Математические софизмы

Математические софизмы     Что такое софизм? «Правильно понятая ошибка – это путь к открытию» И.П. Павлов    Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка), формально кажущееся   правильным,   но   по   существу   ложное   умозаключение, основанное   на   преднамеренно   неправильном   подборе   исходных положений.   Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных   ошибок.   Особенно   часто   в   математических   софизмах выполняются   «запрещённые»   действия   или   не   учитываются   условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием   ошибочного   чертежа   или   опираются   на   приводящие   к ошибочным   заключениям   «очевидности».     Встречаются   софизмы, содержащие и другие ошибки. В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики   сходна   с   той   ролью,   какую   играют   непреднамеренные   ошибки   в математических   исследованиях,   допускаемые   даже   выдающимися   математиками. Именно   уяснение   ошибок   в   математических   рассуждениях   часто   содействовало развитию математики.           Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (что одну прямую, параллельную данной, можно провести – это доказывается). Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, вывеси из остальных аксиом геометрии, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И всё же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Можно сказать, что они подготовили одно из величайших  достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит   нашему   великому   соотечественнику   Н.И.   Лобачевскому   и   венгерскому математику Яношу Бойяи. Н.И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных,   но   скоро   понял,   что   этого   сделать   нельзя.   И   путь,   идя   которым Лобачевский   убедился   в   этом,   привёл   его   к   созданию   новой   геометрии.   Этот замечательный вклад в математику был одним из тех, которые прославили русскую науку.                     Евклид               Н.И.Лобачевский Примеры математических софизмов Пример 1. 5 = 6 Попытаемся   доказать,   что   5   =   6.   С   этой   целью   возьмём   числовое тождество:  35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:  5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки). Получаем   5 = 6. ********************************************************************** Пример 2. 1 р. = 10 000 к. Возьмём верное равенство:  1 р. = 100 к.  Возведём его по частям в квадрат.  Мы получим: 1 р. = 10 000 к. Пример 3. 2 ∙ 2 = 5 Имеем числовое равенство (верное):  4 : 4 = 5 : 5.  Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель.  Получим: 4 (1 : 1) = 5 (1 : 1). Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2 ∙ 2 = 5. ********************************************************************** Пример 4. Любое число равно его половине Возьмём два равных числа a и b, a = b. Обе части этого равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b2. Получим: a2 – b2  = ab – b2, или (a + b) (a – b) = b (a – b). Отсюда a + b = b, или a + a = a, так как  b = a. Значит,  2a = a, a  =     .  Пример 5. Искусная починка В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см   длины  и   5   см  ширины,   т.е.  площадь   пробоины   =  65   см2.   Судовой   плотник   взял квадратную дощечку со стороной квадрата 8 см (т.е. площадь = 64 см2), разрезал её прямыми линиями на четыре части A, B, C, D так, как показано на рисунке 2, а  затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине, см. рисунок 3. Этим прямоугольником он и заделал пробоину. Вышло, что плотник сумел квадрат в 64 см2 обратить в прямоугольник с площадью 65 см2. Пример 6. Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска Пусть  a  (м) – расстояние от Земли до Солнца, а  b  (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем: a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем: a2 – 2av = b2 – 2bv. Прибавим к каждой части v2.  Получим: a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2, или   т.е.   и, значит,  (a – v)2 = (b – v)2, (a – v) = (b – v), a = b. Пример 7. Любое число = 0 Каково бы ни было число a, верны равенства: (+a)2 = a2 и  ( – a )2 = a2. Следовательно, (+a)2 = ( – a )2,  а значит,  и поэтому +a = – a, или 2a = 0,   a = 0. *************************************************************** Пример 8. «Новое доказательство» теоремы Пифагора Возьмём   прямоугольный   треугольник   с   катетами  a  и  b, гипотенузой c и острым углом  , противолежащим катету a.  Имеем: a = c sin , b = c cos , откуда a2 = c2 sin2 , b2 = c2 cos2 .  Просуммировав по частям эти равенства, получаем:  a2 + b2 = c2 (sin2   + cos2 ).  Но sin2   + cos2  = 1, и поэтому a2 + b2 = c2 .   Пример 9.    Два перпендикуляра Попытаемся  «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмём треугольник  ABC (рисунок 4). На сторонах  AB  и  BC  этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной  AC  в точках  E  и  D. Соединим точки  E  и  D  прямыми с точкой  B. Угол   AEB  прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол BDC также прямой. Следовательно, BE  AC и BD  AC. Через точку B проходят два перпендикуляра к прямой  AC.