Методическая разработка по математике "Системы уравнений и методы их решения"

Министерство образования Российской Федерации Департамента образования администрации муниципального образования «город Нижний Тагил» Муниципальное общеобразовательное учреждение Политехническая гимназия СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ  И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ Нижний Тагил 2007 2 СОДЕРЖАНИЕ Введение …………………………………………………………….   3 Системы уравнений. Основные понятия ………………………….   4 I. II. III. Методы решений систем уравнений 1. метод подстановки ………………………………………………   8 2. метод алгебраического сложения ………………………………  11 3. метод введения новой переменной   …………………………….   13 4. метод Гаусса ……………………………………………………..   17 5. метод разложения на множители ………………………………   19 6. метод почленного умножения и деления уравнений системы .   22 7. геометрический метод …………………………………………..   25 8. решение систем уравнений с параметрами …………………....   29 9. решение показательных и логарифмических систем уравнений 31 10.решение систем тригонометрических уравнений ……………..  35 IV. Список литературы ………………………………………………….  40 3 ВВЕДЕНИЕ Начальные   сведения   о   системах   уравнений   даются   в   последней   теме курса алгебры 7 класса –   “Уравнения и системы уравнений”. В дальнейшем системы уравнений встречаются на протяжении всего курса математики. Вообще, система уравнений может состоять из нескольких уравнений с несколькими   переменными.   В   школьном   курсе   математики   в   основном изучаются   системы  уравнений  с  двумя  переменными,  но  число   переменных может   быть   и   большим.   Системы   уравнений   бывают   разные   и   методы   их решения тоже различны. Существует множество методов решения систем уравнений. Наиболее часто   встречаются:   метод   подстановки,   метод   алгебраического   сложения, метод   введения   новой   переменной,   разложение   на   множители,   метод почленного   умножения   и   деления   уравнений   системы.   А   так   же геометрический   метод,   метод   Гаусса,   решение   систем   уравнений   с параметрами, решение показательных и логарифмических систем уравнений и решение   систем   тригонометрических   уравнений.   В   сборнике   подробно рассматривается   каждый   из   методов.  Применение   методов   решений   систем уравнений   будет   показано   на   примерах.   И   к   каждому   методу   подобраны задания для самостоятельного решения.       4 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. образуют  систему, если Несколько уравнений с двумя переменными   ставится   задача   об   отыскании   всех   таких   пар    ,   которые   удовлетворяют каждому   из   заданных   уравнений.   Каждая   такая   пара   называется  решением системы. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения. Множество решений системы может быть, в частности, пустым – в этом случае говорят, что система не имеет решений или что эта система несовместна. yx, yx, Несколько   систем   уравнений   с   двумя   переменными     образуют yx, совокупность систем, если ставится задача об отыскании всех таких пар   , каждая из  которых удовлетворяет, по крайней мере, одной из заданных систем. Каждая такая пара  называется решением совокупности систем. yx, Процесс   решения   системы   уравнений   состоит,   как   правило,   в последовательном   переходе   с   помощью   некоторых   преобразований   от   данной системы   к   другой,   более   простой   и   т.д.   Если   в   результате   некоторых преобразований  системы     , ; , yxg yxf 1 1     , ; , yxf yxg 2 2 .......... .......... ..........    , yx f yxg     ,        n n (1) мы перешли к системе                          (2)         1 f yx ,   1      yx g ,    yx f , g .......... ..........   ;  yx ; , 2 ..........   yx , yx ,   g 2 f n n  5 и если при этом каждое решение системы (1) является в то же время решением системы (2), то система (2) называется  следствием системы  (1). Следствием системы   уравнений   может   быть   и   одно   уравнение.   