Материал к уроку геометрии в 10 классе "Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми"

  • Презентации учебные
  • Раздаточные материалы
  • Разработки уроков
  • pptx
  • 07.01.2017
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Опорный конспект к урокам геометрии в 10 классе "Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми"
Иконка файла материала 1-Скрещивающиеся прямые Microsoft PowerPoint.pptx

Взаимное расположение прямых в пространстве

Скрещивающиеся прямые
Угол между прямыми

Урок геометрии
в 10 физико-математическом
классе

9.10.2016

Но надо жить без самозванства,
Так жить, чтобы в конце концов
Привлечь к себе любовь
пространства,
Услышать будущего зов.
Б. Л. Пастернак

Дан куб АВСDA1B1C1D1

Выясните взаимное расположение
прямых АА1 и DD1;
АА1 и СС1 ?
Поясните.

2. АА1 и DC?

Определение. Две прямые называются
скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости.

С

Теорема. Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

a

b

Алгоритм доказательства
с использованием признака скрещивающихся прямых

Выделить плоскость,
в которой лежит одна
из скрещивающихся прямых.

2. Доказать, что вторая прямая
пересекает выделенную
плоскость в точке, не лежащей на
первой прямой.

3. Сделать вывод, что прямые
являются скрещивающимися
по признаку скрещивающихся прямых

DC1  (D1C1С D)

А1C  (D1C1С D) = С; С DC1

А1C ∸ DC1

Куб ABCDA1B1C1D1

А

В

С

D

Тетраэдр DABC

Скрещивающиеся ребра

AB ; CD
AD; CB
AC; DB

Задача №34.

А

В

С

D

M

N

P

Р1

К

Дано: D (АВС),

АМ = МD; ВN = ND; CP = PD

К ВN.

Определить взаимное
расположение прямых:

а) ND и AB

б) РК и ВС

в) МN и AB

Задача №34

А

В

С

D

M

N

P

К

Дано: D (АВС),

АМ = МD; ВN = ND; CP = PD

К ВN.

Определить взаимное
расположение прямых:

а) ND и AB

б) РК и ВС

в) МN и AB

г) МР и AС

д) КN и AС

е) МD и BС

Задача №93




α

a

b

М

N

Дано: a || b

MN ∩ a = M

Определить
взаимное расположение
прямых MN u b.

???

1. Определить взаимное
расположение прямых
АВ1 и DC.

2. Указать взаимное
расположение прямой
DC и плоскости АА1В1В

3. Является ли прямая АВ1
параллельной плоскости
DD1С1С?

Можно ли через одну из скрещивающихся
прямых провести плоскость?

Сколько их?

b

а

параллельно другой прямой

Докажем это.

?

О существовании параллельных плоскостей, проходящих через скрещивающиеся прямые

Теорема.

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

- О каких фигурах идет речь в теореме?

С

D

A

B

- Что требуется доказать в теореме?

Дано:

CD ∸AB

Доказать:

б) CD∥ α

2. α- единственная

1. Существует α:

- Каким условиям эта плоскость должна удовлетворять?

а). AB ⊂α,

а)

б)

- Что ещё требуется доказать в теореме?

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Что нужно доказать в первой части теоремы?

Нужно доказать, что существует плоскость, проходящая через одну из
скрещивающихся прямых и параллельная другой.

Какая фигура помогает убедиться в параллельности прямой и плоскости?

Прямая, параллельная данной прямой.

Каким образом построить эту прямую, чтобы она
помогла построить искомую плоскость?

Эта прямая должна пересекать прямую АВ.

Итак, с чего начнем построение плоскости α?

Что еще нужно доказать в теореме?

2) построим прямую, проходящую через эту точку,
параллельно CD;

3) построим плоскость.

Нужно доказать, что эта плоскость единственная.

1) Выберем точку на прямой АВ;

Каким методом доказывается обычно единственность?

Методом от противного.

Что делаем на первом этапе?

Предполагаем, что существует другая плоскость,
проходящая через АВ, параллельная CD.

Выясним взаимное расположение этой плоскости с другими фигурами.

Плоскость β пересекается с АЕ, т.к. АЕ⊂α.

