Математический анализ 2 курс

ГБОУ СПО Калязинский колледж им.Н.М.Полежаева                                                                                               РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ раздела математики «Математический анализ»                            (Для студентов 2 курса)                                            Разработал:                    преподаватель математики Старикова Н.В.                                                                                                            Калязин, 2014 год 0 Методические указания         Данное   пособие   ставит   своей   целью   оказание   помощи   обучающимся колледжа в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений  и навыков по разделам курса математики.        Эта работа требует упорства и умения читать, понимать прочитанное и применять   его   практически.   В   этом   заключается   суть   умения   работать   с учебными пособиями.                           Некоторые практические советы.   Прежде всего необходимо ознакомиться с содержанием того или иного  раздела или темы. Затем следует выбрать в качестве основного учебное  пособие и придерживаться его при изучении всей части курса.   Учитесь самоконтролю.   Помните: учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания  является  понимание, знание забывается – понимание никогда; повторение ­  важнейшее средство, предотвращающее забывание.     Обязательно отвечайте на вопросы самоконтроля.           О решении задач     Решение задач является лучшим способом закрепления материала. При  этом следует придерживаться следующих советов: 1.внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие    теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с     некоторыми ее элементами; 2.составьте план решения; 3.если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на     вопросы: что дано; что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти  1 неизвестное и т.д.         Требования к выполнению и оформлению зачетной работы. 1.В конце данного пособия по каждой теме даются задания или тесты для     контроля знаний полученных студентом. Результаты выполнения данных     заданий позволяют преподавателю оценить и зачесть объем материала,     изученного студентом самостоятельно. 2.После изучения темы или раздела студент может получить консультацию     преподавателя. 3.Зачетная работа должна студентом выполняться самостоятельно, аккуратно    и полно.                                                             Рекомендуемая литература                       1. И.И. Баврин, В.Л. Матросов «Высшая математика» ­М., ВЛАДОС,2009. 2. В.С. Щипачев «Основы высшей математики» ­ М.: Высшая школа, 2011. 3. И.И. Валуцэ «Математика для техникумов» ­М. 4. В.Ф. Бутузов, Н.И. Крутицкая «Математический анализ в вопросах и задачах» ­М.:  Физматлит,2010. 5. М.Я. Выгодский «Справочник по высшей математике» ­М.: Росткнига,2013                                                         П Р О Г Р А М М  А 2 1.  Пределы.    2.  Производная и ее приложения.   3.  Дифференциал функции.   4.  Интеграл и его приложения.    5.  Дифференциальные уравнения.    6.  Ряды.  1.Пределы. 1).Предел последовательности. Число а называется пределом  последовательности (                                             если для любого                         х   >0  существует число   <   при  а N=N( ) такое, что nх ) : lim  n  n >N. xn  ε ε ε a , 2). Теоремы о пределах:        1.   lim cx =c lim x,    где  с­const        2.   lim (x+y)=lim x+ lim y,        3.   lim xy = lim x ∙ lim y,        4.   lim x n = (lim x) n ,        5.  lim    если  lim y  0. , х  y x lim y lim А  при х 3).Предел функции.  Говорят, что функция  f(х)                                                                                     lim f(х) = А,                                          Если для любого  удовлетворяющих условиям  | x – a | < δ,  x a,  имеет место  неравенство                                              | f(x) –A | < .ε  такое  что, для всех х,  ε  >0 существует    )(  х  а 0 ,а  или 4). Бесконечно малые и бесконечно большие функции. .0  )( xf lim  x a   Функция  f(x) называется бесконечно малой при  х  а , если                                           Функция   f(x) называется бесконечно большой при  х  а , если                                           Функция обратная бесконечно малой, есть величина бесконечно большая.   И, наоборот, функция обратная бесконечно большой, есть величина  бесконечно малая.  . lim  x a )( xf 3 5).Вычисление пределов. 1. Предел многочлена. 3 х   Вычислить       5( lim  x 2  2 2 х  3 х  723 22 25 )7 2 3 .49   Таким образом, для вычисления предела многочлена f(x) при  достаточно  вместо переменной  х  поставить значение   стремится, выполнить соответствующие действия, т.е. х  0х ,0х , к которому  она                       lim  x x 0 )( xf  ( xf 0 ) .  2.Предел отношения двух многочленов,  lim  x x 0 xf )( xg )( , где х 0  число     с ­  следует находить с применением  теорем, что   приводит к    с  1)   Тип                         подстановке в выражение вместо    х    значение   2)   Тип   . 