Метод отображений при решении систем логических уравнений

            23 номер в варианте ЕГЭ представляет собой задачу на решение системы логических уравнений и считается одним из самых сложных заданий первой части.

            Существует несколько способов решения этой задачи. Одним из универсальных, на мой взгляд, является «метод отображений». Если понять суть метода, то решение сводиться к выполнению пунктов алгоритма, которое приведёт к правильному ответу.

Алгоритм состоит из следующих этапов:

1.      Записать уравнения в понятных обозначениях и, по возможности, упростив

2.      Определить какие переменные участвуют в отображении

3.      Решить первое уравнение

4.      На основании решений первого уравнения и определения п1 нарисовать отображения

5.      Записать формулы по получившемуся рисунку отображений

6.      По формулам выполнить расчёты, записывая результаты в таблицу

7.      Определить ответ по последнему столбцу таблицы

Для примера рассмотрим такую систему

(x1Vx2)(x3x4)=1
(x3Vx4)(x5x6)=1
(x5Vx6)(x7x8)=1

Решим по алгоритму

1.    Применяя закон де Моргана и избавляясь от импликации, получим следующую систему
+(x3x4)=1
+(x3x4)=1
+(x3x4)=1

2.    Выпишем в ряд переменные 1 и 2 уравнений.

x1x2  x3x4  x5x6

Отображаться будут x1x2 в x3x4

3.    Решим первое уравнение. Нас интересуют те решения, которые будут равны 1.
В первом уравнении 4 переменных, значит, будет 16 переборов.

4.    Рисуем отображения

x1x2                x3x4

00                    00

01                    01

10                    10

11                    11

5.    Записываем формулы
f(00)=f(00)+f(01)+f(10)+f(11)
f(01)=f(00)
f(10)=f(00)
f(11)=f(00)+f(01)+f(10)+f(11)

6.    Выполняем расчёты

7.    Складывая значения последнего столбика, получаем ответ 76.

Остановимся подробнее на том, как строить отображение. Проще всего выписать в ряд переменные 1 и 2 уравнений. Обвести в овал переменные 1-го уравнения, а затем – 2-го уравнения. Переменные, которые окажутся в центре (на пересечении двух окружностей), станут теми переменными, в которые будут отображаться переменные, которые окажутся слева от пересечения. При этом надо придерживаться правила, что две переменные могут отображаться только в две, а не в одну. Одна переменная может отображаться только в одну, а не в две. Всегда ориентируемся на те переменные, которые оказались в центре (в пересечении). Рассмотрим на примерах.

Пример 1

(x1+x2)(+y1)=1
(x2+x3)(+y2)=1
…
(x7+x8)(+y7)=1

В этом примере не учитываем y для отображения, так как это независимые переменные, встречающиеся только в одном уравнении.

х1 х2  х3                 х1 будет отображаться в х2, х2 в х3 и т.д.

Пример 2

(x1x2)+ (x1x3)=1
(x2x3)+ (x2x4)=1
…
(x8x9)+ (x8x10)=1

х1  х2  х3  х4                           

В пересечении оказались две переменные, в которые будут отображаться те, что остались слева. Но одна переменная не может отображаться в две, поэтому х1х2 будут отображаться в х2х3

Пример 3

х1(x2+)+ (х2х3)=1
х3(x4+)+ (х4х5)=1
…
х7(x8+)+ (х8х9)=1

х1  х2  х3  х4  х5              Здесь х1 будет отображаться в х3, х3 в х5 и т.д.

Пример 4

х1(х2)+х4=1
х3(х4)+х6=1
…
х7(х8)+х10=1

х1  х2  х3  х4  х5  х6              Здесь х1х2 будут отображаться в х3х4, х3х4 в х5х6 и т.д.

Решив несколько задач, можно уловить их суть и понять, что решаются они примерно одинаково. Таким образом, самое трудное задание первой части не будет казаться таким уж сложным и представлять собой что-то нерешаемое.