МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ЛОГИКА

                        RİYAZİ  İSBAT  VƏ  MƏNTİQ

    “Məntiqi  mühakimə  yürütməyi  bacaran  insanların  bəlağətli  nitqə  ehtiyacı  yoxdur.”                                                                    

                                                                                                  Deni   Didro, fransız  filosofu

                                               Rəfail  Əliyev,

                                                        ”Əməkdar  müəllim”, 

                               “Ən  yaxşı  müəllim”  Respublika  Müsabiqəsinin,

                                  “Təhsildə  inkişaf və  innovasiyalar  üzrə” 

                                       2-ci  QRANT  müsabiqəsinin  qalibi,

    Riyazi isbat - elm aləmində qəbul olunmuş aksiom və qaydalar əsasında, ardı- cıl məntiqi nəticələrdən istifadə edərək, müəyyən riyazi fərziyyənin doğru olmasını göstərmək deməkdir. Riyazi   isbat   prosesində   məntiqi  üsullar, məntiqi   əməliy-      yat  və  qanunlardan  da  istifadə oluna  bilər.

      Riyaziyyatda isbat fərziyyə, müddəalar teorem adlanırlar.Nümunə  üçün  məşhur  Pifaqor  teoremini  nəzərdən  keçirək;

  "Düzbucaqlı üçbucaqda katetlərin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Əgər a və b katetlər, c isə hipotenuz olarsa onda a² + b² = c² ".

    Bu fərziyyə həndəsi aksiom və qaydalar əsasında isbat edilmişdir.  

                                                                   c                                                      

                        a

                                                           b

    Teorem (yun. θεώρημα) — doğruluğu digər məlum təkliflər və  aksiomlar  əsasında isbat olunan təklifdir. Verilmiş bir teorem müxtəlif şəkillərdə ifadə oluna bilər.Fəlsəfədə teorem məntiqlə çıxarıla bilən, fikir və ya tezisdir.

    Düşünürük  ki, məntiqin   üçüncü  halın  istisnası   qanunu, məntiqi  əqli  nəticə  çıxar- maq  bacarıqları,məfhumun  əmələ   gəlməsində   istifadə   olunan  məntiqi  üsullar: mü- qayisə,  təhlil(analiz), tərkib(sintez), mücərrədləşdirmə  və  ümumiləşdirmə,  məfhumlar  üzərində   aparılan   məhdudlaşdırma  və   ümumiləşdirmə  əməliyyatları, hökmlər   üzə- rində  aparılan  konyunksiya  və  dizyunksiya  əməliyyatları, arqumentləşdirmə   ilə  bağ- lı   bilik  və   bacarıqlar, sübut  və   təkzib  etmə  bacarıqları  riyaziyyatın öyrənilməsində,  riyazi  kompitensiyaların  dərinləşməsində   çox   mühüm  amil  ola  bilər.

   Unutmayaq  ki, “tə- fəkkürün  anatomi- yası”  olan  məntiq   “gözlənilməz   nəticə- lərə  gəlmək   sənəti dir”(Samuyel  Conson).   

   Məntiqi   təfəkkür   riyaziyyat   elmi üçün   nəzəri  bazadır.  

   Məntiq   üzərində   qurulan   riyazi   bilik  və   bacarıqlar  riyazi   təfəkkürün  uğur  tə- minatıdır.Müəyyən  qaydalara  əsasən bir və ya  bir  neçə  doğru  hökmdən  gerçəkliyin  cism və  hadisələri  haqqında  yeni  bilik  verən  mülahizələrin(hökmün)  əldə   edilməsi  əməliyyatı  olan  əqli  nəticə  çıxarma  riyazi  əməliyyatların   aparılmasında   xüsusi  rola  malikdir.Hər  bir  əqli  nəticə  müqəddimələrdən  və   nəticə   və ya   çıxış   hökmündən   ibarət   olur.

         Müqəddimələr-yeni  hökmün   alınmasını  şərtləndirən   hökmlərdir.

