмм с избытком в виде параллелограмма, подобного данному. 30.Данную ограниченную прямую рассечь в крайнем и среднем отношении. 31.В прямоугольных треугольниках фигура на стороне, стягивающей прямой угол, равна «вместе взятым» фигурам на сторонах, заключающих прямой угол, подобным ей и подобно построенным. 32.Если   два   треугольника,   имеющих   две   стороны   пропорциональные   двум сторонам,   приставляются   одним   углом,   так,   чтобы   соответственные стороны были и параллельны, то остальные стороны треугольников будут по одной прямой. 33.В равных кругах углы имеют то же отношение, что обводы, на которых они стоят, будут ли они находится при центре или при обводах. 4.2 Основные определения, используемые в книге VI и их сравнение с современным школьным курсом геометрии В книге VI выделено пять основных определений: 1. Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы равные по порядку и стороны при равных углах пропорциональные. 2. Обратно ­ сопряженные фигуры суть те, в каждой из которых имеются предыдущие и последующие отношения. 3. Говорится, что прямая делится в крайнем и среднем отношении, если как целая к большему отрезку, так и больший отрезок к меньшему. 4. Высота всякой фигуры есть перпендикуляр, проведенный от вершины к основанию. 5. Говорится,   что   отношение  составляется  из   отношений,   когда количества   этих   отношений,   перемноженные   между   собой,   образуют нечто. Само   понятие   подобных   фигур   в   современном   курсе   геометрии   в учебнике «Геометрия» для 7­11 классов, А В. Погорелов, вводится в 9 классе, глава учебника называется «Подобие фигур». Курс   геометрии   о   подобных   фигурах   А   В.   Погорелов   начинает   с введения   определения   что   же   является («Преобразование фигуры   F   в фигуру   F¿  преобразование   подобия   называется  преобразованием подобия,   если   при   этом   преобразовании   расстояния   между   точками изменяется в одно и то же число раз»). Определение   подобных   фигур,   по   Евклиду   звучит   так:   «подобные прямолинейные фигуры  суть те, которые имеют углы равные по порядку и стороны   при   равных   углах   пропорциональные».  А.В.Погорелов   дал   свое определение подобных фигур: «две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия»,  и обозначает подобие через значок:  ∾ . Что касается учебника «Геометрия» для 7­9 классов, Л. С. Атанасян, понятие   подобных   фигур   начинается   изучать   в   8   классе   и   это   понятие сводится к определению понятия подобных треугольников, глава учебника так и называется «Подобные треугольники». Курс геометрии о подобных треугольниках Л. С. Атанасян начинает с введения   понятия  пропорциональные   отрезки.   Затем   он   дает   определение подобных треугольников: «два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходным сторонам другого». Определение  высоты  по   Евклиду   («высота  всякой   фигуры   есть перпендикуляр,   проведенный   от   вершины   к   основанию»),   используется   в таком виде как в учебнике А.В.Погорелова, так и в учебнике Л. С. Атанасяна. Пятое   определение   по   Евклиду   («Говорится,   что   отношение составляется  из   отношений,   когда   количества   этих   отношений, перемноженные   между   собой,   образуют   нечто»),   ассоциируется   с определением коэффициента подобия, которое как у А.В.Погорелова, так и у Л. С. Атанасяна идентичны: « число  k , равное отношению сходных сторон подобных треугольников, называется коэффициент подобия». 4.3 Основные теоремы книги VI и их сравнение с современным курсом геометрии Важнейшими предложениями книги VI являются предложения 4, 6, 7, В отличие от Евклида, Погорелов и Атанасян выделили их в отдельные теоремы и назвали их признаки подобия треугольников. Таким   образам  предложение   4  («в   равноугольных   треугольниках стороны   при   равных   углах   пропорциональны   и   соответственными   «будут» стягивающие   равные   углы»),   соответствует   третьему   признаку   подобия треугольников.   Третий   признак   подобия   звучит   одинаково   как   в   учебнике А.В.Погорелова,   так   и   в   учебнике  Л.   С.   Атанасяна,   а   именно:   «если   три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны». Предложению  6  («Если   два   треугольника   имеют   один   угол,   равный одному углу, и стороны при равных углах пропорциональные, то треугольники будут   равноугольными   и   будут   иметь   равными   углы,   стягиваемые соответственными   сторонами»)   соответствует   второму   признаку   подобия треугольников.   Он   звучит   так:   «   если   две   стороны   одного   треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны» Предложению  7  («Если   два   треугольника   имеют   один   угол,   равный одному   углу,  при   других   же   углах   стороны   пропорциональные,   причём   из остальных углов каждый одновременно или меньше или не меньше прямого, то треугольники будут равноугольны и будут иметь равными те углы, при которых стороны пропорциональны») соответствует первый признак подобия треугольников.   Он   звучит   так:   «если   два   угла   одного   треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны». Что касается остальных предложений, многие из них в переработанном виде используются в качестве теорем в рассматриваемых учебниках 4.4 Вывод о современном уровне развития VI книги «Начала» Евклида одна из тех «редких» книг, которая просуществовав более 2000 лет, «прошла» многолетнюю историю и при этом не утратила свою значимость. «Начала» Евклида до сих пор приводит к спорам многих ученых о непротиворечивости   этой   теории,   но   при   этом   «Начала»   как   были,   так   и остаются самой значимой теорией в развитии геометрии и других науках. Уровень развития  VI  книги, как отдельной главы «Начала» Евклида, несомненно,   велик.   Благодаря   систематизации   Евклида   было   выделено преобразование подобие фигур, как отдельная тема в изучении геометрии. Так же были выделены три признака подобия фигур, которые большую роль сыграли в развитии геометрии.