Например,   уравнение 3  2 3 y x   является следствием системы  ,5 y  2 3 y    2 x x      (как сумма уравнений системы). Вообще   следствием   системы   уравнений   может   быть   система,   как   с меньшим, так и с большим числом уравнений. Так, система   2 x 3 x  x  ,5 y  y 3 ,2   2 y 3      есть следствие системы x               ,5 y  y 3 2  2  x  Две системы уравнений называются  равносильными, если множества их решений совпадают. Ясно, что две системы равносильны тогда и только тогда, когда вторая является следствием первой и первая является следствием второй. Отсюда, в частности, следует, что если к системе уравнений добавить еще одно уравнение,   являющееся   следствием   данной   системы,   то   новая   система   будет равносильна   исходной.   Если   же   опустить   какое­либо   уравнение   системы,   то полученная   система   уравнений   (или   одно   оставшееся   уравнение)   будет следствием исходной системы. Приведем две теоремы, применяющиеся при решении систем уравнений.   1   g 1  yx ,  Если   уравнение     (или   является   его   следствием),   а   уравнение   равносильно   уравнению yx ,   (или   является   его   следствием),   то yxg   g yx , yx , yx ,        f f , 2 2 f 2 2 1 ,   yxg Теорема   1:   yxf , 1 равносильно   уравнению   система   f       yx ; g ,    yx , g равносильна системе    yx ,   1   yx , f 2 2 1 6   yxf , 1   yxf , 2    yxg ; , 1    yxg , 2    2 2 1 , ,    ;        и         yx , ; (или является ее следствием). Теорема   2:  Если   уравнение      yxf 1       yxg     и  f      yxf , yxg , 1 1      yxg yxf , ,     yxg yxf , , 2 2      yxg yxf , ,      yxg yxf ; , , 1 1      yxf yxg , , 2 2 а система      , ; yxg yxf , 1 1      , , yxg yxf ; 2 2      yxf , , . yxg является следствием системы         равносильна системе (3).  yxf yxg ,  yxg  ,  , то каждая из систем  ,   является   следствием   уравнений                                                                                              (3)                                                                      (4)                                                                              (5)   ;  ,   , yxg 1  , yxg 2 В частности, следствием системы (3) будут такие системы:    yxf , 1    , yxf  1    yxf , 1    , yxf  1    , yxf 1    , yxf  2    yxg , 1    f , yx 2    , yxg , 1     , yxf 2    , , yxg 1     2  , yxg 2  , yxgyxg 1  ;      , . 2 2                                                                                   (6) 7 Если не существует таких пар   yx, , при которых оба выражения    одновременно   обращаются   в   нуль,   то   уравнение    f 2 yx ,   yxg  , 2 yxg .   Тогда   системе   (3)   равносильна yxf 2   , , 2 1  и  yxf , 2 1   2 ,  yxg равносильно   уравнению   следующая система:  yxg , 1 1  yxg , 2  yxf , 1 1 yx ,            , 2 ,    1       yxf , 2  yxg , 1   yxg , 2  yxg , 1 1 f Ее следствием, в свою очередь, является система:   yxf , 1    yxf ,  1 Таким образом, приходим к следующему выводу: если не существует таких yx,   одновременно ,   при   которых   оба   выражения     yxf , 1   yxf , 1   yx f ,                                                                                          (7)   yxg , , 1   yxg , 1   yxg , 2 yxg yxf   и        , , 2 2 2     пар    обращаются в нуль, то система является следствием системы (3). Если,   решая   систему,   мы   преобразовали   ее   в   систему,   являющуюся следствием   исходной,   то   найденные   решения   новой   системы,   безусловно, подлежат проверке (например, подстановкой найденных значений переменных в исходную систему). В дальнейшем будут полезными следующие утверждения: 1. Система (4) равносильна системе (3). 2. Если не существует таких пар  yx, ,    yxf 1 равносильна системе (3). yxg  , 1 , при которых обе части уравнения   одновременно   обращаются   в   нуль,   то   система   (5) 3. Система (6) равносильна системе (3), если для любых   , определения системы (3) выполняется неравенство   yx,     из области   0  ,    yxgyxf 2 2 4. Если   не   существует   таких   пар    ,   при   которых   одновременно обращаются в нуль обе части второго уравнения системы (3), то система (7) равносильна системе (3). yx, Отметим еще один результат, вытекающий из теорем 1 и 2: Теорема 3: Если совокупность уравнений  8 yxg  , 2   (или   является   его   следствием),   то          21 22 f yx , yx f , .......... f yx ,  21       ; yx , g   yx g , ; 22 .. .......... ..........    