Методическая разработка "Наибольшие и наименьшие значения функции"

         Урок по теме: "Задачи на отыскание наибольших и наименьших величин" Цели урока:  выработать у учащихся умение находить наибольшее и наименьшее значения величин;  отработать умения учащихся пользоваться предложенной схемой решения задач на  оптимизацию;  привести примеры задач, связанных с разными специальностями;  воспитывать чувство ответственности за коллектив в процессе творческой работы.  Оборудование урока:  плакат с высказыванием П.Л.Чебышева;  плакат со схемой решения задач на оптимизацию;  памятка с методическими рекомендациями по решению задач;  изготовленные учащимися коробки с открытым верхом из листа размером 12 x 12  (индивидуальная домашняя работа);  карточки с задачами.  Ход урока I. Проверка домашнего задания, актуализация знаний На предыдущем уроке мы с вами познакомились с алгоритмом отыскания наименьшего и  наибольшего значений непрерывной на отрезке функции. (Повторяем алгоритм по пунктам.)  Дальше предлагаю самостоятельно выполнить задание: “Найти наибольшее, наименьшее  значения функции V(x) = 1/2(12 – x) * x2 на отрезке [0; 12]. Это и проверка усвоения темы  прошлого урока, и возможность просмотреть домашнее задание (собрать коробочки), и  главное, переходное задание к задачам на оптимизацию. Работу обязательно проверяю,  например, с помощью кодоскопа или по решению одного из учащихся на обратной стороне  доски.  II. Объяснение нового материала К объяснению темы приступаю с демонстрации исходного квадрата и тех коробочек, которые  изготовили учащиеся, с указанием их объёмов. Бумажный квадрат был у всех одинакового  размера, а объёмы коробочек получились разные. Выясняем, в каком случае коробочка имеет  наибольший объём. Пусть МN = x см (см. рисунок). Тогда АМ = ((12­x)/2) см, объём коробочки: V = x2*(12­x)/2 = (1/2x2(12 – x)) см, где 0  x  12. Находим наибольшее значение функции V(x) = 1/2x2(12­x) на отрезке [0;12]. Эта задача  была решена в начале урока. Таким образом, в этой части урока всё внимание  сосредотачивается на составление математической модели задачи. Важно выяснить, так чья  же коробочка имеет наибольший объём? 1    П.Л.Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют  решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими  средствами для достижения наибольшей выгоды”. С такими задачами в наше время  приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции.  Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса  прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками  сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова  optimum – “наилучший”). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя  величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй  величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в  данных условиях) значение. Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме:  составление математической модели;  работа с моделью;  ответ на вопрос задачи.  Рекомендации по решению задач у вас лежат на столах. Раздаются памятки (Приложение 1). III. Закрепление изученного Задача 1. Сварщики получили задание из металлического стержня длиной а, необходимо  согнуть скобу прямоугольной формы и приварить её к металлической балке. Как выбрать на  стержне точки сгиба, чтобы площадь образовавшегося прямоугольника была наибольшей? Эту задачу решаем всем классом с одним из учеников у доски, особо обращая внимание на  составление математической модели. Дальнейшее решение задач осуществляется дифференцировано, по группам. Для более  подготовленных учащихся предлагается задача 3 и 4, а остальные ребята решают задачу 2. Задача 2. Строители решили пристроить к стене школы физкультурный зал прямоугольной  формы. Оказалось, что кирпича у них хватит только на 100 м стены (по периметру трёх новых стен). Зал должен быть как можно больше по площади. Что вы посоветуете строителям?  Какие размеры пристройки выбрать? Задача 3. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению её  ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из  цилиндрического бревна радиуса R, чтобы её прочность была наибольшей. Задача 4.Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным  основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах бака на его изготовление  потребуется наименьшее количество металла? Затем по одному учащемуся из группы демонстрируют решение у доски. Руководители групп  оценивают остальных учащихся. IV Итог урока Подводя итог урока, в каждой решённой у доски задачи выделяем этапы математического  моделирования:  1. 2. 3. Cоставление математической модели;  Работа с моделью;  Ответ на вопрос задачи.  2 V. Домашнее задание П. 25, № 312; 313; 320 (учебник “Алгебра и начала анализа 10–11” под редакцией А.Н.  Колмогорова). ТЕМА УРОКА: "Наибольшее и наименьшее ее значения функции" Дидактически  цели Обучающая:  изучить понятие наибольшего и наименьшего значения  функции;  изучить алгоритм вычисления наибольшего и наименьшего  значения функции.  