Методическая разработка "Физический и механический смысл производной"

Физический, механический смысл производной 1. Физический и механический смысл производной.      Производная функции  в точке  y  ( ) f x 0x  выражает скорость изменения функции в этой точке, т.е. скорость процесса, описываемого зависимостью  . y  ( ) f x     Если  s s t ( )  ­ закон прямолинейного движения, то  ­ скорость движения в момент '( ) s t времени  t . Тогда  скорость изменения скорости этого движения ­ есть ускорение в этот момент времени. ( ) a t  '( ) v t  ''( ) s t Таким образом,  ускорение прямолинейного движения тела в данный момент времени равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента времени. 2. Приложения производной к решению физических задач. Распад радиоактивного вещества: m – масса радиоактивного вещества t – время распада радиоактивного вещества v – скорость распада Выполнение работы: А – совершаемая работа t – затраченное время W ­  произведенная мощность Воздействие внешнего давления на жидкость: V – объем жидкости Р – внешнее давление k – коэффициент сжатия жидкости Вращение твердого тела вокруг оси: φ­ угол поворота t – момент времени ω ­ угловая скорость Передача количества тепла: Q – количество теплоты Т – температура С ­ теплоемкость Протекание тока через проводник: lim   t 0 dm dt  '( ) m t  ( ) v t lim   t 0 dA dt  A t W t ( ) '( )  lim   P 0 dV dP  V P '( )  k lim   t 0    d ( ) t dt '( ) t   lim   T 0 dQ dT  '( ) Q T  ( ) C T q – положительный электрический заряд t – момент времени I – сила тока Линейная плотность стержня: m – масса стержня х – длина участка стержня ρ – плотность стержня lim   t 0 dq dt  '( ) q t  ( ) I t lim   x 0 dm dx  '( ) m x   ( ) x Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. 1. Что такое касательная? Прямая АВ называется секущей – это прямая, пересекающая кривую в двух точках. Определение:  касательная к кривой в точка А называется прямая  l, которая является предельным положением секущей АВ, когда точка В, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке А. 2. Геометрический смысл производной секущая АВ имеет угловой коэффициент  k 1 tg 1     x x 0      0 AB l   1      ;       x   y tg  x 1       tg   lim    1 tg  1  lim   x 0 Угловой   коэффициент  '( y x 0 )        y  x касательной определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.                     '( y x 0 ) k tg  Определение:  Значение   производной   в   точке   равно   угловому   коэффициенту 0x касательной,   проведенной   к   графику   в   той   же   точке   равно   тангенсу   угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс. 3. Расположение касательной Значение производной   в точке y x  '( ) 0 0 y x  '( ) 0 0 y x  '( ) 0 0 y x   '( ) 0 Угловой коэффициент касательной k  0 k  0 k  0 k   Значение угла Расположение касательной Тангенс   угла наклона касательной 0 tg tg 0 0 0 90  o l OxP с осью Ох образует острый угол с осью Ох образует тупой угол l Ox tg 0 o 90 o 180  tg  90 o 4. Уравнение касательной Уравнение прямой l:  y                kx b k  tg  '( y x 0 )         b  0( y x ) y  '( y x 0  ) ( x  x 0 )  y x ( 0 ) ­ уравнение касательной 5. Взаимное расположение двух прямых:   :l 1 y 1  k x b 1 1    и    :l 2 y 2     k x b 2 2 ­ если  P l 2 l 1   k 1 k 2 ­ если  ­ если  l 1 l 1    k k 1 l 2   1 2     tg l 2  k k 1 2   2 1 k k 1