Методическая разработка урока то теме "Теорема Виета " алгебра 8 класс

Открытый урок алгебры в 8 классе

Тема: Теорема Виета     

                                               Эпиграф урока

                                                          По праву достойна  в стихах быть воспета

                                                          О свойствах корней теорема Виета 

Образовательные цели урока:

- Повторить решение квадратных уравнений.

- Исследовать зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

- Изучить теорему Виета.

- Формировать умения применять теорему Виета.

Развивающие цели урока:

- Развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в новой ситуации.

- Способствовать развитию умения определять черты сходства и различия в изучаемых объектах.

- Способствовать развитию умения делать выводы и обобщения.

- Совершенствовать умения самооценки своей работы на уроке.

Воспитательные цели урока:

- Способствовать выработке у школьников желания и потребности изучения новых фактов.

- Воспитывать самостоятельность и творчество.

 ХОД УРОКА

1.    
Организационный момент

Предварительно все учащиеся разделены на 5 групп. Проверить готовность к уроку. Приветствие. Мы изучаем квадратные уравнения и способы их решения. Сегодня нам предстоит познакомиться с ещё одним способом решения квадратных уравнений.

2.     Повторение пройденного материала

Какое уравнение называется квадратным?

Виды квадратных уравнений?

Можно ли из полного уравнения сделать приведённое?   Как?

Что значит решить уравнение?

Сколько корней имеет квадратное уравнение?

    3.Актуализация знаний учащихся

Мотивация
А)Выполнить задания по вариантам (задания из тестов ОГЭ)

I вариант-   найдите  сумму корней уравнения+7,5х-3=0

II вариант- найдите произведение корней уравнения +8,3х -4,2=0.

(Дискрименанты не извлекаются) Проблема!  х²-2087х+2086=0

В) К этому уроку каждая группа должна была придумать приведенное квадратное уравнение с целыми корнями, решить его, записать на альбомном листе крупно данное квадратное уравнение. На втором листе корни этого уравнения.

Учитель предлагает учащимся показать корни уравнений и по корням называет придуманные учащимися уравнения.

Ребята, вы также сможете сегодня в конце урока называть уравнения по его корням, если будете внимательны и активны на уроке.

3.      Изучение нового материала.

И так, тема сегодняшнего урока – «Теорема Виета». 

Мы с вами на уроке постараемся ответить на вопрос о зависимости между корнями квадратного уравнения и решении квадратного уравнения другими способами.

“У математиков существует свой язык – это формулы”.

Сделаем еще один шаг в познании этого языка, изучив теорему Виета

Ребята, Чосер-английский поэт средних веков, сказал:

“Посредством уравнений, теорем,
Я уйму разрешил проблем”.

Выучив теорему Виета, вы тоже разрешите для себя уйму всяких проблем.

1.     «Открытие» теоремы Виета

Теорема Виета устанавливает связи между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями.

Что бы раскрыть эти связи полезно будет понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений. При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Каждой группе дать решить приведенные квадратные уравнения.  (Каждая группа получает по 5 уравнений) Необходимо решить уравнения и заполнить таблицу.       

Таблица

Проанализируем результаты.

       -Назовите вид квадратных уравнений, записанных в таблице. (Все уравнения приведенные.)

-         Ребята, я попрошу вас сравнить произведение корней с  коэффициентами. Какую особенность вы подмечаете? 

-         Сравните сумму с коэффициентами уравнения

-         Какую закономерность вы заметили?

-         Какое утверждение можно сформулировать.

(Сумма корней приведенных уравнений равна второму коэффициенту, взятому с   противоположным  знаком Произведение корней приведенных  квадратных уравнений равно свободному члену.)

Сравните с теоремой, записанной на слайде

Учитель подтверждает сделанное предположение. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену . Сообщает, что данное утверждение называется теоремой Виета. Обратить еще раз внимание учащихся, что эта теорема справедлива для приведенных квадратных уравнений.

2.      Доказательство теоремы Виета.

Приведенное квадратное уравнение в общем виде принято записывать так х² + рх + q = 0. Равенства, выражающие связь между между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, называют формулами Виета и записывают так: х₁ + х₂ = - р и х₁ * х₂ = - q.

 Задания группам: заполнить пропуски в доказательстве теоремы, проверить правильность заполнения по учебнику.

Дать план доказательства теоремы:

1) Докажем теорему Виета для приведенных уравнений:

Дано: х²+рх+q=0

Доказать: х₁+х₂= -р, х₁х₂=q.

Доказательство: (На доске написана схема доказательства. Ученики выполняют данную схему шаг за шагом.)

Выводы: (Повторяем еще раз формулировку теоремы.)

3.     Историческая справка о Виете

Франсуа Виет (1540-1603)-французский математик.
 Он ввел в алгебру буквенные обозначения, до него в математике не было формул.
По образованию Виет был юристом. Он был тайным советником при королях ГенрихеШ и ГенрихеIV. Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра, в котором насчитывалось более 500 знаков, им пользовались враги короля, и расшифровать его никто не мог. Только Виет быстро нашел ключ. 
 Позже испанцы обвиняли Генриха IV в том, что у него на службе состоит сам дьявол...

В 44 года Виет был отстранен от должности при дворе. Четыре года опалы оказались для него необычайно плодотворными. Математика стала для него единственной страстью. 

