Математика в искусстве

Введение

Казалось бы, математика и искусство — две несовместимые вещи. Но это лишь стереотип. С давних времен художники и архитекторы используют математику для создания своих шедевров, получивших одобрение публики. Ничто не приковывает взгляд человека, как красота природы, которая, в свою очередь, и создала математику. Именно поэтому люди могут часами рассматривать картину Леонардо Да Винчи “Мона Лиза”, которая привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках". Данная исследовательская работа посвящена изучению взаимосвязи математики и искусства.

Объект исследования: Математика и искусство.

Цель исследования: Воспользовавшись различной литературой, доказать, что математика влияет на искусство, рассмотреть применение математики в архитектуре города Подольск.

Задачи исследования:

1.    Рассмотреть применение математики в архитектуре, живописи и музыке;

2.    Рассмотреть золотую пропорцию и связанные с нею отношения;

3.    Частично изучив архитектуру города Подольск, рассмотреть наиболее известные здания с применением золотого сечения.

Гипотеза: Математика играет важную роль в искусстве

Методы исследования: Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети интернет. Наблюдение, сравнение, анализ.

Математика и искусство

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке.

Искусство — форма творчества, способ духовной самореализации человека посредством чувственно-выразительных средств (звука, пластики тела, рисунка, слова, цвета, света, природного материала и т.д.)

Математика как наука родилась в Древней Греции. Математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п.). Позже математику начали использовать в искусстве. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

«Золотое сечение» встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями заставляет не отводить от него глаз.

Теория пропорций Поликлета ярко воплотилась в статуе «Дорифор»-копьеносец, которую он изваял в строгом соответствии всех частей. Дорифор представляет собой изображение не конкретного атлета, победителя в состязаниях по метанию короткого копья, а обобщенный образ идеальной мужской фигуры. Так, пупок (точка О) делит высоту статуи в отношении «Золотого сечения». Значит, если высоту AB принять за 1, то AO = φ, но тогда OB = 1 - φ. На рисунке показано, что расстояние OB берется равным. Если считать, что 1 - φ = φ, то приходим к уравнению φ² + φ - 1 = 0. Откуда φ = (-1 + √(1 + 4)) / 2, т. е. получили алгебраическое построение “Золотого сечения”, которое сводится к решению уравнения

a : x = x : (a - x), откуда x = ((√5 - 1)a) / 2 = 0,62a.

Математика тесно связана не только с архитектурой и древними скульптурами, но и с музыкой. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел и понимаем, что мир звуков и пространство чисел связаны друг с другом. Древнегреческий философ Пифагор, один из первых установил связь между музыкой и математикой.

Он создал учение о звуке, изучал математические и философские стороны звука, пытался связать музыку с астрономией. В период средневековья музыка понималась не как искусство, а как наука и относилась к сфере математических знаний. В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат работы Леонарда Эйлера “Диссертация о звуке”, написанная в 1727 году: “Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков”.

Свое отношение к математике и музыке ученые высказывались в своих личных переписках. Так, например, Лейбниц в письме Гольбаху пишет: “Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать”. На что Гольбах ему отвечает: “Музыка – это проявление скрытой математики”

«Золотая пропорция» и связанные с нею отношения

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов, архитекторов. Так, выбирая размеры картины, художники старались, чтобы отношения ее сторон равнялось φ. Такой прямоугольник стали называть «золотым».

Построим «золотой» прямоугольник по описанным ниже указаниям, дошедшим до нас со времен Евклида.

1.    Начертите квадрат и разделите его на два равных прямоугольника.

2.    В одном из прямоугольников проведите диагональ АВ.

3.    Циркулем проведите окружность радиуса АВ с центром в точке А.

4.    Продолжите основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и проведите под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.

Измерьте линейкой длины сторон построенного прямоугольника MNKP и вычислите отношение большей стороны к меньшей. (Отношение должно быть 1,6.)

I свойство:

Если от золотого прямоугольника со сторонами а и b (где а > 5) отрезать квадрат со стороной b, то получим прямоугольник со сторонами b и а-b, который тоже золотой. Продолжая этот процесс, каждый раз будем получать прямоугольник меньших размеров, но опять золотой.

II свойство:

Процесс, описанный выше, приводит к последовательности так называемых вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется “Золотая спираль”. полюсом называется точка, с которой она начинает раскручиваться (точка S). Отрезки, соединяющие точку S с точками спирали, называются полярными радиусами.

“Золотая спираль” активно используют в искусстве. Есть одно важное правило:

Содержание — в сердце «золотой спирали». Золотую спираль можно использовать для того, чтобы распределить объекты на плоскости. В центр можно поставить самые важные детали, а остальные — привязать к линии спирали.

В своих архитектурных творениях древнегреческие мастера исходили из пропорций, которые видели в природе, и прежде всего в пропорциях человеческого тела.

Рассмотрим пентаграмму. Построим сначала правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Из ее центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности, равные 360/5 = 72 градуса, стороны углов пересекут окружность в точках A, B, C, D, E. Соединив их, получим правильный пятиугольник. Проведем диагонали и получим пентаграмму.

Стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении её сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

Золотое сечение в архитектуре города Подольск

Закон золотого сечения неотъемлемая часть архитектуры. Перед архитекторами стоит непростая задача. Им необходимо соблюсти архитектурные пропорции, которые являются важным средством на пути к гармонии комфорта и надежности сооружения.

Мы провели исследование фотоснимков Храма Знамения Пресвятой Богородицы. На фотоснимках мы измеряли:

·         Отношение высоты церкви к нижнему ярусу;

·         «Золотой треугольник»: отношение расстояния от основания купола до креста к диаметру основания.

Полученные измерения очень близки к числу золотого сечения - 1,618. Размеры полученные в процессе измерения, могут немного отличаться от настоящих, так как измерения производились с погрешностью глазомера, линейки.

Таблица измерений:

Заключение

Мы думаем, что наша работа является небольшим пособием для понимания связи математики и искусства. Мы рассмотрели применение математики в виде “Золотого сечения” в архитектуре, живописи и музыке. В нашем проекте мы описали применение “Золотого сечения” только на одном здании, но здания, при построении которых применяли “Золотое сечение”, встречаются в нашем городе неоднократно.