САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «РЕСТАВРАЦИОННО-ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»
Учебные материалы для подготовки к экзамену для студентов на дистанционном обучении
1. Матрицы и определители
1. Матрицы и определители
Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов
Матрицей размера m x n называется
прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
3
Обозначение: где i = 1,2…m j = 1,2…n - матрица размерности m x n - элемент матрицы i –ой строки и j -го столбца, 4
Обозначение:
где
i = 1,2…m
j = 1,2…n
- матрица размерности m x n
- элемент матрицы i –ой строки и j -го столбца,
4
Матрица размерности m x n 5
Матрица размерности m x n
5
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то такая матрица называется квадратной
Если число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то такая матрица называется
квадратной.
- квадратная матрица размерности 3х3
6
Если в квадратной матрице все диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0, то она называется единичной
Если в квадратной матрице все диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0, то она называется единичной.
7
Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0
Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0.
Нулевая матрица
8
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой
Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой или
вектором-строкой.
Матрица-строка
9
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом
Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей-столбцом или
вектором-столбцом.
Матрица-столбец
10
Действия над матрицами 1. Умножение матрицы на число
1.1. Действия над матрицами
1. Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.
Полученные произведения образуют итоговую матрицу
11
Пример: Умножая матрицу на число 2, получим: 12
Пример:
Умножая матрицу
на число 2, получим:
12
Сложение матриц Складываются матрицы одинаковой размерности
1.2. Сложение матриц
Складываются матрицы одинаковой
размерности. Получается матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих
элементов исходных матриц.
13
Пример: 14
Пример:
14
Умножение матриц Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй
1.3. Умножение матриц
Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
Тогда каждый элемент полученной матрицы равен сумме произведений элементов i – ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй.
15
Пример Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение существует: 16
Пример
Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение существует:
16
Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:
Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:
Операция перемножения матриц в общем случае некоммутативна:
17
Транспонирование матриц Матрица
1.4. Транспонирование матриц
Матрица АТ называется транспонированной к матрице А, если в ней поменяли местами строки и столбцы.
18
Пример: 19
Пример:
19
Определитель матрицы Определителем матрицы (порядка 2, матрицы 2х2) называется число, которое обозначается Δ: = 11 22 – 12 21 20
1.5. Определитель матрицы
Определителем матрицы (порядка 2, матрицы 2х2) называется число, которое обозначается Δ:
= 1122 – 1221
20
Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу : 21
Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка
называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, выбираемых по следующему правилу:
21
три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: берутся со знаком " ", а три произведения элементов, стоящих на побочной…
три произведения элементов, стоящих на
главной диагонали и в вершинах двух
треугольников:
берутся со знаком "", а три произведения
элементов, стоящих на побочной диагонали и
в вершинах двух других треугольников:
берутся со знаком "".
22
Пример 23
Пример
23
Метод Крамера решения систем линейных уравнений
2. Метод Крамера решения систем линейных уравнений
Решить систему уравнений: 25
Решить систему уравнений:
25
3. Комплексные числа
3. Комплексные числа
Мнимые числа i2 = -1, i – мнимая единица i, 2i, -0,3i — чисто мнимые числа
3.1.Мнимые числа
i2 = -1, i – мнимая единица
i, 2i, -0,3i — чисто мнимые числа
Арифметические операции над чисто мнимыми числами:
𝑎𝑎𝑖𝑖+𝑏𝑏𝑖𝑖= 𝑎+𝑏 𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑎+𝑏 𝑖𝑖;𝑎𝑎 𝑖𝑖−𝑏𝑏 𝑖𝑖= 𝑎−𝑏 𝑎𝑎−𝑏𝑏 𝑎−𝑏 𝑖𝑖; 𝑎𝑎 𝑏 𝑖 𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑏 𝑖 = 𝑎𝑏 𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑎𝑏 𝑖𝑖; 𝑎 𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑎 𝑖 𝑏 𝑖 𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑏 𝑖 =𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑖 2 𝑖𝑖 𝑖 2 2 𝑖 2 =−𝑎𝑎𝑏𝑏
где a и b — действительные числа.
3𝑖𝑖+13𝑖𝑖= 3+13 3+13 3+13 𝑖𝑖=16 𝑖𝑖 3𝑖𝑖⋅13𝑖𝑖= 3⋅13 3⋅13 3⋅13 ⋅ 𝑖⋅𝑖 𝑖𝑖⋅𝑖𝑖 𝑖⋅𝑖 =39 𝑖 2 𝑖𝑖 𝑖 2 2 𝑖 2 =−39 𝑖 7 𝑖𝑖 𝑖 7 7 𝑖 7 = 𝑖 2 3 𝑖 2 𝑖 2 𝑖𝑖 𝑖 2 2 𝑖 2 𝑖 2 𝑖 2 3 3 𝑖 2 3 ⋅𝑖𝑖=−𝑖𝑖
В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы:
27
Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа: 𝑧=𝑎+𝑏𝑖∈𝐶⇔𝑎∈𝑅,𝑏∈𝑅, 𝑖−мнимая единица
28
Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа:
𝑧=𝑎+𝑏𝑖∈𝐶⇔𝑎∈𝑅,𝑏∈𝑅, 𝑖−мнимая единица.
Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части:
𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑖𝑖=𝑐𝑐+𝑑𝑑𝑖𝑖⇔𝑎𝑎=𝑐𝑐,𝑏𝑏=𝑑𝑑.
Арифметические операции над комплексными числами (а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i (а + bi) - (c…
29
3.2. Арифметические операции над комплексными числами
(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
(а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i
(а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Сопряженные комплексные числа Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному
30
3.3. Сопряженные комплексные числа
Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному.
Если данное комплексное число обозначается буквой z, то сопряженное число обозначается 𝒛 𝒛𝒛 𝒛 :
𝑧=𝑥+𝑦𝑖
𝑧 =𝑥−𝑦𝑖
31 Примеры:
31
Примеры:
4.Пределы
4.Пределы
33 Примеры:
33
Примеры:
5. Производная сложной функции
5. Производная сложной функции
Производные основных элементарных функций:
35
5.1. Производные основных элементарных функций:
36 Примеры:
36
Примеры:
Производная сложной функции Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x, а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u ,…
37
5.2. Производная сложной функции
Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x, а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u , то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:
38 Примеры:
38
Примеры:
39 Примеры:
39
Примеры:
Исследование функции Общий план:
40
5.3. Исследование функции
Общий план:
Найти область определения;
Исследовать функцию на непрерывность;
Установить четность или нечетность;
Определить, является ли функция периодичной;
Найти производную;
Найти критические точки;
Исследовать критические точки на наличие экстремума, найти экстремальные значения функции;
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба;
Найти асимптоты кривой;
Построить график функции.
41 Спасибо за внимание
41
Спасибо за внимание
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.
