Метод математической индукции

Учитель математики высшей

квалификационной категории

ГБОУ школы № 635

Приморского района СПб

 Богомолова С.Н.

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  ИНДУКЦИИ

/2 урока по алгебре и началам анализа в 10 классе/

Тип урока: усвоение новых знаний, комбинированный урок.

Планируемые

результаты

Предметные:

·         изложить суть метода математической индукции;

·         обеспечить в ходе урока усвоение метода математической индукции;

·         познакомить с типами задач, для решения которых применяется метод математической индукции.

Личностные:

·         формирование научного мировоззрения;

·         формирование интереса к исследовательской деятельности;

·         формировать умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта.

Метапредметные:

·         развивать умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

·         развивать умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;

·         развивать умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

           Технологии: лекция, беседа, исследовательская работа, практикум.

 Организационная структура урока:

1. Организационный этап.

2. Постановка формируемых результатов урока. Мотивация учебной деятельности.

3. Актуализация знаний.

4. Изучение нового материала.

5. Первичное закрепление нового материала.

6. Практическая работа.

7. Рефлексия.

8. Информация о домашнем задании.

Ход урока

Актуализация знаний

        В 9 классе мы изучали арифметическую и геометрическую прогрессии, выводили формулы

n-го члена каждой из них (2 ученика у доски выводят эти формулы, записи оставить на доске).

Изучение нового материала

     1. В основе каждого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждения – это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является данное утверждение, а заключительным моментом – частный результат. Таким образом, если при решении некоторого примера делаем выводы, опираясь на некоторую теорему, то это дедуктивное рассуждение.

      Индуктивный метод применяется к рассуждению, при помощи которого получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений.

  2. Индукция бывает полной и неполной. Полная индукция – когда общее утверждение доказывается для конечного множества элементов рассмотрением каждого элемента множества о отдельности. Общее же утверждение чаще относится не к конечному, а к бесконечному множеству, когда рассмотреть по отдельности каждый элемент множества невозможно. В таких случаях общее утверждение, полученное в ряде частных случаев, считается не доказанным, а  угаданным, полученным неполной индукцией. Оно может быть верным, но может быть и неверным. Опираться при этом на неполную индукцию опасно, можно сделать неправильный вывод. Поэтому во многих случаях обращаются к особому методу рассуждений, который называется методом математической индукции.

3. Примером применения этого метода служит вывод формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий (привести пример применения метода математической индукции по записям на доске).

4. Проверим утверждение, что значения квадратного трёхчлена   при всех n являются простыми числами:    если  n = 1,  то  1 + 1 + 41 = 43

если  n = 2, то  4 + 2 + 41 = 47

если  n = 3,  то  9 + 3 + 41 = 53

если  n = 4,  то  16 + 4 + 41 = 61

                 . . .

                          если  n = 41, то + 41 + 41 = 41 (41 + 1 + 1) = 41 * 43 – составное число.

   Как видим, применив неполную индукцию, мы получили противоречие.

5. Метод математической индукции основан на утверждении, получившем название «принцип математической индукции», который состоит в следующем:

              Утверждение, зависящее от натурального числа n, верно при любом n,

          если выполняются два условия:

          а)  утверждение справедливо при n = 1;

          б) из справедливости утверждения при  n = k   вытекает его справедливость    при n = k + 1.

Как видим, решение задачи методом математической индукции состоит из двух шагов, которые называются соответственно: а) базис индукции, б) шаг индукции.

6. Метод математической индукции применяется для следующих типов задач:

o   доказательство делимости и кратности;

o   доказательство равенств и тождеств;

o   задачи с последовательностями;

o   доказательство неравенств;

o   нахождение суммы и произведения.

Первичное закрепление знаний

Рассмотрим примеры

Задача 1.    Докажите, что       - 4n + 15 делится на 15 при всех n Є N.

Задача 2.  Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа истинно следующее утверждение:                                                   +  + .

Задача 3.    Доказать равенство     +  + …+  = .

Задача 4.    Доказать неравенство:          2! * 4! * …*(2n)!  ,  (2).

Практическая работа (индивидуальные задания)

Доказать, что при каждом натуральном n  число     делится  на b, если:

1)    =  + ,   b = 17;

2)     =  + ,  b = 133;

3)     =  -  ,   b = 33;

4)    =  +  +

5)    =  +  -

6)    = 7*  + 12*,  b = 19;

7)    =  + * ,   b = 19;

8)    =  – 18n - 9,    b = 18;

9)    =  + 26 *  + ,   b = 59;

10)    =  + 18n  – 28,   b = 27.

Рефлексия

1.     В чём суть метода математической индукции?

2.     Для какого типа утверждений применяется метод математической индукции?

3.     В выполнении каких шагов состоит метод математической индукции?

Информация о домашнем задании.

(На усмотрение учителя с учётом состава класса)