Методическая разработка по дисциплине алгебра и начала анализа на тему "Дифференциал функции" для учащихся 10-11 классов средней школы; урок соответствует всем требованиям ФГОС; урок направлен на формирование практических умений и навыков обучающихся; рассматриваются основные методы и способы решения задач на применение свойства дифференциала функцииМетодическая разработка по дисциплине алгебра и начала анализа на тему "Дифференциал функции" для учащихся 10-11 классов средней школы; урок соответствует всем требованиям ФГОС; урок направлен на формирование практических умений и навыков обучающихся; рассматриваются основные методы и способы решения задач на применение свойства дифференциала функции
Дифференциал функции
1. Понятие дифференциала функции
Дано
y
x
x
0
:
( )
f x
a b
;
;
a b
1) lim
x
0
f x
0
x
f x
0
x
f
'(
x
0
)
f
'(
x
0
)
f
)
'(
x
0
0
x
f x
2)
x
xбесконечно малое
0;
xбесконечно малое
высокого порядка
'
f
x
0
3)
главную часть приращения
функции f x в точке
xсоставляет
_
x
0
Определение: Дифференциал функции
y
( )
f x
в точке
0x
называется
линейная относительно величина
, составляет главную часть
'(
f x
0
)
x
приращения функции
в точке
( )
f x
0x
.
(
df x
0
)
f
'
x
0
x
или
x
1
dy
2)
дифференциал dx независимого переменного x совпадает с его
приращением x т е dx
x
,
x
. .
Дифференциал функции равен произведению производной этой
функции на дифференциал ее аргумента
Производная функции равна отношению дифференциала функции к
дифференциалу ее аргумента
dy
x
y
'
:
Дано
x
y
1)
y
dy
'
y
'
x
( ) ' 1
x
dy
?
dy
'
y dx
y
'
dy
dx
Примеры:
1)
y
Дано
:
cos(1
dy
?
dy
'
y
'
y dx
(cos(1
2
)
x
x
)) '
1
u
x
2
2
(cos ) '
u
Ответ dy
:
u
' sin
u
2 sin 1
x
2
' sin 1
2
x
2 sin 1
x
2
x
1
x
2
x dx
dy
Дано
2)
:
3
x
x e
y
'
y dx
3
x
x e
(
3
x v
;
e
)'
u
y
'
x
2
2
2
dy
?
(
uv
) '
u v
'
v u
'
3
x
2
x
'
e
2
x
e
'
3
x
2
x
2
3
x e
2
x
3
x e
2 ;
x
Ответ dy
:
2
x e
2
x
3 2
x dx
2. Геометрический смысл дифференциала.M Tкасательная M NT прямоугольный
0
V
;
0
tg
NT
NT
M N
0
'(
f x
0
;
NT M N tg M N
;
0
0
;
x tg
'(
f x
0
)
)
x
df x
(
0
)
Дифференциал функции
y
( )
f x
в точке
равен
0x
приращению ординаты касательной, проведенной к
,
графику этой функции в точке
f x
0
;x
0
соответствующему приращению ее абсциссы
на
.x
0x
3. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
f x
( )
(
f x
0
x
)
f
'(
x
0
)
x
(
f x
0
)
Примеры:
1) 85
81 4
x
0
81;
(
x
) '
4
x
1
2
x
1 4
2 81
81
9 9
2
9
2
9
2) 33
36 3
x
0
36;
(
x
)'
x
3
1
2
x
1 ( 3)
2 36
36
3
2 6
6 5,5
3) 2,3
(2 0,3)
5
5
x
x
0
2;
0,3
5
6
2
0,3 2
5
5 3
64 10
1
5
2
3
64 2
1
32
3 4
128
1
128
5
(
x
) '
5
x
5 1
5
x
6
5
6
x
1
1
2
1
0,19
1
1
0,19 1 1,91
4)
x
0
1
x
1
0,81 1 0,19
0,19
1;
x
'
1
2
x
3
5) 20
3
27 7
7
3
27
1
3
2
3
27
7
3 9
3 3
7
27
2
20
27
x
x
0
3
27;
'
x
7
1
3
x
'
1
3
1
1
3
x
2
3
x
1
3
1
2
3
3
x
1
3
x
2
3
6) 1,2
5
2 1, 2
6
3 1, 2
1
4
1 0,2
5
2 1 0,2
6
3 1 0, 2
1
4
4
5 1 0, 2
12 0, 2
7
1
3 0, 2
3
4
1
4
5 0,2
12
5
0,2
1;
x
3
4 5
x
0
1 5,5 0,15 6,65
5
x
x
2
6
x
3
1
4
' 5
x
4
2 6
x
7
3
4
1
3
x
4
4
5
x
12
7
x
3
x
4
4
3
Дифференциал функции.docx