         Nəticə   isə  müqəddimələrdən  məntiqi   yolla   alınan yeni   hökmdür. 

         Müqəddimələrdən   nəticəyə   keçid   isə  yekun   biliyi   adlanır.

        Hökmlərin   isbatı  məntiqi  əqli   nəticə  çıxarma   üsulları  ilə  həyata   keçirilir. Məntiqi   nəticəçıxarmanın  istiqamətinə görə  məntiqi  əqli  nəticənin 

 üç növü var:     

                             1.Analigiya(traduksiya)  əsasında  əqli   nəticə

                             2.İnduksiya əsasında   əqli   nəticə

                             3.Deduksiya  əsasında  əqli   nəticə

       Analoji  əqli   nəticə-oxşar  əlamətlər   əsasında  çıxarılan   məntiqi  əqli  nəticədir.      “Analogiya” terminindən  birinci  dəfə  qədim  yunan  riyaziyyatçıları  ədədlər arasında- kı  nisbət   oxşarlığını, uyğunluğu  ifadə  etmək  üçün  istifadə  etmişdilər.

      Məsələn : iki   ədədin  sistemi  başqa  iki  ədədin  sisteminə  oxşardır: 8:4  nisbəti  4:2  nisbəti  kimidir.

     Mövcudluq   barədə  hökmlərin  isbatında da  analogiya(traduksiya)  üsulundan  istifadə   olunur.Nəticədə  hökmlərin   ümumilik  dərəcəsi   dəyişməz  olaraq  qalır. Məsələn :

                       A.Dörd   cüt   ədəddir, 2 –yə  qalıqsız  bölünür

                      B. Altı   da   cüt  ədəddir

                    C.Deməli  altı   da   2-yə  qalıqsız   bölünür

    Yekun   nəticə :  bütün   cüt  ədədlər   2-yə   qalıqsız   bölünür.

       Ümumini dərk  etməyin  vasitələrindən  biri  də  induksiyadır.İnduksiya  əsasında əqli nəticədə  idrak  prosesi   az   ümumidən-növdən  cox  ümumiyə-cinsə  doğru ge- dir.Əqli  nəticənin   digər  növləri  kimi,induksiyadan  da  elmi  qanunların   kəşf  olunma- sı  prosesində, sübutda, elmi  hipotezlərin  yaranmasında  geniş  istifadə  olunur.

       İnduksiya  daha   çox  riyaziyyatda   işlənən   məntiqi əqli   nəticə   növüdür. Xüsusi   hökmlər   induksiya   yolu  ilə   isbat  olunur.Nəticədə  ümumi hökm formasında  nəticə   alınır. İnduksiyadan  sadə  isbat  məsələlərində  istifadə olunur. Riyazi  induksiya-riyazi  isbat metodu  olub  bütün  natural  ədədlərin  həqiqiliyini  təsdiq  etmək  üçün  istifadə olunur.Məhz  bu  metodla  riyaziyyatda   hesablamalar   üçün  ümumu   qaydalar  ortaya  çıxarılır.Məsələn:

         Bərabərtərəfli   üçbucağın  perimetri  tərəfin  3  mislinə  bərabərdir.

         Bərabərtərəfli   dördbucağın  perimetri  tərəfin  4  mislinə  bərabərdir.

         Bərabərtərəfli   beşbucağın  perimetri  tərəfin  5  mislinə  bərabərdir....

         Bərabərtərəfli   çoxbucaqlının  perimetri  tərəfin bucaqlar  sayının 

        mislinə  bərabərdir.

        Bu   ümumi   nəticə  aşağıdakı   ümumi  düsturu   formalaşdırır :

                    P= a •n

              P-çoxbucaqlının   perimetri

              a-çoxbucaqlının   tərəfi 

              n-bucaqların   sayı

     Ümumi   hökmlər    deduksiya   yolu  ilə   isbat  olunur.Nəticədə   xüsusi  hökm   formasında  nəticə   alınır.Məsələn : Deduksiyaya sadə misal olaraq aşağıdakı mühakiməni göstərmək olar:

                        A.Bütün  ikiölçülü  fiqurlar  müstəvi  fiqurudur.

