методическая разработка "Формула сложения"

Открытый урок по математике

Тема урока: « Формулы сложения»

Цели урока:

·         образовательная: продолжить  формирование знаний, умений и  навыков учащихся по  формулам   сложения, закрепить знание учащихся формул сложения;

·           развивающая: развитие алгоритмического мышления, памяти, внимания;

развивать у учащихся умение излагать мысли, делать выводы, обобщения;

развивать познавательный интерес, логическое мышление.

·         воспитательная: развитие  самоконтроля, формирование адекватной  самооценки своей  деятельности  на уроке,  адекватного отношения к  оцениванию со стороны учителя  и одноклассников,  стимулирование трудолюбия,  аккуратности, воспитание чувства ответственности перед  товарищами при выполнении коллективной  работы.

Методы  обучения:

·         практические;

·         самостоятельная  работа;

·         закрепление материала;

·          обобщающий.

Средства обучения: тренировка, контроль  ЗУН.

Форма обучения: групповая форма обучения.

Оборудование: доска, раздаточный материал (карточки с  заданиями, дешифраторами и  кроссвордом);  проектор.

Связь между  предметами: русский язык,  литература.

Предварительная подготовка: класс разбит на группы примерно по 4-5 чел.

Ход урока

1. Организационный этап включает  в  себя взаимное приветствие учителя  и  учащихся, раздачу учебников, тетрадей, ручек. Запись на  доске и воспроизведение  учителем даты,  темы урока  и домашнего задания (выполняют  по  желанию). Постановка  целей  урока. Отметка  отсутствующих. Организация  внимания,  создание  рабочей обстановки.

Итак, тема нашего урока « Формулы сложения».

Основная цель урока – вывести формулы сложения для косинуса суммы и разности углов, отработать их применение при вычислениях и выполнении преобразований тригонометрических выражений.

2. Актуализация знаний.

Урок мы начнём с выполнения небольшой устной работы, которая нацелена на повторение основных тригонометрических тождеств, проверку усвоения предыдущего материала.

Вычислить:

1.    = - = -

2.    =  =

3.    =  =

4.   (1 – sin(-β))(1- sinβ) = (1+)(1- sinβ) = sin²β

5.      (1 – cos(-β))(1+ cos(-β)) = (1- cosβ)(1+ cosβ) = cos²β

6.      cos

7.      cosπ +sinπ =-1+0 =-1

8.      sin

9.    cos75°=-

10.  =*=0

Итак, при выполнении устной работы мы повторили табличные значения синуса, косинуса некоторых углов. И столкнулись с проблемой нахождения значений косинуса и синуса углов, которых нет в таблице. Сейчас мы займёмся выводом формул, которые помогут нам в разрешении создавшейся ситуации.

Сначала выведем формулы сложения и разности косинусов. Начнем с , посмотримединичный окружность, точку с координатами (1;0) назовем буквой Д.

Д(1;0) Повернем начальную точку на угол α получим точку А и ее координаты по определению равны А(). Далее начальную точку повернем на угол –β, получим точку В и ее координаты вычисляется как    В(). Мы знаем , что , а  мы координаты точки В можно записать так В(). Теперь от луча ОА отложим угол β, при этом начальная точка пройдет дугу длиной α+β, назовем  точку Сс координатами();

С();. Соединим точку А с точкой В, и точку С с точкой Д, получим два равнобедренных треугольника. Рассмотрим два треуг. АОВ и СОД. Эти два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними. Раз треугольники равны, значит и равны соответствующие стороны АВ=СД, значит расстояние между точками АВ (АВ=СД) равно расстоянию между точками СД. Если равны расстояние, значит равны их квадратыт.е. АВ²=СД². Вспомним формулы для нахождения расстояния между двумя точками плоскости

d²=

Воспользуемся этой формулой для того, чтобы выразить АВ² т.е. возведем в квадрат

АВ²=(+() (1 )первое слагаемое - квадрат разности (, второе слагаемое–квадрат суммы  ((формулы сокращенного умножения). Распишем первое слагаемое, второе слагаемое по формуле сокращенного умножения, (основное тригонометрическое тождество равно 1), приведем подобное и запишем результат. АВ²=2+2Теперь выразим СД²

При этом в скобочках от координаты точки С будем вычитывать координаты точки Д. (Д(1;0)), а С()и у нас получится

СД²=(

Первое слагаемое квадрат разности распишем по формуле сокращенного умножения, а второе слагаемое просто запишем. Внимательно посмотрим на данное выражение, здесь тоже есть основное тригонометрическое  тождество, затем запишем результат. =2-2.  Приравняем СД²=АВ²

2-22+2Замечаем в левой части 2 и в правой части, сокращаем на 2 и  каждое слагаемое можно поделить на 2. Перепишем полученное равенство, умножим только на -1, чтобы избавиться знака – перед косинусом и в результате будет вот такая формула

(1)

