Методическая разработка открытого урока по математике в 10 классе на тему: «Степенная функция, ее свойства и график»

Методическая разработка открытого урока по математике в 10 классе  на тему:

 «Степенная функция, ее свойства и график»

Тема урока: степенная функция, ее свойства и график.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

Ø обобщить понятие степенной функции, ее свойств путем знакомства со свойствами и графиками различных (в зависимости от показателя степени) видов степенной функции;

Ø обозначить перспективу практического применения знаний о степенной функции.

Ø Образовательная цель: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию знаний о степенной функции: виды, свойства и график.

Ø Воспитательная цель: создать условия для применения на уроке математики знаний, полученных в других предметных областях; развивать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, а так же коммуникативные способности учащихся.

Ø Развивающая цель: продолжить развитие культуры умственной деятельности (анализ, синтез, классификация, планирование), математическая речь

Оборудование: компьютер, интернет ресурс DESMOS.COM, проектор с экраном, доска, учебник для ОО «Алгебра и начала математического анализа» Ш.А. Алимов.

План урока:

1. Организационный момент (приветствие, сообщение темы урока, постановка задач урока)
2. Актуализация знаний: повторение понятий функции, графика функции, свойства степени и корня, визуализация известных графиков функций:  y=x², y=x³,  y=1/x  ,y=√x или y=x½    с указанием области определения функции, множества значения функции, промежутков убывания/возрастания функции, наибольшее/наименьшее значение функции.
3. Изучение нового материала: определение степенной функции, свойства функции для всех показателей. Знакомство с графическим и математическим онлайн калькулятором DESMOS.COM.
4. Закрепление учебного материала: решение задач. Практическое применения степенных функций.
5. Домашнее задание.
6. Рефлексия: итог урока, оценивает деятельность класса и отдельных учащихся, выделяет удавшиеся моменты, выясняет, что вызвало наибольшую трудность.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Здравствуйте. Садитесь. Отложим все лишнее и настроимся на рабочий лад. Сегодня у нас урок по теме “ Степенная функция “.

Целью нашего урока является показать роль свойств степенной функции в процессе решения ряда математических, физических и экономических задач, а, следовательно, и роль этой функции и ее свойств в процессе сдачи ЕГЭ.  

2. Актуализация знаний учащихся

Для начала вспомним определение функции:

Вопрос 1: Что такое функция?  

Ответ: Функция (отображение, оператор, преобразование) — соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Вопрос 2: Какие функции Вы знаете?  

Ответ:

Ø  Прямая пропорциональность.

Ø  Линейная функция.

Ø  Обратная пропорциональность.

Ø  Квадратичная функция.

Ø  Степенная функция.

Ø  Показательная функция.

Ø  Логарифмическая функция.

Ø  Тригонометрические функции.

Ø  Обратные тригонометрические функции.

Все выше перечисленные функции относятся к элементарным функциям.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Вопрос 3: Что называется графиком функции?  

Ответ:

Ø  Это геометрическое понятие в математике, дающее представление о геометрическом образе функции.

Ø  В случае использования прямоугольной системы координат, график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y), которые связаны отображаемой функцией или проще множество точек координатной плоскости, абсциссы которых составляют область определения функции, а ординаты соответствующие значения функции.

Ø  Изучение любой функции завершается построением графика этой функции.

Задание: Обратите внимание, на эскизе представлен некий пейзаж. Постарайтесь среди данных линий найти графики функций.

Вопрос 3: Так любое ли множество точек на координатной плоскости задает график функции?

Ответ:

Нет, только такое множество, где каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции

Посмотрите, насколько значимо изучение функции! Как мы видим на эскизе, графики функций встречаются не только в математике, но и в природе (горы, леса, деревья) – все, что нас окружает, состоит из графиков функций.

Вопрос: А какие из этих линий относятся к графикам степенных функций?

Теперь давайте вспомним следующие функции, их графики и свойства:

y=x², y=x³,  y=1/x  ,y=√x или y=x^½  , y=x

На рисунке изображены графики ряда степенных функций, обозначенные цифрами от 1 до 5). Давайте вспомним:

Ø  названия графиков и их соответствие  алгебраической записи функции;

Ø  свойства изображенных функций (область определения, область значений, четность/нечетность).

Будем называть функцию, а вы же должны указать соответствующий ей график функции (или наоборот).

3. Степенная функция.

И так, мы вплотную приблизились к пониманию степенной функции.

3.1 Степенная функция — это функция вида y = x^p , где p — заданное действительное число (показатель степени).

Ø  К степенным функциям часто относят и функцию вида y=kx^p , где k — некоторый (ненулевой) коэффициент.