                        B.Trapesiya da  ikiöıçülü  fiqurdur.

                        C.Deməli, trapesiya da  müstəvi   fiqurudur.

   Hazırda deduksiya deyəndə bu və ya digər aksiomlar sisteminə əsaslanan ciddi riyazi mühakimə başa düşülür.

   Buna görə, deduksiya mühakimənin aksiomatik üsulu adlandırırlar. Müəyyən bir təklifi isbat etmək üçün, məsələn,həndəsədə onu ya isbat olunmuş teoremə,ya da qəbul olun- muş aksiomların birinə, yaxud bir neçəsinə gətirirlər.

    Riyaziyyatda   tətbiq  olunmalı  üsullara   bir-biri  ilə  sıx  əlaqədə  olan  arqumentasi- ya,  sübut  və  təkzibi  də   göstərmək  olar.

   Arqumentasiya  özündə  sübut və   təkzibi   birləşdirən  mühakiməyürütmə  üsuludur.   Sübut-hər hansı  bir  hökmün (tezis və ya mülahizənin)   doğruluğunu digər doğru müla- hizələrlə(dəlilllərlə)   əsaslandıran  intellektual-məntiqi  əməliyyatdır. Təkzib-tezisin  ya- lanlığını(yanlışlığını) və  ya əsassızlığını   müəyyən   edən  məntiqi   əməliyyatdır.

  İsbat   prosesində  iqrari  mülahizələrdən  istifadə  olunduğu kimi  inkari   mülahizələr- dən  də   istifadə  oluna   bilər.İnkar   dedikdə  iqrari   hökmün  əksi   nəzərdə   tutulur, yəni  iqrari  hökmlər  hər  hansı  prosesin  icrasını  nəzərdə   tutduğu  halda,  inkari  hökmdə  prosesin  icra   olunmadığı,  qeyri-mümkünlüyü  bildirilir.Məsələn :  Hər  hansı   üçbucağın   daxili   bucaqlarının   cəmi   180º -dən   çox  ola   bilməz.

    Bir   nümunəni   nəzərdən   keçirək: İsbat   edin ki,  üçbucağın   daxili   bucaqlarının   cəmi   180º-dir.

 İsbat   prosesində   inkari   mülahizəyə   müraciət   edək.Məlumdur   ki,üçbucaq   ən  kiçik   çoxbucaqlıdır  və  dördbucaqlının   diaqonal  boyunca böldükdə   yarısına   bərabərdir.  Göründüyü   kimi  düzbucaqlının  daxili  bucaqlarının    cəmi  90º x  4=360º.Üçbucağın  isə  daxili   bucaqlarının   cəmi  360º  :  2=180º  olacaq.

                                   180º

      İsbat   prosesində   zidd   hökmlərdən   istifadə   oluna  bilir  ki,bu   3-cü halın   istisnası   qanununa   istinad   edilir.

    Ziddiyyət  mülahizələrin   bir-birini   rədd  etməsidir.Məsələn : A.Toplananların  hər  hansı  bir   qrupunu  onların   cəmi  ilə  əvəz  etdikdə  cəm  dəyişmir. B.Toplananların  hər  hansı  bir   qrupunu  onların   cəmi  ilə  əvəz  etdikdə  cəm  dəyişir.

    Bir-birini   rədd  edən   bu   mülahizələr   eyni   zamanda   doğru   ola   bilməz. Bunlar- dan   mütləq   biri  yalandır.Bu  mülahizələri   təcrübədə  yoxlamaqla  doğru   və   yalan   mülahizəni   aşkara   çıxarmaq  olar.

    Məsələn :Bizə  məlumdur  ki,toplamanın   yerdəyişmə   xassəsinə  görə toplanan- ların   yerini   dəyişdikdə   cəm  dəyişmir. 30+54=54+30=84 Bu  xassəni   toplanan   qruplar   üzərində   də   müşahidə   edək : 8+10+23=(8+10)+23=18+23=41.