0х .     с ­     тогда        0  )( xf )( xg lim  x x 0     0 ­   следует числитель и знаменатель разложить на множители  3)   Тип    0                              и сократить, избавившись таким образом от данной неоп­                             ределенности. 4)  Тип     с       ­  тогда    lim  x c )( xg  .0  5)   Тип                                 степень, выполнить упрощения и применить теорему 5.     ­  числитель и знаменатель разделить на наивысшую           3.Первый замечательный предел: lim  x 0                                    т.е. sin x    и     х     при   х 0  являются эквивалентными бесконечно      малыми    и  обозначают     sin x ~ x. .1  x sin x  3.Второй замечательный предел: 4 1(  lim  x 1 x x )   7,2   ­ основание натурального логарифма.   По данной теме сначала изучите    § 31 гл.6  методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение  примеров  1­9 стр. 194­197  6.23, 6.24, 6.28, 6.30, 6.31, 6.35, 6.39, 6.41, 6.43, 6.44. .3  . Решите следующие упражнения: .3 .  Затем ознакомьтесь с  Зачетная работа № 1   Вычислить пределы: lim  x 2 x x   3 2 , 2 x __________ x lim  x 0 __________  3 x 2 , 3 x x   1 1 2 , x 2  5 12 lim  x 1 __________ x lim x  x 2 __________  5 lim 2 x  x __________ x x 4 x   3 3 . x 3 4sin x lim  x 0 __________ x 2    1 lim   x __________ 2 x    __________ __________ __________ __________ __________ ___ __________ __________ __________ __________ __________ ___ __________   __________ 6 20 , __________ __________ __________ __________ ___ __________ __________ __________ __________ ___   , __________ __________ __________ __________ __________ ___ __________ __________ __________ __________ __________ ___ __________ __________ __________ __________ __________ ___ 5 Производная и ее приложения. О п р е д е л е н и е  1.  Производной функции  f(x) в точке  0х  называется  предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если  приращение аргумента стремится к нулю, т.е. f ('                                  О п р е д е л е н и е  2. Операция нахождения производной называется  дифференцированием функции. lim  0 x  x ) . 0 ) 0  xf (  x О п р е д е л е н и е  3.  Производная функции f(x) в точке  коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его  точке с абсциссой                                               f ‘( в этом заключается геометрический смысл производной. 0х )=k=tg α. 0х  равна угловому 0х , т.е.              y  y 0  ( xf )( x  0 x 0 )  ­  уравнение касательной   О п р е д е л е н и е  4.  Мгновенная скорость прямолинейного движения  материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути  s по времени t:                              V(t)=s’(t)= в этом заключается  механический смысл производной. ds , dt          Правила дифференцирования. ( сu )  , uc ( vu  , u v ) ( uv )    u v    vuvu  ,   , vuvu   v 2   если y  ug )(  сложная 6 где  u=f(x),   то           y x )( ug  ( f x ).       Основные формулы дифференцирования .(1 С .(2 х ) n  ,0 )  nx .(3 x )  2 .4    1 x      x 5 6 .(sin .(cos x )  cos x )  .(7 tgx )  cos .(8 ctgx )  .(9 a x )  a x .(10 e x )  e x 11 .(ln x )  1 12 .(log a x )  13 .(arcsin x ) 14 .(arccos x ) .(15 arctgx )  .(16 arcctgx )            Вторая производная.  Второй производной функции  y=f(x)  называется производная от ее первой  производной   Вторая производная функции обозначается одним из символов:  (xf y ). 7 y  ;  ( x f 2 yd ); . 2 dx  . ) y        Таким образом      Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка: y ( ) y ( y     или                       Механический смысл второй производной:   или )( x . 3 yd 3 dx f  Ускорение a(t) прямолинейного движения материальной точки в момент  времени t равно первой производной от скорости по времени или второй  производной от пути по времени, т.е.                          a(t)= dv  dt 2 sd .2 dt                Признаки возрастания и убывания функции.          Если производная функции f(x) в данном промежутке значений х  положительна, то функция возрастает в этом промежутке, а если  производная отрицательна, то функция убывает.                Признаки максимума и минимума. 0x  меняет знак   при переходе через точку   при переходе через точку  )(xf  0x  является точкой максимума; )(xf  0x  является точкой минимума; 1.Первый признак. (Пусть f(x)­дифференцируема в окрестности точки 0x )      Если производная  плюса на минус, то       если производная  минуса на плюс, то      если производная при переходе через точку  точке  0x  функция не имеет экстремума. 2.Второй признак.      Если функция f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой  окрестности точки  функция f(x) имеет максимум, если   0x  не меняет знак, то в    и минимум, если   0x  меняет знак  , то в точке  ( 0  xf ,0 0x , причем   x ( 0  ,0)  x ( 0  0 )  x ( 0  )  а   0x .0 ) f f f          Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба. 8 1.