Математическая статистика (критерии)

При проверке разности двух средних с помощью t-критерия Стьюдента используется следующий алгоритм:

Записать вариационный ряд результатов Х экспериментальной группы.
Записать вариационный ряд результатов Y контрольной группы.
Найти выборочные средние двух выборок и .
Найти выборочные дисперсии Dx и Dy.
Вычислить эмпирическое значение критической статистики



Определить по таблице критическое значение   для соответствующего уровня значимости a и данного числа степеней свободы


Если , то различия между средними значениями экспериментальной и контрольной групп существенны на данном уровне значимости.

Рассмотрим пример расчета для сравнения стрессоустойчивости для двух профессий: учителя и менеджера по продажам для двух групп (n1=32, n2=33).

Выдвинем нулевую гипотезу H0= ( )

при альтернативной гипотезе H1= ( )

Находим выборочные средние и дисперсию

Вычисляем эмпирическое значение критерия:

Для выбранного уровня значимости α = 0,01находим по таблице критическое значение tкр(0,01; 32+33-2) = 2,66.tэмп= 5,11 > 2,66 = tкр(0,01;63), таким образом гипотеза о несущественности различий в средних значениях стрессоустойчивости на уровне значимости α = 0,05 отклоняется, и можно говорить о различном уровне устойчивости к стрессу между учителями и менеджерами.

Записать вариационный ряд Y контрольной группы объема n2

Определить по таблице критическое значение критерия tкр(α, n1+n2-2)

Вычислить эмпирическое значение критерия tЭМП

Найти выборочные средние x и y, а также Dx и Dy

Альтернативная гипотеза Н1 принимается если
tэмп ≥ tкр

Записать вариационный ряд X экспериментальной группы объема n1

Критерий согласия Пирсона позволяет осуществлять проверку эмпирического и теоретического (либо другого эмпирического) распределений одного признака. Данный критерий применяется, в основном, в двух случаях:
- Для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим распределением (нормальным, показательным, равномерным либо каким-то иным законом);
- Для сопоставления двух эмпирических распределений одного и того же признака.
Идея метода – определение степени расхождения соответствующих частот ni и ; чем больше это расхождение, тем больше значение

КРИТЕРИЙ ПИРСОНА. Схема применения χ2 - критерия для сопоставления двух эмпирических распределений

Проверить

Найти по таблице

Найти

Вычислить значения

Если , то
принимается гипотеза Н1

Записать частоты ni и ni1 двух выборок по m интервалов

По таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости 0,05
и числу степеней свободы k = 7 - 1 находим критическую точку

Пример. Среди школьников с 1 по 7 класс в течение двух недель проводился опрос об удовлетворенности собственными оценками. Результаты опроса представлены в таблице:

Пусть уровень значимости равен 0,05.
Вычислим эмпирическое значение критерия:

Поскольку то нет оснований отвергать нулевую гипотезу об
одинаковом распределении мнений учащихся о своей успеваемости в разные недели.

Нулевая гипотеза H0={уровень признака во второй выборке не ниже уровня признака в первой выборке}; альтернативная гипотеза – H1={уровень признака во второй выборке ниже уровня признака в первой выборке}.Рассмотрим алгоритм применения U-критерия Манна-Уитни:

Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки, пометив карточки 1-й выборки одним цветом, а 2-й – другим.
Разложить все карточки в единый ряд по степени возрастания признака и проранжировать в таком порядке.
Вновь разложить карточки по цвету на две группы.
Подсчитать сумму рангов отдельно по группам и проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.
Определить большую из двух ранговых сумм Tk.
Вычислить эмпирическое значение U:


, где ni - количество испытуемых в i - выборке (i = 1, 2), nk - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.
Задать уровень значимости α и, используя специальную таблицу, определить критическое значение Uкр(α). Если , то H0 на выбранном уровне значимости принимается.