Учащиеся должны:  дать определение наибольшего и наименьшего значения  функции; составлять алгоритм вычисления наибольшего и  наименьшего значения функции;  уметь находить наибольшее и наименьшее значения заданных  функций.  Воспитывающая:  воспитывать чувство уважения между учащимися для  максимального раскрытия их способностей;  воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске.  Развивающая:  способствовать развитию внимания;  совершенствовать умения вычислять производные.          Тип урока: комбинированный Оборудование:  доска, карточки, (мультимедийное оборудование) объяснительно­иллюстративный, репродуктивный Методы  обучения:  Структура урока I этап: Организационный  Учитель здоровается с учащимися, сообщает тему, цель урока 3 1. 2. II этап: Подготовительный  Диктант, задания читаются вслух, состоят из двух вариантов, работа  выполняется в тетради. После выполнения задания ученики самостоятельно проверяют  правильность выполнения заданий.  На доске учащиеся выполняют задания: найти критические точки заданной  функции; найти значение функции в заданной точке.  III этап: Изучение нового материала  Изучить понятие наибольшего и наименьшего значений функции, составить алгоритм  вычисления наибольшего и наименьшего значений функции, рассмотреть примеры  вычисления наибольшего и наименьшего значений функции. IV этап: решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. Vэтап: каждому учащемуся выдается задание, которое выполняется на отдельном  листе. VI этап: рекомендации для выполнения домашнего задания VII этап: повторить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений  функции. ХОД УРОКА I этап: Организационный Учитель здоровается, сообщает тему урока, цель урока. II этап: Подготовительный Фронтальный опрос 1. Найдите производную функции: а) sin x б) tg х в) х2 + 2 г) х4 д)  е) ех+2 Задание выдается каждому ученику (к доске выходят по желанию) 2. Найдите производную функции: I в. а) 2х3 + х – 2 б) cos 2х в)  3.  Найдите критические точки функции: f(x) = 2x – x2 4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: II в. а) х4 – 2х2 + 3 б) sin 2х в)  f(x)=x2 + 2x 4 f(x) = x5 – 2x f(x) = х2 + 12х – 10 f(x) = 5х2 – 3х + 1 5. Вычислите f(0) f(x) = х4 + х III этап: Новый материал 1. Русский математик XIX века Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те  методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической  деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения  наибольшей выгоды”. Пусть функция  у  =  f(х)  непрерывна на отрезке [а;  b].  Как известно такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке xo отрезка [а; b], либо на границе отрезка, т.е. при xo = а,  или  xo=  b.  Если  хo   (a;  b)  то точку  xo  следует искать среди критических точек данной функции. Получаем   следующее   правило   нахождения   наибольшего   и   наименьшего   значений функции на (а; b): Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции:  1. 2. 3. 4. найти критические точки функции на интервале (а; b);  вычислить значения функции в найденных критических точках;  вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = b,  среди всех вычисленных значениях функции выбрать наибольшее и наименьшее.  Замечания:  1. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. ((хo) = fнб = fmax , где нб – наибольшее, max – максимальное). 2. Если функция у = f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических , то это означает, что на нем  функция   монотонно  возрастает   или   у  бывает.  Следовательно,  свое  наибольшее значение функция принимает одном конце отрезка, а наименьшее – на другом. Задача 5 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) = Зx2 + 4x3 + 1 на отрезке [– 2; 1]. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. Практические   задачи:   транспортная   задача   о   перевозке   груза   с   минимальными затратами,   задача   об   организации   производственного   процесса,   с   целью   получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные поиском оптимального решения, приводят   к   развитию   и   усовершенствованию   методов   отыскания   наибольших   и наименьших значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики — линейное программирование (Для   самостоятельного   изучения   материала   можно   использовать   мультимедийные средства)  2. Задача Найти наибольшее и наименьшее значения функции : f(х) = 2х3 – 3х2 – 36х [– 2; 1] 3. Задача. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром. IV этап: Первичное закрепление материала 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(х) =2х3 + 3х2 – 36х  а) [– 4; 3] б) [– 2; 1]; а) решает учитель; б) решает ученик. 2. Самостоятельно (самопроверка)  f(х) = х4 – 8х2 + 5 [– 3; 2] 3. Ученик выполняет на доске f(х) = х + е–2 [– 1; 2] V этап: Выполнение самостоятельной работы Найти наибольшее и наименьшее значения функции: I в. f (x) = x3 – 3x2 + 3x + 2; [– 2; 2] II в. y = 9x + 3x2 – x3 на отрезке [– 2; 2] VI этап: Домашнее задание:  1. y = 5 + x4 – 8x на отрезке [– 3 ; 2]; 2. f (x) = 9 – 6x2 – x3 на отрезке [– 4; 2]; 3. y = 4 – 9х + 3x2 + x3 на отрезке [– 2; 2]. VII этап: Итог урока 6