yx g ,   yx ,  f 2 k 2 ;    21 k 2 равносильна   уравнению   совокупность систем        , yxg yxf , , 1 1      yx , yx , g f   21        yxf yxg , , ,  1 1        f yx yx ; , g ,  22  .......... .......... ...... ..........         yxf , , yxg ,  1 1     f , g yx yx ,              . 22  2 2 k k равносильна системе (3) (или является ее следствием). является совокупность систем: ,  21   , yxg 1   0 В частности, следствием системы    yxf , 1   yx f ,      , , yxg yxf 1 1    f , yx 0 .......... ..........      , , , yxf yxg 1 1    f yx , .0 ....... 22  , 2 k                    9 МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 0 y   xf           1.   Метод   подстановки  основан   на   том,   что   если   из   одного   уравнения системы   выразить   одну   переменную   через   другую   (например,   )   и подставить полученное выражение во второе уравнение, то системы        ,  xf    , xf y    yxF ,    , xf y    xfxF ,   , находим соответствующие значения  y . равносильны.   Решение   последней   системы   сводится   к   решению   уравнения   с одной переменной  x . Подставляя затем найденные  x  в уравнение xfxF 0 y   и         0  Этот  метод  особенно  удобен, если   в  одно  из  уравнений  системы  какая­ нибудь переменная входит в первой степени. Пример 1: (линейная система) Решим систему уравнений:  ,5 2 y  x 4 y x 2    25  y . Подставляя это значение во   y y y x 4 4   Решение: Из первого уравнения находим  второе уравнение, получаем  252 Из этого равенства находим  10 4 y  6 3 y  y 2 Подставляя найденное значение  y  в выражение  Ответ:   2,1 Пример 2:   Решим систему уравнений:  (нелинейная система) . x 4 2 x 2  y ,4  2 16 y     x 25  y , находим  1x . 10 4 y 22  x  16 24  224 x   . Подставляем это значение во Решение: Из первого уравнения находим  второе уравнение, получаем x Приведя это уравнение к стандартному виду, получим биквадратное уравнение 5 Решая его, находим 4 5 x 3 1 x 2 x 4 5 16 x  0 4 x ,   ,0  2 Подставляя найденные значения   x  в выражение  y  224 x , находим       ,4 y 2 y 3 Ответ:   ;4,0    4 5  , 12 5   ;      1 y     12 5 . 4 5  ; 12 5       . Решите самостоятельно, используя метод подстановки: ; ; xy , ; 2 7 x x x y x 6 x x 2  2   x  x  y 1. 2. 3. 4. 5.                      ,5 3 y  y 3 4   2 ,7 xy  2 3 y  8 y  x 2 0  2 ,0 y  3 3 x y y 8  2  3 y x  x 2  ,4 .  1  y x ; 1 2. Метод алгебраического сложения уравнений  основан на том, что если к обеим частям одного из уравнений системы  11   yxf , 1   yxf , 2    yxg ; , 1    yxg , 2    прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на одно и то же   число,   а   другое   уравнение   оставить   без   изменения,   то   получим   систему, равносильную данной, т.е. системы      xf xg , 1 1      xg xf 2 2     xf xfc 1 2      f x xg 2 равносильны.       и         2    xg 1    xgc 2  , Обычно   с   помощью   этого   метода   получают   систему,   к   которой   затем применяют метод подстановки. Пример: Решим систему уравнений:  3 2 xy  ,2     3 2 x x   3  y 2 yx 2 3 x  1 Решение:   Если   выразить   из   второго   уравнения   y   и   подставив   в   первое,   то получим   уравнение   девятой   степени.   Поступим   иначе.   Умножим   второе уравнение на 3 и сложим с первым. Получим систему  x 2 x       3   ,1 y  2 yx ,1 которая равносильна системе x x  ,1 y  2 2 yx     .1 Из   первого   уравнения   находим   уравнение, получим кубическое уравнение   уравнения на множители, получим: 1x y .  Подставив   это   выражение   во   второе . Разлагая левую часть  01 2 2 x x  3  x   1   2 x  x  0  1 Решая это уравнение, находим его корни: 1 x ,1 1 x 2  2 5       , 1 x 3  5 . 2 12 Подставляя найденные значения  x  в выражение        , находим,   5 y 2 y 2 1x  2     ,0 1 1 y ,   ;0,1    1  2 5 , 1  2 1  5   ;     2 1 y     Ответ:   2 5 5  1 ,  2 5        . Решите самостоятельно, используя метод алгебраического сложения:                    1. 2. 3. 4. 5. 2  ,17 ;   ,8  6 y ;  1  ; 2  x y x y 2 1 4 3 1  ,2     3 2   3 4        5 3 y 2 x 2      x y 35 4 2 2        3 5 1 y x x y        2 53 52 x 7 y x    xxy ,30 y  3 3 x 35 y   2 x 2 ,208   2 3 1 y y x 2 2 ; . 