Методическая разработка "Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке"

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке. 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений. 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него. Пример:  Найти   наибольшее   и   наименьшее   значение   функции     на y  3 x  23 x  45 x  1 отрезке  .  0;6 1. Найти  область определения функции алгоритм 2. Найти производную данной функции решение R 3 x  2 3 x  45 x   1 ' 3  2 x  6 x  45 ( )D y   y ' 3.   Найти   стационарные   и   критические   точки   функции,   и проверить эти точки на принадлежность данному отрезку.  2 x  2 x  15 0  x 3 x 1 x 2 2    x 45 0; 6      0;6 3     0;6 5 4. Вычисляем значения функции на концах заданного отрезка и     в   стационарных     и   критических     точках,   вошедших   в данный отрезок. 5.   Среди   полученных   значений   функций   выбираем наибольшее и наименьшее. примеры:    y y y y 3 (0) 0 3 (5) 5 (6) 6    3 2   3 0   2 3 5   3 6 2     45 0 1 1      45 5 1      45 6 1 174 161 y .(0) 1; наим   0;6 наиб   0;6 (5)   174 ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 1. Составление математической модели этапы Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин пояснения ­  анализируем условие задачи;  ­   выделяем   оптимизируемую   величину,   т.е. величину,   о   наибольшем   или   наименьшем значении которой идет речь;  обозначаем ее через . ; ; y S V R t ; ; 2. Работа с составленной моделью. 3. Ответ на вопрос задачи. ­   выделяем   независимую   переменную   и обозначаем ее через х; ­   устанавливаем   реальные   границы   изменения независимой   переменной   в   соответствии   с условием задачи. решаем   и   определяем   наибольшее   или наименьшее значение в зависимости от того, что требовалось в условии задачи. Даем   конкретный   ответ   на   вопрос   задачи, опираясь   на   результаты,   полученные   на   этапе работы с моделью Пример:  Бак,   имеющий   вид   прямоугольного   параллелепипеда   с   квадратным   основанием,   должен вмещать 500 литров воды. При какой стороне основания площадь поверхности бака (без крышки) будет наименьшей? этапы 1. Составление математической модели ­   оптимизируемая   величина   –   площадь поверхности бака; ­ независимая переменная – сторона квадрата; ­ сторона квадрата – величина положительная, значит   границы   изменения   независимой ; 0 x   ­   объем   бака   равна   произведению   площади основания на высоту. ­поверхность   бака   состоит   из   квадрата   со стороной     и   четырех   прямоугольников   со х решение Sплощадь поверхности бака      ;  xсторона квадрата основания     ; х  0;   2 V x h    h V 2 x сторонами     и  х   .        V 2 x S  2 x S  2 x 4 V   2 x  4 500 x    x x 2  2 x  4 V  x 2000 x 2. Работа с составленной моделью S  2 x  2000 S '  2 x  S   ' 0 2( ; x x 2000     0;  ' 2 x   2000 x 2 3 2( x  1000) 2  x x 3 x 1000) 2  x    0 x x   10 0 min : х  10 3. Ответ на вопрос задачи Чтобы   бак   имел   наименьшую   поверхность, необходимо,   чтобы   сторона   квадрата,   служащего основанием такого бака, равна 10 дм.       