Виет мог просиживать за столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут. Именно тогда он написал свой главный труд, который определил развитие всей математики.

              4.Первичное усвоение теоремы Виета.

1. Самостоятельно (с последующей проверкой) выполнить задание:

Используя теорему Виета, найти сумму и произведение корней.

Но при выполнении задания будьте внимательны: пользуясь теоремой Виета, не попадитесь в одну очень хитрую ловушку. 

- Что это за ловушка? ( квадратное уравнение может и не иметь корней)
а) х² + 7х – 2 = 0; 
б) х² + 10х + 2 = 0;
в) х² + 3х + 5 = 0; 
г) х² - 5х – 6 = 0; 
д) х² + х – 10 = 0;

 - Когда квадратное уравнение не имеет корни?
Поэтому прежде, чем применять теорему Виета, необходимо убедиться,чтоданное квадратное уравнение имеет корни.
 

5) Теорема, обратная теореме Виета
Соотношения между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяют в некоторых случаях находить его корни устно, не прибегая к формуле корней. 
х² – 8х + 15 = 0. Формулы Виета подсказывают решение: корнями должны быть числа, такие что х₁ + х₂ = 8, х₁х₂ = 15. Легко увидеть, что этим условиям удовлетворяют числа 3 и 5.

Решение квадратного уравнения путем подбора его корней основано на обратной теореме.

Сформулируйте теорему, обратную теорему Виета . Если числа и таковы, что +=-р , =g  ,то числа-корни уравнения +рх+g=0.

Теорему, обратную теореме Виета используют также при составлении квадратных уравнений. Вспомните начало урока, когда я, зная корни, угадывала ваши квадратные уравнения. Теперь вы сможете выполнить тот же самый фокус.

6) Применение теоремы Виета

В. В. Маяковский: "Если звезды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно".

Зачем же нужна теорема Виета?

С ее помощью можно:

-решить квадратное уравнение и сделать проверку:

 х² –х-12=0
х² – 3x - 70=0

х² + 11x+30=0

найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его

1) +7х+12=0

-8х+12=0   

4)10х² - 4х -10= 0

-зная один из корней, найти другой

1)     х² + 10х - 11 = 0  ,  х₁= 1

2)     х² - х -6=0  ,            х₁=-2  

3)     х² + 8х + 15 = 0,     х₁ = - 3

4)     х² + 3х - 18 = 0,     х₁ = 3;

5)      х² - 6х - 7 = 0,        х₁ = 7

-определить знаки корней уравнения :

1.x²-2x-3=0 
2. x²-2x-8=0 
3. x²+2x-15=0 

4. x²-2x-15=0 
5. x²+3x+2=0 

-подобрать корни уравнения, не решая его

Оформление в тетради

x²+17x-18=0 по т Виета                                            x²-11x+18=0

     x₁=-18, x₂=1.                                                                    x₁=9, x₂=2  

а)              ( -4 и 1)

б)          (11и 1)

в)             (10 и -1)

 г)                (1 и -9)

д)+7х+6=0,  

(-1;-6)
е)-8х+12=0,          (2;6)

ж)-х-6=0,           (3;-2)
з) -15х-16=0,           (16;-1)

и) -11х-12=0.         (12;-1)

-зная корни ,составить квадратное уравнение

а) х₁=4, х₂=-3,                          (х²-х-12-0)

б) х₁=5, х₂=2.                           (х²-7х+10=0)

в)  х₁ = - 7; х₂ = 5                       (х²+2х-35=0)

г) х₁ =2; х₂ = - 6                          ( х²+4х-12=0)

Итоги урока. Рефлексия.

      1.Ответьте на вопросы.

   1) Какие уравнения мы сегодня рассматривали?

         2) Чему равна сумма корней квадратного уравнения?

3) Чему равно произведение корней квадратного уравнения?

4) Сформулируйте теорему Виета.
5) Что необходимо проверить, прежде чем находить произведение и сумму корней приведенного квадратного уравнения?
6)Для чего используется теорема Виета?

2) Рефлексия урока.

Продолжите фразу: "Сегодня на уроке я узнал...”; "Сегодня на уроке я научился...” "Сегодня на уроке я познакомился...” "Сегодня на уроке я повторил ...” "Сегодня на уроке я закрепил...”

3)Заключительное слово учителя.

  Рассмотренная в начале урока теорема, явно свидетельствует о преимуществе использования связи корней с их коэффициентами над решением уравнений по формулам. Школьники всего мира знают имя Франсуа Виета в связи с изучением данной теоремы. Это ли не честь ученому? Лучшего памятника трудно придумать! – Что же двигало ученых в такое непростое время заниматься наукой, даже под угрозой смерти? Наверное, прежде всего, это – пытливость человеческого ума. Знак "?”, который является ключом к развитию науки, не давал покоя во все времена людям мыслящим, любознательным. Кто я? Загляните в себя, может, страдает ваша природная любознательность, потому Вы что уступили повседневности, лености? Судьбы многих ученых – примеры для подражания. Не все имена хорошо известны и популярны. Каков я для окружающих меня близких людей? Их мнение "конечно” не безразлично. Но самое главное – как я сам к себе отношусь?, достоин ли уважения? Подумайте об этом…

8)Домашнее задание.

П.29 выучить теорему Виета ,разобрать док-во обратной теоремы,

№1, 2, 6-9