Ø  На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Ø  Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля).

Ø  Графики степенной функции при натуральном показателе p (=n, принадлежит множеству N – натуральных чисел) называются параболами порядка n.

Ø  При p=1 получается y=kx, называемая прямой пропорциональной зависимостью.

Ø  Графики функций вида y=xⁿ  где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n.

Ø  При p=-1 получается функция y=x^-1  или y=1/x называемая обратной пропорциональной зависимостью.

Ø  Если p=1/n ,то функция есть арифметический корень степени n.

С помощью интернет ресурса DESMOS.COM (известный графический и математический калькулятор) наглядно демонстрируем графическое отображения степенных функций, которые будем рассматривать ниже.

Ø  Ссылка на графический калькулятор: https://www.desmos.com/calculator?lang=ru

Ø  Ссылка на руководство пользователя редактором DESMOS на русском языке:

https://desmos.s3.amazonaws.com/Desmos_User_Guide_RU.pdf

3.2 Свойства степенной функции:

1.      Если показатель p = 2n — четное натуральное число:

1.1.   область определения — все действительные числа, т. е. множество R;

1.2.   множество значений — неотрицательные числа, т. е. y ≥ 0;

1.3.   функция четная;

1.4.   функция является убывающей на промежутке x ≤ 0 и возрастающей на промежутке x ≥ 0.

1.4.1.                 Пример функции с показателем p = 2n: y = x⁴, y =x¹⁶

2.      Если показатель p = 2n - 1 — нечетное натуральное число:

2.1.   область определения — множество R;

2.2.   множество значений — множество R;

2.3.   функция нечетная;

2.4.   функция является возрастающей на всей действительной оси.

2.4.1.                 Пример функции с показателем p = 2n - 1: y = x⁵ и y=x¹⁷

3.      Если показатель p = -2n, где n — натуральное число:

3.1.   область определения — множество R, кроме x = 0;

3.2.   множество значений — положительные числа y > 0;

3.3.   функция четная;

3.4.   функция является возрастающей на промежутке x < 0 и убывающей на промежутке x > 0.

3.4.1.                 Пример функции с показателем p = -2n: y = 1/x² и y = 1/x¹⁶   

4.      Если показатель p = -(2n - 1), где n — натуральное число:

4.1.   область определения — множество R, кроме x = 0;

4.2.   множество значений — множество R, кроме y = 0;

4.3.   функция нечетная;

4.4.   функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0.

4.4.1.                 Пример функции с показателем p = -(2n - 1): y = 1/x³ и y = 1/x¹⁷   

5.      Если показатель p — положительное действительное нецелое число:

5.1.   область определения зависит от четности знаменателя;

5.2.   множество значений зависит от четности знаменателя;

5.3.   функция является возрастающей/убывающей в зависимости от четности знаменателя;

5.3.1.                 Пример функции с показателем p, где p — положительное действительное нецелое число:  y =x^1/3 и y= x^4/3.

6.      Если показатель p — отрицательное действительное нецелое число:

6.1.   область определения — зависит от четности знаменателя и числителя, но x≠0;

6.2.   множество значений — зависит от четности знаменателя и числителя, но y≠0;

6.3.   функция является убывающей на промежутке x > 0.

6.3.1.              Пример функции с показателем p, где p — отрицательное действительное нецелое число: y =x^-4/3  и y= x ^-1/3.

4. Решение задач. Практика

4.1 Задача 1.

Рассмотрим задачу из физики (пример практического применения степенных функций):

На учебном полигоне произведён выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении. Требуется определить наибольшую высоту подъёма снаряда h, время подъёма t₁ и время падения t₂, если начальная скорость снаряда V₀ = 400 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь. 

Решение: (проводится совместно с учениками на доске).

4.2 Задача 2.

Рассмотрим задачу из экономики с использованием степенной функции:

Вкладчик поместил в банк 1000р. Банк ежегодно выплачивает вкладчику 3% от суммы вклада. Какую сумму денег s получит вкладчик через  2 года?

Решение: (проводится совместно с учениками на доске).

5. Домашнее задание

Подобрать задачи из жизни и других наук, в которых встречается степенная функция.

Глава II Степенная функция §6 №124 (четные номера), №176, 177

6. Рефлексия

Сегодня на уроке мы еще раз показали, насколько многогранно, изысканно и красиво используются свойства степенной функции в процессе решения математических задач, а также задач из разделов физики, экономики, в природе, в технике и т.д. Подводим итог урока, оцениваем деятельность класса и отдельных учащихся, просим учащихся  выделить удавшиеся моменты, выясняем, что вызвало наибольшую трудность.

Скачано с www.znanio.ru