3. Метод введения новой переменой состоит в следующем: если    yxF , 1   , yxF 2   1     , yxgyxgf , 1     , yxgyxgf , 2  ;  ;   , , 2 2 1    то систему 13        2 , vu 2 , …,  n vu , n  ,0  0 yxg 1 , u ,  yxg , v 2  ,0  0 ,   можно записать в виде с помощью новых переменных   ­ решения последней системы. Тогда задача    Пусть  сводится к решению следующей совокупности систем:   yxF , 1   , yxF 2   vuf , 1   vuf , 2 1 1, vu    , u yxg , 1 1    ; v , yxg 1 2    u , , yxg 2 1    v ; , yxg 2               ...;     u , yxg n 1     v , yxg  2 Решения этой совокупности будут одновременно и решениями системы    yxF , 1    , yxF  2 Рассмотрим   примеры   применения   данного   метода   при   решении   систем  ,0  0                             2 , . n              уравнений. 14 Пример 1: Решим систему уравнений:  x 2 yx xy   ,11 y  2 30 xy    Решение: Это система симметрических уравнений, поэтому полезно будет ввести новые переменные  v  . Сделаем замену переменных.  xy ,  x u y Система примет вид:   vu ,11   uv 30  2 v Решая эту систему, находим  6 Остается найти решение совокупности систем уравнений: 2 u 5 1 v 5 1 u 6 ,  ,  ,  .                  ,6        y x  xy ;5  y x ,5  xy .6   y x   xy ;5    y x ,5   xy 6    3,2;2,3;5,1;1,5     ,6 1 x 5 ,  1 y 1 ;  2 x 1 ,  2 y 5 . 3 x 3 ,  3 y 2 ;  4 x 2 ,  4 y 3 . Система       имеет решение   Система       имеет решение   Ответ:     . Симметрические   системы.  Напомним   основные   сведения   о   называется  симметрическим, симметрических выражениях. Выражение   если   оно   при   замене   переменных   x   на   y или   y   на   x   не   изменится.   Так симметрическими будут следующие выражения: yxF ,    yxF , yxF ,    x 2 3 xy  y 2 ,  y x 2 xy  1 x 1 y . Основными   симметрическими   многочленами   с   двумя   переменными x    и   xy .   Все   остальные   симметрические   многочлены   с   двумя считаются   переменными могут быть выражены через основные. Положив для краткости  u v  , получаем, например:  xy ,  y y x 15 2 3 4 5 2 x x x x x 2 3 4 2 2 y y x x    x  x 2 y    y   2 xy   y y   y y   2 xy x Система, 2 2 5 22 2  2 2     xy xy u y 2  ,2 v     2 uu v 3   2  2 u  yx x y  xy u 2   3 x 2   все   уравнения   которой   симметрические, v 2  2 uv ,3  4 u  uv 2  4 vu  3 uv 3 yx  3 y  y 2 v ,2   uv 2  xy  u v 2  u u 2  v  2 3 2 2 2 2 5 3 5 vu 2  и т.д.  2 uv 5 ,   называется симметрической. Ее можно решить методом введения новой переменной, выбрав в качестве новых переменных основные симметрические многочлены. 16 Пример 2: Решим систему уравнений:    x x ,17 3 3 3   3 yx y   xy 5 y Решение: Введем новые переменные , то заданная система сводится к следующей 3 3 3 , x 3 uv 3 ,17   y u x   xy v  Так как   u y    3 3 uv v u   vu 5  Из этой системы находим:  u 1  v  1 Теперь остается решить следующую совокупность систем:     y x y ,3 x     xy .3 xy ;2   2 x 1 y 1 x ;  Получим  ,  2 1 1,2;2,1 Ответ:       .  ,3  ;2  ,2  .3             2 y 1         u v    ,2 2 ,  2 2 . Однородные   системы.   Система   двух   уравнений   с   двумя   переменными вида     n n xa 0 xb 0   xa 1 n xb 1  n 1  1  xay 2  n xby 2  n 2  2 2 y 2 y  ... a  b ... n  n  1 xy 1 n xy  n  1 1  ya n  n yb n n ,  c  d называется однородной (левые части обоих уравнений – однородные многочлены степени  n  от   двух   переменных).  Однородные   системы   решаются   комбинацией двух методов: линейного преобразования и введения новых переменных. Пример 3: Решим систему уравнений:     2 2 3 2 x x    xy 3 xy 2  ,0 2 y  1 y 2 17 Решение:   Первое   уравнение   системы   –   однородное   (напомним,   что   так  yxf называются   уравнения   вида     ­   однородный   многочлен). , . Но Заметим, что если   0x   xy 2 пара    ,   и, 0y следовательно,   обе   части   однородного   уравнения     можно разделить на    находим     не   удовлетворяет   второму   уравнению   системы,   поэтому    0 , то из уравнения   ,   где   x 3  , yxf 0,0 0y xy   0 0 2 3 y y 2 x   2 2 2 2y  (это не приведет к потере корней).  x  y    и   далее   xy 2 y 0 2 y   3  x y   2 , 2 2 2 ,0 Получим:   что  x y 1   или   2 3 ,    или  y x  2 3 y . 3 x 2 y x y  2 y 2 y  т.