Косинус суммы мы получили. Теперь выведем формулу для косинуса разности

мы запишем, как косинус суммы, но к α мы будем прибавлять угол -βи для данного выражения можно применить формулу косинуса суммы мы получим =

Запишем полученную формулу:   (2)

Чтобы вывести формулу , рассмотрим прямоугольный треугольник  с острым углом γ, тогда второй острый угол равен . Для угла γ  это отношение прилежащего катета к гипотенузе, но этот катет для угла будет противолежащим, значит это отношение будет равно  т.е. мы получили . (3)

это отношение противолежащего катета к гипотенузе, это отношение будет равно . (4)Выведем формулу при этом γ и заменим

скобки раскроем и перегруппируем слагаемые

=(можно применить формулу косинус разности)

иможно заменить  (синус на косинус на , ии получим окончательный результат

       (5)

Для разностиместо угла β берем отрицательный угол –β и у нас получится.

) = (здесь мы можем применять формулу синуса суммы)=Заменим

в результате имеем

=   (6) (эту формулу запишем ко всем формулам).

Выведем формулы длясложение Сначала нужно выписать все формулы сложения синусов и косинусов. Тангенс суммы и разности = по определению отношению синуса этого угла к косинусу этого угла, затем распишем и числитель и знаменатель по формулам сложения.

=воспользуемся основными свойствами дроби, дробь т.е и числитель и знаменательможно делить на одно и то же выражение, при этом значение дроби не изменится, в данном случае я буду делить и числитель и знаменатель на выражение , каждое слагаемое делим на произведение косинуса, получим

= (7) точно также находим разность тангенса, и числитель и знаменатель делим на, получим

Аналогично выводятся тангенс разности

=     (8)

Выведем формулы для котангенса, идея вывода формулы та же самая

сtg(α+β)===в данном случае будем делить на произведение синусов

=

сtg(α+β)=формулу сложения мы получили

сtg(α-β)=  (10)

Математическая разминка: «Что здесь зашифровано?»

Учащиеся выполняют задания в тетрадях по  карточке. Затем сверяют свои ответы с помощью дешифратора №1 (Приложение 1), который представлен на проекторе и  заносят соответствующую букву в  тетрадь.

Задания, которые  вызвали  затруднение  у  учащихся,  выполняются  у доски.

Карточка

Вариант №1

1.

2.

3. 

4.  

5.  

6.   

7.   

Вариант №2

1.

2.  

3.   

4.    -

5.   

6.  

7.  

(Ответы: 1-й вариант – Пифагор; 2-й вариант – Архимед).

3. Самостоятельная работа.

Знаете  ли вы, кто  высказал следующие фразы?

1.      Стараться оставить после  себя больше знаний  и счастья, чем их было раньше, улучшить и умножить полученное нами наследство – вот над  чем  мы  должны трудиться. (Д.Дидро – французский  философ).

2.      Есть только одно благо - знание и только одно зло – невежество (Сократ  – древнегреческий философ.).

3.      Любая книга — умный друг:
Чуть утомит, она смолкает;
Она безмолвно поучает,
С ней назидателен досуг
(Лопе де Вега – испанский  поэт).

4.      Ум заключается не только в знании, но и в умении применять знания на деле (Аристотель - древне греческий философ, ученый.)

5.      Разум человеческий владеет  тремя ключами, открывающими все: цифрой, буквой, нотой. Знать, думать,  мечтать. Все  в этом. (В.Гюго – французский писатель).

6.      Свойство мудрого человека состоит в трех вещах:  первое – делать  самому то, что  он  советует  другим,  второе – никогда не  поступать против справедливости  и   третье – терпеливо переносить  слабости  людей, окружающих его (Л.Н.Толстой – русский писатель).

Для того чтобы узнать авторов этих высказываний, необходимо заполнить кроссворд, используя  результаты заданий в карточках 1-6 и сверив их с дешифратором  №2 (Приложение 2), который представлен вниманию учащихся  на  экране  проектора.

Кроссворд

Задания к кроссворду

Карточка №1

1.1.* +

1.2    *

1.3   

1.4   

Карточка №2

2.1   

2.2   

2.3   

2.4   

2.5   

Карточка №3

3.1   

3.2   

3.3    2*()

Карточка №4

4.1

4.2   

4.3   

4.4     +

4.5    

4.6     2*

Карточка №5

5.1 

5.2  

Карточка №6

6.1  

6.2  

6.3   2*()

6.4   

6.5    

6.6    

4. Итоги урока.

Ответы  к  кроссворду выводятся на  экране проектора. Подводятся  итоги  работы каждой группы на  протяжении всего урока,  в группах  оценивается деятельность каждого учащегося, результаты объявляются в конце урока.

5. Домашнее задание.

6. Рефлексия

Цветограмма:  Каждый ученик оценивает свою работу с помощью цветных жетонов.

Приложение 1

Дешифратор №1

Приложение 1

Дешифратор №2