Если на интервале (а;b) дважды дифференцируемая функция у=f(x), x );( ba то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз). , имеет отрицательную (положительную) вторую производную,  О п р е д е л е н и е . Точкой перегиба кривой называется точка, которая  отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой. );( ba 2.Если функция у=f(x), x интервале(а;b) и при переходе через   вторая производная  меняет знак, то точка кривой с абсциссой х= 0x  является точкой  перегиба. , дважды дифференцируема на  );( ba 0x f  )(x       Первое правило нахождения максимума и минимума функции у=f(x), 1.Найти производную  )(xf  . 2.Приравняв её к нулю, отыскать корни полученного уравнения; пусть эти  корни( критические значения аргумента) будут  ххх 1 3  и т.д. , , 2 2 , , ххх 1 3 ,1х  но меньшее ,1х  а затем подставить  ;2х  если при этом знак производной  ,… в порядке возрастания их величин,  3.Расположив значения подставить в производную любое число, меньшее  любое число, большее окажется: ,1х  имеет максимум,   1) сначала +, затем  ­,  функция при х=   2) сначала  ­ ,  затем +,  функция при х= ,1х  имеет максимум,   3) в обоих случаях одинаковый, то при х= максимума, ни минимума.   Таким же образом определить знак  х< 2х знак   значений  х   между  будет ли функция при  х= 2х  иметь максимум или минимум или не будет  иметь ни того ни другого и т.д.  уже определен, остается найти ее знак в промежутке   установить,   для х< 2х   и для х> 2х , но для  3х  и по чередованию знаков ,1х функция не имеет ни  2х   и  )(xf  )(xf  )(xf  ( ( ( ) ), ), xf 3 xf 2  и т.д. 4.Найти максимальные и минимальные значения функции, т.е. вычислить xf 1         Четвертый пункт этого правила нужен только в том случае, если  необходимо определить положение точек на кривой, соответствующих  максимуму и минимуму функции.        По данной теме следует изучить главу 7 [3], разобрать решения примеров  §§33, 34, 36, 37, 39, 43. Зачетная работа № 2. 9 4 x x 3 5 ,7  1. Найти производные функций:  y __________ __________   3 xf )( __________ __________ x 3 x __________ ),8 __________   x 7 5(   )( 4 4 x x x y , 5 2 __________ __________ __________ _ __________ __________ __________ _ __________ __________ __________ __________ __________ __________ _ )( xf  3sin x  ln5 x  9 ctg x 2  5 x 7  cos x , __________ __________ __________ __________ __________ _ __________ 2 5 x  x y 3  4 x 5  xx , __________ __________ __________ __________ __________ __________ _ 2. Найти  ),1(f   если     xf )(  1 3 3 x  2 x  .1 1 3 3 t  2 3 t  .5   Вычислить ускорение движения в конце второй   )( ts 3.    секунды. 4. Найти максимум и минимум функции     y  x 3 9 2 x 2  .5 ________________________________________________________________ 5. Исследовать и построить график функции         3 2 x .4  9 x x y  3 6. Число  8  разбить на два слагаемых так, чтобы сумма их кубов была  наименьшей.                       Дифференциал функции.    По данной теме сначала изучите § 44 [3].  Затем ознакомьтесь  и  внимательно разберите решение примеров из  пособия [3]. Ответьте на  10 вопросы и выполните упражнения для самопроверки. Решите следующие  задачи: [3] , № 7.112­7.115,   7.120, 7.123­7.125.              Вопросы и упражнения для самопроверки. 1.Дайте определение дифференциала функции. ______________________________________________________________ 2.Чему равен дифференциал независимой переменной (аргумента)? ______________________________________________________________ 3.По какому правилу находят дифференциал функции? ______________________________________________________________ 4.В чем состоит геометрический смысл дифференциала функции? ______________________________________________________________ 5.Как применяют дифференциал функции в приближенных вычислениях? ______________________________________________________________ 6.Найдите дифференциалы функций:   а).   53)(1 2(  x x y  2 ) 2    б).   v ln sin 3  . _______________________________________________________________ 7.Вычислите значение дифференциала функции  s= от 4 до  4,025.   при изменении  t   2 t 9 ________________________________________________________________ 8.Найдите приближенное значение :   9843 005 ,0 ,1 и . 3 ________________________________________________________________ 9.Объем куба, ребро которого равно 40 см, при нагревании увеличился на 0,05 своего первоначального значения. Найдите удлинение ребра куба.                 Интеграл и его приложения. 11 1.  Функция F(x) называется первообразной   для функции  f(x), если                                               ,  или, что то же самое,  )( xF dF  dxxf . )( xf )( )( x       Для функции   f(x) существует множество первообразных  F(x)+c. 2.   Множество всех первообразных  F(x)+c    для функции   f(x) называется        неопределенным интегралом и обозначается           Таким образом            3.    Основные свойства неопределенного интеграла.          1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.                        =F(x) +c.  dxxfа .  dxxаf )( dxxf . )( dx . const xf )( )(  a  ) (          2) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной               функции, т.