КРИТЕРИЙ МАННА-УИТНИ. U-критерий Манна-Уитни используется для оценки различий между двумя малыми выборками (n1,n2≥3 или n1=2, n2≥5) по уровню количественно измеряемого признака.

Проранжировать полученный ряд и вновь разбить его на две заданные выборки объемами n1 и n2

Вычислить эмпирическое значение

Определить большую из двух ранговых сумм Тх и ее объем nk

Посчитать сумму рангов отдельно о двух выборок

Определить Uкр, и если

то принимается гипотеза Н0

Пометить данные выборок Х и У и представить их в виде единого упорядоченного ряда

КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА-СМИРНОВА. Данный критерий позволяет оценить существенность различий между двумя выборками, в том числе возможно его применение для сравнения эмпирического распределения с теоретическим.

Записать модули разностей

Записать вариационные ряды контрольной и экспериментальной групп

Определить

Найти наибольший модуль dmax

Определить λкр, и если

то Н0 отклоняется на заданном уровне значимости

Вычислить относительные частоты f для двух имеющихся выборок

КРИТЕРИЙ ВИЛКОКСОНА. Критерий применяется для сопоставления показателей изменений в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. С его помощью можно определить, является ли сдвиг показателя в каком-то одном направлении более существенным, чем в другом.

Вычислить разности между индивидуальными значениями после и до эксперимента

Найти сумму рангов для «нетипичных» сдвигов Тэмп

Отметить ранги, соответствующие сдвигам в нетипичном направлении

Проранжировать модули полученных разностей в порядке возрастания

Определить Ткр, и если

то принимается гипотеза Н0

Записать в таблицу результаты до и после эксперимента

Определить разность между индивидуальными показателями после и до эксперимента

Определить критическое значение критерия
Gкр (α, n)

Подсчитать число нетипичных сдвигов Gэмп и общее число сдвигов

Выявить типичный сдвиг (+ или -)

Н0 принимается, если

Записать в таблицу результаты до и после эксперимента

КРИТЕРИЙ МАКНАМАРЫ. Этот критерий предназначен для работы с данными, полученными в самой простой из номинальных – дихотомической шкале, допускающей два типа ответов – «да» или «нет» (кодируются цифрами 1 и 0 соответственно).

Проверить В ? С

В + С = n? 20

В + С < 20

Вычислить

Вычислить

Найти по таблице

Н0 отклоняется, если

Найти матрицу

Проранжировать общую выборку по возрастанию

Найти

для к?4 и nj?5 или по специальной таблице для малых k и ni

Вычислить

Посчитать сумму Тj рангов каждой выборки объема nj

Н0 принимается , если

Записать значения признака для каждой из исследуемых групп

КРИТЕРИЙ КРУСКАЛА-УОЛЛИСА. H-критерий Крускала-Уоллиса является обобщением U-критерия Манна-Уитни на случай k несвязанных выборок (k >2) и предназначен для оценки различий одновременно между тремя, четырьмя и т.д. выборками по уровню какого-либо признака.

Проранжировать индивидуальные значения с показателей для каждого испытуемого

Найти критическое значение критерия по таблице

Найти

найти сумму Тj рангов для каждого признака

Н0 принимается , если

Записать значения признака для каждой из испытуемых

КРИТЕРИЙ ФРИДМАНА. Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в c условиях (c≥3) на одной и той же выборке из n испытуемых. Критерий Фридмана позволяет установить, что величины показателей от условия к условию изменяются, но при этом не указывает на направление изменений и в этом смысле похож на критерий знаков.

Проранжировать индивидуальные значения каждого испытуемого (по строкам)

Найти по таблице критическое значение

Найти

Рассчитать суммы рангов каждого признака и разместить их в порядке возростания Тj

Н0 принимается , если

Записать значения признака для каждого из n испытуемых

КРИТЕРИЙ ПЕЙДЖА. L-критерий тенденции Пейджа применяется для сопоставления показателей, измеряемых в k условиях (3≤k≤6) на одной и той же выборке из n испытуемых.