Получили противоречие с требованием. Какой вывод можно сделать?

Плоскость α – единственная.

E

𝜶

β

Плоскость β пересекает CD, т.к . CD ∥АЕ

Может ли такое быть?

Это противоречит требованию, что β ∥ CD.

C

D

A

B

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

2. Выделите в каждой части доказательства этапы.

Прочитайте доказательство теоремы, представленное в учебнике. Сколько частей можно выделить в доказательстве?

II.

I.

1)

2)

1)

2)

C

D

A

B

E

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых
проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом
только одна.

Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

С

D

В

А

1. Повторите этапы построения плоскости, проходящей через одну из данных скрещивающихся прямых параллельно другой.

2. В теореме речь идет о каждой из данных скрещивающихся прямых. Постройте плоскость, проходящей через прямую CD параллельно АВ.

А

А1

С

В

В1

С1

Задача

Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b.

Построение:

Через точку К провести
прямую а1 || а.

2. Через точку К провести
прямую b1 || b.




а

b

К

а1

b1

3. Через пересекающиеся
прямые проведем
плоскость α. α – искомая
плоскость.

Куб, прямоугольный параллелепипед

А

В

С

D

E

F

N

T

Тетраэдр DABC

Скрещивающиеся ребра

AB ; CD
AD; CB
AC; DB

а

b

Прямые a и b пересекаются.
Образуются смежные и вертикальные углы.
При этом вертикальные углы равны.
Сумма смежных углов равна 180˚.

Определение.
Углом между прямыми называется угловая мера меньшего из углов при пересечении двух прямых.

1.

α

0◦ < α 90◦

b

a

2.

Угол между скрещивающимися прямыми

3.

Угол между скрещивающимися
прямыми АВ и СD определяется как …?

А

В

D

С

Угол между скрещивающимися прямыми

3.

Угол между скрещивающимися
прямыми АВ и СD определяется как

А

В

D

С

А1

В1

С1

D1

α

М1

угол между пересекающимися
прямыми А1В1 и С1D1,
при этом А1В1|| АВ и С1D1|| CD.

!!! Величина угла между скрещивающимися прямыми
не зависит от выбора точки.

Зависит ли величина угла между скрещивающимися прямыми от выбора точки?

Задача №44

Дано: ОВ || СD,
ОА и СD – скрещивающиеся.
Найти угол между ОА и СD, если:

О

В

C

D

A

а)

б)

в)

(400 )

(450 )

(900)

C1

C

A1

B1

D1

A

B

D

1). Дан куб АВСDА1В1С1D1.
Найдите угол между прямыми:

1).

ВС и СС1

2).

АС и ВС

3).

D1С1 и ВС

4).

А1В1 и АС

900

450

900

450

2). Треугольники АВС и АСD лежат в разных плоскостях. РК – средняя линия ∆АDC с основанием АС. Определить взаимное расположение прямых РК и АВ,
найти угол между ними, если

А

В

С

D

P

К




Ответ:
1) АВ и РК скрещивающиеся,
2) 600

Решение:

A

A1

B

B1

C

C1

D

D1

3). Куб.
Найти : ∠(АВ1,DА1)

Решение:
DС1‖АB1,
∠ (AB1, DA1)= ∠ (DC1, DA1)= =∠C1DA1
C1A1,
ΔC1A1B1 – равносторонний, значит, ∠C1DA1 =60˚,
следовательно,
∠ (AB1, DA1)=60˚
Ответ:
∠ (AB1, DA1)=60˚

A

A1

B

B1

C

C1

D

D1

3) Куб
Найти : ∠(АВ1,DА1)

Решение:
DA1‖CB1
∠ (AB1, DA1)= ∠ (AB1, СВ1)= =∠CB1A
CA,
ΔCAB1 – равносторонний, значит, ∠ СB1A=60˚, следовательно,
∠ (AB1, DA1)=60˚
Ответ:
∠ (AB1, DA1)=60˚

Домашнее задание

Учебник, п.8 повторить, п. 9 + конспект, учить;
№№ 94, 96, 101;
Решение планиметрических задач, В-2 по распечатке, №№1-4

Спасибо за урок!!!
Успехов в дальнейшем изучении стереометрии!