Методическая разработка " «Эффективная подготовка к ОГЭ по математике» Подобные треугольники.

МБОУ «Рыбно­Слободская СОШ № 2»  Методическая разработка  «Эффективная подготовка к ОГЭ по математике» Подобные треугольники Подготовила:     Гизатуллина Наталья Ивановна Тема:          Подобные треугольники.  Теория:   1.Определение Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а  стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника. Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон  подобных треугольников. Сходственные (или соответственные) стороны  подобных треугольников — стороны,  лежащие напротив равных углов.   2.Признаки подобия треугольников  I признак подобия треугольников Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие  треугольники подобны. треугольников  II признак подобия Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого  треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники  подобны. III признак подобия треугольников Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие  треугольники подобны. Признаки подобия прямоугольных треугольников: 1.  Если прямоугольные треугольники имеют по равному острому углу, то такие  треугольники подобны.  2.  Если катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны катетам второго  прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны. 3. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету  и гипотенузе второго прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.    3.Свойства подобных треугольников.   Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента  подобия. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в  частности,  длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно  коэффициенту подобия. 1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный  данному. Полезно знать: 2. Треугольники  АОD  и BOC,  образованные отрезками диагоналей и  основаниями трапеции, подобны.  Коэффициент подобия равен  к = AD/BC. 3. В     прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла,  разбивает его на два подобных треугольника, которые подобны  исходному. 4. Три   средние   линии   треугольника   делят   его   на   четыре   равных   треугольника,   подобные данному, с коэффициентом подобия ½: Задачи из сборников по подготовке к ОГЭ.  Задание 1   Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 3 м. На какую высоту (в  метрах) опустится конец короткого плеча, когда конец длинного плеча поднимается на  1,8м?  Ответ:  0,6 Задание 2.  На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если  длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м? Ответ: 3,5 Задание 3 На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если  длина его тени равна 9 м, высота фонаря 4 м? Ответ: 20 Задание 4  Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь.  Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? Ответ: 5,1 Задание 5 Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на рас­ стоянии 120 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проек­ тора нужно расположить экран B высотой 330 см, чтобы он был полностью освещён, если     настройки проектора остаются неизменными?  Ответ:  Задание 6: Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м,  равна 2,5 м. Найдите высоту дерева. Ответ:  6,936 м. Задание 7. Длинна тени столба равна 10 м, а длинна тени человека, рост которого равен 1,8 м , равна 3,6 м. Найдите высоту столба. Ответ:  5 Задание 8.Человек, рост которого равен 1 м 70 см, стоит рядом с деревом. Найдите  высоту дерева (в метрах), если длина тени человека равно 1 м 50 см, а длина тени дерева  равна 4 м 50 см. Ответ:  5,1 Задание 9. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если  длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м? Ответ: 3,5 Задание 10. На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину  4 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда  конец короткого поднимется на 1 м? Ответ: 1,5 Задания 2 части. 1. В треугольнике ABC проведены высоты AK и BL. Докажите, что треугольники ABC и CKL подобны. 2. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что  продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M.  Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны. Через точки E и F, принадлежащие сторонам АВ и ВС  треугольника ABC  соответственно, проведена прямая EF, параллельная стороне АС. Найдите длину  BС, если EF = 10, AC = 15 и FC = 9. (Ответ: 27). 3. 4. 5. 6. 7.  В прямоугольном треугольнике АВС  проведена высота СН   к гипотенузе. СН = 4  см, ВН = 3 см.  Найдите катет АС. (Ответ: 20/3).  Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник,  площадь которого в 8 раз меньше площади оставшейся части. Периметр большего  треугольника равен 27. Найдите периметр меньшего треугольника. (Ответ: 9)  Основание треугольника 15 см, а боковые стороны 13 и 14 см. Высота разделена в  отношении 2:3 (считая от вершины) и через точку деления проведена прямая,  параллельная основанию. Найдите площадь образовавшейся при этом трапеции.  (Ответ: 70,72 (возможно, вам потребуется формула Герона)).  В трапеции ABCD с основаниями AD  и BC диагонали пересекаются в точке O.  Площадь треугольника BOC  равна 4, площадь треугольника AOD равна 9. Найдите  площадь трапеции. (Ответ: 25).