Методическая разработка "Дифференциал функции"

Дифференциал функции 1. Понятие дифференциала функции Дано y x x 0     : ( ) f x  a b ;  ; a b   1) lim   x 0   f x 0  x     f x 0  x   f '( x 0 )  f '( x 0 )                   f ) '( x 0 0        x f x 2) x     xбесконечно малое 0;        xбесконечно малое высокого порядка       ' f x 0 3) главную часть приращения     функции f x в точке   xсоставляет            _ x 0                                                        Определение:  Дифференциал   функции   y  ( ) f x     в   точке     0x     называется линейная   относительно       величина       ,   составляет     главную   часть '( f x 0 ) x приращения функции    в точке   ( ) f x 0x  .                                           ( df x 0 )  f  ' x 0   x    или x 1 dy 2) дифференциал dx независимого переменного x совпадает с его приращением x т е dx     x                       ,     x . .                 Дифференциал   функции   равен   произведению   производной   этой функции на дифференциал ее аргумента Производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента dy   x y '    : Дано x y 1) y dy  ' y   ' x  ( ) ' 1 x                     dy  ? dy   ' y dx y '  dy dx Примеры: 1) y Дано  : cos(1  dy  ? dy ' y   ' y dx  (cos(1 2 ) x x                                                      )) '   1   u x 2 2  (cos ) ' u    Ответ dy :  u ' sin u  2 sin 1 x  2    ' sin 1 2  x    2 sin 1 x   2 x      1 x 2  x dx dy Дано 2) :   3 x x e y                                                      ' y dx   3 x x e (  3 x v ;  e )'  u y ' x 2 2 2 dy  ?  ( uv ) '  u v '  v u '   3 x  2 x '  e 2 x   e  '  3 x 2 x  2 3 x e 2 x  3 x e  2 ; x Ответ dy :  2 x e 2 x   3 2  x dx 2. Геометрический смысл дифференциала. M Tкасательная M NT прямоугольный   0 V ; 0 tg   NT  NT M N 0 '( f x 0 ; NT M N tg M N  ;   0 0   ; x tg   '( f x 0 ) )   x df x ( 0 ) Дифференциал   функции   y  ( ) f x     в   точке     равен 0x приращению   ординаты   касательной,   проведенной   к , графику   этой   функции   в   точке   f x 0 ;x 0     соответствующему приращению ее абсциссы    на   .x 0x 3. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.                                              f x ( )  ( f x 0    x ) f '( x 0 )   x ( f x 0 ) Примеры: 1) 85  81 4   x 0  81; ( x ) '  4   x 1 2 x  1 4 2 81  81    9 9 2 9               2 9 2) 33  36 3   x 0  36; ( x )'     x 3 1 2 x   1 ( 3) 2 36  36   3  2 6   6 5,5 3) 2,3   (2 0,3)   5     5 x x 0    2; 0,3 5 6 2   0,3 2  5    5 3  64 10 1  5 2   3  64 2 1  32    3 4 128 1  128  5 ( x ) '    5 x   5 1   5 x  6 5   6 x 1   1 2 1    0,19  1   1 0,19 1 1,91   4) x 0 1   x 1   0,81 1 0,19     0,19 1; x '   1 2 x    3 5) 20  3 27 7      7 3 27   1  3 2  3 27   7  3 9    3 3 7 27  2 20 27  x x 0  3 27;   '    x 7 1 3  x '  1 3  1 1 3 x   2 3 x  1 3 1 2 3 3 x  1 3 x 2   3 6) 1,2  5     2 1, 2   6    3 1, 2  1 4    1 0,2  5    2 1 0,2   6      3 1 0, 2  1 4 4    5 1 0, 2 12 0, 2   7 1  3 0, 2    3 4 1 4  5 0,2 12  5    0,2 1; x 3   4 5   x 0   1 5,5 0,15 6,65   5 x   x 2  6   x 3 1 4   ' 5 x 4   2 6 x  7  3 4 1   3 x 4 4  5 x 12  7 x 3 x 4   4 3           