    Beləliklə, isbat   prosesində  düzgün   əsaslandırılmış  arqumentlərlə( doğru  müla- hizə  və   faktlarla  )   verilmiş  mülahizə   isbat  olunur.

    Əgər  təhsilalanların  riyazi  təfəkkürünü   inkişaf  etdirməklə  riyazi  qabiliyyətlərini  inkişaf  etdirmək  istəyiriksə, məntiq  elminin  əsaslarını  da  öyrətməliyik.Çünki....

   «Məntiq-əqli  kamilləşdirən, idrakda  insanı  düzgün yola, həqiqətə  yönəldən, onu  yanılmaqdan  qoruyan  qaydalar  məcmusudur»                       

                                                                                                            Əl-Fərabi

   «Məntiq  elə  bir  elm və  sənətdir  ki, onun  vasitəsi  ilə zehnin  məlumdan  məchula  keçməsinin  yolları  aşkar  edilir»

                                                                                                Əbu  Əli  İbn  Sina

   Bütün   bunlar   xüsusi  istedadlı  şagirdlər  liseylərində  vaxtilə   yarımçıq  tədris  olunmuş, tam  kursu  bərpa  etmək  əvəzinə, ləğv  olunmuş  “MƏNTİQ”  xüsusi  kur- sunun   tam  şəkildə  bərpasını, ya  da  ən  azı  V  siniflərdə   bu  kursu  təkmilləşmiş   proqram  əsasında  “MƏNTİQƏ   GİRİŞ”  adı  ilə  yenidən  tədris  planına  salınmasını   zəruri  edir.       

İSTİFADƏ   OLUNMUŞ   ƏDƏBİYYAT :

    Azərbaycan   dilində :

      1. Bəylərov E.B.   Əliyev R. Ş.“MƏNTİQİ   TAPŞIRIQLARA   DAİR   XÜSUSİ    

         VƏSAİT”  Bakı-2018-150 səh.  

          https://infourok.ru/didakticheskiy-material-vvedenie-v-logiku-klass-3715943.html

      2.Günel Həmidova RİYAZİYYATIN TƏDRİSİNDƏ MƏNTİQLİ MƏSƏLƏLƏRİN    

           ƏHƏMİYYƏTİ HAQQINDA, Azərbaycan Respublikasının Təhsil İnstitutunun Elmi   

            əsərləri, Cild 8 4 79 , № 3, 2017

       3.İsrafilov   M.M.  MƏNTİQ  Bakı-TURAN  EVİ-2005-384  səh.

       4.İsrafilov  M.M.   MƏNTİİQ  SUAL VƏ  CAVABLARDA-“Adiloğlu”-BAKI-2008,

         218 səh.

        5.Rauf  İmranoğlu  MƏNTİQ  Bakı-Parlayan  Günəş-2011,464 səh.

Rus  dilində:

       6.Гусев  Д.А.   УДИВИТЕЛЬНАЯ   ЛОГИКА Москва  ЭНАС 2010, 240 c.

        7.Логика.10-11 классы : учебное   пособие /А. Д. Гетманова  А. Л. Никофоров и др/ Москва КНОРУС 2008, 224 c.

       8. Ненашев М.И.   ВВЕДЕНИЕ   В  ЛОГИКУ  Москва  ГАРДАРИКИ-2004,252 c.

       9.Пономарев В.Ф. Математическая логика. Учебное пособие. – 2-е изд., испр. т доп. – Калиниград: изд-во КГТУ, 2005 г., 201с

      10.Шабанова, М.В. Ш 123 Введение в математику: учебное пособие / М.В. Шабанова, С.Н. Котова, И.Н. Попов, О.Л. Безумова; Поморский гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. - Архангельск: Поморский университет, 2008. - 203 с.  

      11.Успенский В. А. Простейшие примеры математических доказательств.— 2-е изд., стереотипное.—М.: Изд-во МЦНМО, 2012.— 56 с.    

Скачано с www.znanio.ru