е.   x   откуда   находим, 18 Теперь задача свелась к решению совокупности систем уравнений: 2 x ;1  xy       x 2 , y 3  y   2 x 2 3         2 Первая из этих систем несовместна, а вторая имеет два решения:    3,2    Ответ:   . Это и будут решения заданной системы.   ;3,2  y  3,2            xy .1 3 x y ,   . 2 2 Решите самостоятельно, используя метод введения новой переменной:                       1. 2. 3. 4. 5. 2 2  y x y x  x y  x xy  2 x y  2 5  7 x x 2 2 ; y 2 6 8 12  y ,1   2 2 11 2 x   xy y 5 ,29   7 43 xy y 13 4   6 1  y xy  2 xy x   2 x y  1 xy  y y 2 2 2 2  x  xy 5  8  x xy  2 yx xy  2 2 x y 2  ,18 ; ; ; , 2  ,1 . 4. Метод Гаусса. Линейным уравнением с n переменными  1x ,  2x ,…, nx   3,2 , 19 Называется уравнением вида  n  b xa ... n 2 2 xa 11 1a ,   xa 2a ,…,   na ,  b  ­ некоторые числа. Если все числа  ,                                                                                (1) 1a , …,  где  na ,  b  равны нулю, то любой набор n чисел является решением этого уравнения. Если же все числа  1a , …,  В дальнейшем будем предполагать, что не все коэффициенты   , то уравнение (1) не имеет решений. na  равны нулю, а  1a , …,   na 0b равны нулю. При нахождении решений системы m линейных уравнений с n переменными удобно   пользоваться  методом Гаусса.  Этот   метод   является   частным   случаем метода   исключения   переменных   и   состоит   в   том,   сто   равносильными преобразованиями   данную   систему   приводят   к   так   называемой    треугольной форме. Рассмотрим решение системы линейных уравнений данным методом. Пример: Решим систему уравнений: ,13 2 x 3 y  x 3 z  y ,6  8 x z y z      Решение: Прибавив почленно к первому уравнению второе, умноженное на   –2, получим    1 z   или  1 y y z .  Далее, к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на  –3, получим уравнение     2 y  2 z  10 . Наконец, прибавив к этому уравнению уравнение  y 1 z , умноженное на 2, получим     4 z  12 , т.е.   3z . ,6 В результате преобразований получили систему уравнений  x  y   z   z y  ,1 z  ,3 которая, очевидно, равносильна данной. Системы   такого   вида   называются  треугольными.   Они   легко   решаются.   Действительно,   из   третьего,   второго   и   первого   уравнений   последовательно находим  Ответ:   3z 3,2,1 21 z  1  ,  . ,  6 y x y z . Решение системы линейных уравнений приведением к треугольной форме называется методом Гаусса. Решите самостоятельно, используя метод Гаусса: 20 1. 2.  3.  4.  5.  ; ; 4 4 4  6 2   2 x x   x x 2 1   2 x x  2 1   5 x 3 x  2 1   x 3 x 2 1   8 x x  2 1   3 x 4 x  1   x 2 x 1   2 3 x  1   x 4 3  1   4 x x  1   x x 2 1   2 x x  1 2   x 2 x 3  1   x x 5 2  1   3 x x 2 1   2 x x  1   x x 3  1   3 2 x  1 2 x 3 x 3 x x 4  ,2   x 3  3 x 3  5 x 3  x 5 7 x  9 2  3 x  4  x 2 3  2 x  x  x 3  x 3  x 3 x 2 3 x 7 x 2  7  ,1  x 4 3 x 4  ,7 3  ,12  9 3   4 x ,11  x ,12 3   x 2 ,13   x 3 14 3 4   4 x x ,0 5    x 2 3 ,0 x    x x 2 ,0 5 4    2 2 0 x x 5    x ,1 x 5 4    3 5 x ,2 x    x x 5 7 ,3    5 8 3 2    3 x 4 x 5 x 4 4 2 2 3 4 ; ; 2 3 4 5 5 2 2 2 4 5 3 . 5.   Метод   разложения   на   множители  основывается   на   том,   что   если  определены для всех значений переменных  x  и  y , yxf  и   , 2 выражения  то система   ,0 1 , yxf      , , yxgyxf 1 1    , yxf 0 2   yxf , 1   , yxf 2  ,0  0              равносильна совокупности систем 21 и            yxg , 1  yxf , 2  x 2 x 2        ,0  .0   3 xy 2  2 10 y Пример 1: Решим систему уравнений:  2 y   y ,0 x Решение: Система равносильна совокупности  двух систем 2 2 2   3 xy 2 y  2 10 y  ,0 y  2 2 y  x    x  x  x  Заметим, что  .10    ,0    2 x  3 xy  2 2 y  0  ­ однородное уравнение и  0y  не входит в  и        решение системы. Разделим первое уравнение на  2y . Получается уравнение  2 z  3 2 2 .0 x y x y   3           Введем новую переменную     z 1 z Получим   2 Значит,   либо   поочередно   во   второе   уравнение   системы,   получаем   совокупность z     и найдем корни квадратного уравнения 2 z 1 2 ,   либо   .   Подставляя   2   y ,  x y   и   x  1 x y x y .0 2 y x .     уравнений 10   и   10   2 2 y 5 2 y Решая   уравнение   . 