е.                         dxxf )(      CxF )(   )( xF  xf ( ).          3)Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному             выражению, т.е.                          )( xfd  dx    )( xf dx   dx  )( xf . dx           4)Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции              равен этой функции плюс произвольная постоянная                                       5)Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух   dxxF  CxF dxxf  )( x )( )( )( dF    .               непрерывных функций  равен алгебраической сумме интегралов от               этих функций в отдельности, т.е.                             ( xf )(  xg ( )) dx   dxxf )(   xg )( dx 4. Таблица основных интегралов. 12  x . c  x p p  1  1  ; c ( p  )1 ln | x |  c . xdx xdx  cos x  c .  sin x  . c  tgx . c x  dx .1 p .3 .2  dx  x dx  x  sin .4  cos dx  .6 2 cos dx  2 sin  .7 .5 .8 2 .9 x dx  1 x dx   1 x  x .10 e dx  dxa  f  a  .13 .12 .11 14 ax ( 2 x  ctgx  . c  arcsin x  . c 2  arctgx  . c  e x  a ln x a . c  . c  dxb )  1 a axF (  b )  . c dx  x dx  2  2 1 a arctg  arcsin 2 x x a x a  . c  . c a 5.Методы интегрирования.      1.Непосредственное интегрирование. Это такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем  тождественных преобразований подынтегральной функции и применения  свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким  табличных интегралов. 13 П р и м е р  1.  4 x  2 3  2 x x 2  5 x  9 dx   x 3 2 x  ln5 | x |   c .     9 x 3 2 x  2 5 x  9 x  2 3    dx 3 x 3  2 x  ln5 | x  9| x   1 1  c      2.Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)    Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой  переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому  интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно. П р и м е р  2.      Найти      43 ) x  Сделаем подстановку   подстановки:       Найдем  дифференциал обеих частей  . 4   откуда      Следовательно, dx  t 3 2dx dt  4(  dx  3x dt x x x . , . 2 2 1 3 1 15  c 5 1 t 53 5 t  c 1 15  4  x 53   . c 2 4 x  4( dx 43 )  x 1  3         3.Интегрирование по частям.  t 1 3  dt  t 4 dt   Сущность метода интегрирования по частям соответствует его названию.  При вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение      представляется в виде произведения множителей   u    и     dv; при     этом   dx   обязательно входит в  dv.  В результате получается, что заданный  интеграл находят по частям: xf )( dx . .    2 х 2 x 2 x 2 х e х e е х e е )1  3( uv dx  1 dx dx 1 2 udv  e x2   3  x21 1 2 vdu  3  х ,   тогда    du=3dx,  v=                                 П р и м е р  3.     Найти           Положим  u=3x­1;    dv= Следовательно,       dx )1                        Определенный интеграл и его                                   приложения   1.О п р е д е л е н и е.     Приращение    F(b) ­ F(a)   любой из первообразных   F(x)+c  при  изменении аргумента   от    х=а   до   х=b  называется определенным  интегралом от   a  до   b   функции  f(x)   и обозначается  е 1 2 3 4 3 2 dx 3(   c e x e 2 x 2 x 2 х  .   14 ,     где  b a )( dxxf                                                   а­ нижний предел интегрирования,     b­верхний предел интегрирования.   Таким образом, по определению                                  )( bF   2.Формула Ньютона­Лейбница                               xf )( dx  b a aF )(                                  dxxf )( b a  xF b |)( a  )( bF  aF ( ). 3.Геометрический смысл определенного интеграла.      Определенный интеграл    криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции   f(x), осью  абсцисс и прямыми  х = а   и  х = b,  т.е.   численно равен  площади   S   xf )( dx b a                                     S=     4.Свойство определенного интеграла.  dxxf )( a b      Если поменять местами границы интегрирования определенного  интеграла, то значение определенного  интеграла поменяется на  противоположное, т.е.                                       = ­     dxxf xf )( )( dx b a a b                                    Контроль знаний  № 9. 1.Доказать, что функция   F(х)= функции      f = 7      на  промежутке   4 3  3 2 х  6 х х х  4      есть  первообразная  для   (  ) ; . 2.Найти первообразную для функции  f(x)=3sin x­2cos x. 15 3.Для функции     f(x)= 3х   найти первообразную, график которой проходит      через точку  М(1; ­1). ________________________________________________________________ 4.Вычислить:   1).  2хdx 3 1  _______________________________________________________   2).   2 0  cos хdx  _____________________________________________________   3).    4).   1( 3 2 х 3) dx  ___________________________________________________ 4 5  1 х х dx    ___________________________________________________ 5.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями          __________________________________________________________________ у  у  .х    5,0 2х , 6.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс     криволинейной трапеции, ограниченной линиями                  у=2х+1,  х=0, х=2, у=0. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 16