5 2 y 10 найденные значения в выражение   x    и подставляя результаты в выражение    10 3 x Решая уравнение    y 4 ,   находим   1 y 2 , получаем     y 2 22 2 2 y ,   находим:   2 x 2 ,   2 1 x x 4 3 y ,   ,   ,  5 5 5 5 y . . .   Подставляя 22 x  , y 22 ; 2 22 ,  22 ,  5 5 1 y 2 ,  y 2 ; 3 y ,  Таким образом, решение первой системы является: 1 x x 2 3 x x 4 Решая вторую систему, выразим из первого уравнения   y . Получим  Но этот случай мы уже рассмотрели.  Ответ:        ;5,5;2   ;2,22 5 x 4 ,22 5  ,5 5 ;     . . y  . x Решите самостоятельно, используя метод разложения на множители:   x 2 x x x y 3 2 2 2 y 3   xy 4   2 5 y  y , z   2 2 3 z   3 x  , z  y y 2 2 4 3 xy 2 3  y 2 x 2   2 1 y x  y x 2  ,3 y z  2 2 z ,5 y  9 z y   1 y   2 y  x 2 x x x x 2 3 3  x xy ;                        1. 2. 3. 4.  5.    y ,0 x ; ; 26  x ,6 2 y ;   1 ,0 2 y   3 61 x . 6.  Метод   почленного   умножения   и   деления   уравнений   системы достаточно часто встречается при решении систем уравнений. Название данного метода говорит само за себя. Рассмотрим данный метод на примерах. Пример 1: Решим систему уравнений: 23 yz zx xy       ,24  ,10  15 Решение: Перемножим почленно все три уравнения системы, получим: 2 2 2 xzy 24 10 или xyz 345 15 24 Тогда получаем следующее        ,10  ,6  4    2   ;4,6,10  x 1  y  1  z  1  x 2  y   z  Ответ:   Пример 2: Решим систему уравнений: ,10 ,6 4 4,6,10              . 2   y z x  z  x  y xyz , , xyz xyz      Решение: Сразу можно сказать, что решением данной системы будет x y z  ,0  ,0  0      так как эти значения удовлетворяют уравнениям нашей системы. Найдем другие решения системы: Разделим   почленно   первое   уравнение   системы   на   второе,   второе   на   третье   и первое на третье. Получим     1  ,1  ,1  z  x  x  y  z  y  z z  x x  x z  y  z   z  x   y  x   y  z   y  Таким образом   x , y , y или     x  y z . 25 Тогда    x x x   3 x 2 x 0    0 xx 2 1 x 0 2 x 2 2 ,   ,        Ответ:   ;2,2,2 ;,0,0,0 3 x 3  ,2  ,2   2 . 26 Решите   самостоятельно,   используя   метод   почленного   умножения   и   деления уравнений системы:                           1. 2. 3. 4. 5. yz x zx y xy z xy xz yz x 2 y 3 2 x 3 2 2 y x x , , ; ;    10 3 15 2 6 5  ,2  ,3  6  2 3 yx ,20  2 2 yx 5   xy 3 x ,8 3 y     2 xy 2 6 4 x y    2 y xy 3 ,6 y x    2 xy y 5 3 2 x   y ; ; 2 4 2 2 . 7. Геометрический метод. Пример 1: Рассмотрим пример: Из условий    вычисляя их значений, укажите значение выражения   y 9 z y 2   и  ,   16 xz y x 2 2 2 2 xy  yz .  для положительных  x ,  y  и  z , не 2 2 Т.е. требуется, не решая систему  x  y   y   ,9 y  ,16 z  xz 2 2 2 ответить на вопрос, чему равно значение выражения   xy  yz . x ,   y   и   z   ­   положительны   и   таким     образом   задачу   можно   решить геометрически. 27 По   теореме,  обратной   теореме   Пифагора,  числа     x ,   y   и   3   являются длинами   соответственно   катетов   и   гипотенузы   треугольника  ABD  (угол  D  ­ прямой). Тогда, рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что  y , z   и   4   являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника BCD, с прямым углом D. Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число  y  есть среднее пропорциональное   чисел   x   и   z .   Тогда   по   теореме,   обратной   теореме   о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол  ABC  прямой. yz Теперь, чтобы ответить на главный вопрос задачи, рассмотрим выражение  . xy    z x y yz  S xy Примечание: Для данной системы задания могут быть и другие. Например,  или в каком отношении находятся числа   43 12 ABC 2 y x z . чему равно значение выражения  x  и  y ;  z  и  y ;  Пример 2: Решим систему уравнений: x   и  y ? y     y x 2  x  y  2 y  2 x  ,48  2 y 24 Решение:   Нетрудно   убедиться,   что   x   и   y   положительны.   Так   как  и  x  являются длинами соответственно y катетов и гипотенузы треугольника ABC с прямым углом ACB. , то числа  y ,  x      y x x y  2 2 2 2 2 2 2    28 . Из второго уравнения системы получаем  Ответ:    8,10;6,10    . y y  2 Площадь этого треугольника равна 48, а его периметр 24. Тогда радиус окружности, вписанной в треугольник  ABC, равен 2. Так как длина гипотенузы AB рана сумме длин катетов AC и BC без удвоенной длины радиуса вписанной в треугольник окружности, то   4 x x  2 10x . Значит,  6y  или  8y . 29 Пример 3: Решим систему уравнений x x 3      2 2 x 2  xy y  x   2 8  y 2 y  yz ,0  2 ,0 yz  xy yz 8 8  2 x  4 z  2 Решение: Перепишем эту систему в виде 2 2 2    y  1 y   1   ,  xb       z x y ,0 y x       x 2 ,0 1 z y x         2     1 4 y z z 4 2 x x    yxa , Рассмотрим векторы    ,   Из   первого   уравнения   получаем      , а из третьего уравнения имеем  24 b Если  Если  Если  Из   этих   уравнений   0 y x   и  c 2 , то есть   , то  a 0  , то   b 0a   b c  0ca удовлетворяют только   b  c 2 Если  Из этих уравнений     2,1   xc ,  из   второго   уравнения   имеем 1  z . yy z ,    0ba   . c 2 z 2  c  b 2  21  b z . 1z . 2 2  или    и    0x  и из третьего уравнения   коллинеарные, то есть  c y    21 x x y 1y   z   ­   любое.   Однако   системе ,   2 1z 1y . ,  ,  0x 2 2 y   и  , то есть    1 2 x x 3  1 3 ,   x   ­ любое. Однако уже первое y 2 2 x    2 z ,     4 1 2 x y z z . , . уравнение системы не выполняется ни при каких значениях  x .  Ответ: ,0,0   . 1 2     ,0;   1 ,2 1 2             Решите самостоятельно, используя геометрический метод: 1.   Вычислите   значение    y x  1 2  z ,   если  0y ,   x 2  y 25,7 ,   2 y  z 2 2 y  1 x 2  z . 2.   Для   положительных  x ,   y   и    z  из   условий  2 x  xy  2 y 2  169 ,   2 y  z 2 50 , , 2 2   xz z x 2 выражения   144  xy ,   не   находя   значений   x , yz zx  . 3. Решите систему уравнений   y   и    z,   вычислите   значение 30 x y x x z          y z y y x  3  ,3 z x  z ,3 z x   4. Решите систему уравнений  y z ,3   2 2 z 3 y 2 x x     5. Решите систему уравнений  x  x   x       если  2 3  y  2 y  y 0x  z ,2  3 4 z ,4  8 z ,  0y 5 4 3 ,  0z . ax 8. Решение систем уравнений с параметрами. Коэффициенты,   заданные   в   уравнении   не   конкретными   числовыми значениями,   а   обозначенные   буквами,   называют  параметрами.   Придавая параметрам   различные   числовые   значения,   получаем   различные   уравнения.   x  ­ переменная,   a и  b  ­ параметры. Например, в линейном уравнении  0 b  имеет три параметра  a , Квадратное уравнение стандартного вида  ax b ,  c . При изучении квадратных уравнений и квадратного трехчлена мы видим, что   при   одних   значениях   параметров  уравнение   не   имеет   корней,  при   других имеет   только   один   корень,   при   третьих   ­   два   корня.   Поэтому   при   решении уравнений  с параметрами  необходимо  вначале   выяснить,  при  каких  значениях параметров   уравнение   имеет   корни   и   сколько   их   в   зависимости   от   значений параметров.   Заметим   найти   все   выражения   для   корней   и   указать   те   значения параметров,   при   которых   это   выражение   действительно   определяет   корень уравнения.  bx  0 c 2 Все сказанное в равной мере  относится и к решению систем уравнений, содержащих параметры. Пример 1: Решим систему уравнений  ,0 a 0  10 y  ay xy xy       6 2 2 2 6 2 x x x x y y   2 2     2 2 Решение: Сложив первое уравнение со вторым, перейдем к равносильной системе 31 x 2 2 x 2  2  2 y y  2  8 xy 2 x   2 4 x  y ,0 10   2 ay 0     Эта система в свою очередь равносильна системе  2  0  2 2 2 y  x  2   2   1 x 2  2 y  xy ,0  ay   2    x Первое   уравнение   системы   не   зависит   от   параметра   a ,   и   имеется , которая удовлетворяет этому уравнению. единственная пара чисел  Значит,   система   совместна   только   в   том   случае,   когда   пара   чисел    1,2 удовлетворяет   и   второму   уравнению   системы,   т.е.   выполняется   равенство  Ответ: при              при      система несовместна. . Отсюда заключаем, что только при   данная система совместна. 1a 1a 1a 2x 1y 1,2 ,  1 a 0 2 , Решите самостоятельно системы уравнений с параметрами:  xx   y ; ; ,1 2 2 2 2 ;   2  ,1 y  4   y  2 ax     x 3 ax  xy x 3   y 1  2 1 ,2 a x y  a  xa  2 x y  2 2 x y  x y 1   3 , 2 ay x ax  ay 2 y ax  x ; 3 1. 2. 3. 4. 5.                    . 32 9. Решение показательных и логарифмических систем уравнений.  При   решении   систем   показательных   и   логарифмических   уравнений применяются те же приемы, что при решении систем алгебраических уравнений. Следует лишь подчеркнуть, что во многих случаях, прежде чем применить тот или   иной   метод   решения   систем,   следует   преобразовать     каждое   уравнение системы к возможно более простому виду. Пример 1: Решим систему уравнений  ,30     25 25 2 x y 2  25   yx 55 Решение:   Введем   замену   переменных   уравнений  u 25 , x   v 25 y ,   получим   систему       ,5       2 2 ,30  v  55  u    uv Данная система имеет четыре решения:   u ,5 1   v ;5  1     ;5        3   u   v  Но   u ,5 .5 25 ,   u v 2 u v ,   значит,   ,5 ;5 0u        v 25 y 2 3 4 4 x ,   0v ,   т.е.   из   найденных   четырех                                  решений надо взять лишь первые два. Таким   образом,   задача   сводится   к   решению   следующей   совокупности систем уравнений:     x y 25 25  ,5  ;5      33 x 25 25  ,5  .5     Из первой системы находим:  y Из второй:  2 x Ответ:        1 2 , 1 4   ;     1 2 1 4 1 4 ,  2 y , 1 2       . 1 x 1 2 ,  1 y 1 4 Пример 2: Решим систему уравнений     x y 2 2  y 3 ,12  x 18 3 Решение: Перемножив  почленно уравнения системы, получим  уравнение 2 откуда   yx   yx 3 3 y x 216 , или  6  yx 36 ,   . Разделив почленно первое уравнение системы на второе, получим уравнение  yx 2   xy 3  2 3 , или     2 3  yx    2 3 , откуда  x 1 y . Таким образом, решение системы сводится к решению следующей системы  y ,3  1 y уравнений:  x  x  Решением этой системы будет  Ответ:   Пример 3: Решим систему уравнений 2x 1,2 ,  . 1y . 9 y  9 y  6  ,8  4 2 y  2  x    x 0x  5 y 2  Решение: Взяв логарифмы по основанию 2 от обеих частей каждого из уравнений системы, получим следующую систему уравнений:     log log 2 2 x x 2 2 y  9 y  9 2 y  5 y  6  ,3  ,2 34  log 9  log или           2 y 2 9 y  5  y  6  x ,3  2 2 y Разделим   первое   уравнение   этой   системы   на   второе   (это   деление   не 0  2 x 1x log 2 x , т.е.   и   0 6 5 y y 2  2 приведет к потере решений, так как ясно, что  ): 2    2 y 9 y 9  2 6 5 y y 1 y 2 y откуда  ,  3  3 2 . 0 , 2  y x 6      ;2  log Таким образом, решение системы мы свели к решению совокупности:   ,3 y    2 y 5    ,0 y    2 5 y  Первая   система   этой   совокупности   решений   не   имеет,   а   пара   0,23 решение второй системы – является решением нашей системы. Ответ:  Пример 4: Решим систему уравнений            log  .2  6 x y  . 2 0,23   ­ Решение: Приведем первое уравнение системы к более простому виду. Для этого возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию  y :     log x log 5 2 xy  y  log y x  y , y  3 x   1 4  log y x x  y  5 2 ,  log y x log y далее log y x log y x  log y y  5 2 log y x ,   log 5 2 log x x y y u  2 y x 1 log Введем   u  01 ,   корни   которого   2 u  5 2 ,   получим   квадратное   относительно   u   уравнение ,   тогда .   Значит,   либо   1 2 y  .   Итак,   следствием   первого log xy 1 u 2 u ,   2x 2 2 2y x  .   Либо   уравнения системы является совокупность уравнений:  x  ,   т.е.   ,   тогда   log xy y 1 2 x  ,  2y y  . 2x 35 Приведем теперь второе уравнение системы к более простому виду. Для этого перейдем от логарифма по основанию  y  к логарифму по основанию 4: log 4  x  ,1 y log    y 3  x  y 4 log 3 x . 4  3 y  1  4 ,  log 4  y и далее  откуда  Таким образом, решение системы мы свели к решению следующей совокупности систем уравнений:             16,4 ;4 .4        ,2 y   3 x  ,2 x   3 x  x  y   y  y  Первая система не имеет решений, вторая имеет два решения: ,   Проверка: Решения системы должны удовлетворять следующим условиям:   x ,0   y ,0    y 3 x    y .1  Пара     ­ единственное решение системы.   этой   системе   удовлетворяет,   а   пара    16,4 1,1 1,1 .  ,0   ­   нет.   Значит,  16,4 Ответ:   16,4 . Решите самостоятельно системы показательных и логарифмических уравнений: 1. 2.        9 3 2 x  yx  ,729    1yx 1  y ,12 2  y 5 x 36 x 3  2 y 2  ,77 x 2 3   y y  6 2  2 y 2 y 2 x 9 9  2  y 5 x x 64 64 log x log 3  2 x lg  x lg 7  ,4  64   y 2 ,12 64   yx 24   log ,27 2 y   1 x log y 3    2 ,13 lg 1 y      y x lg y 1 4 log log  ,4  x    x 3 y 3 4 2lg3 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.                          10. 9 2  2 xy 2 x log y log     log xy 2  x xy   ,1 y   2 3  x  ,1 4  log  log y x y  2 y log   x 1  log 2 10.   Решение   систем   тригонометрических   уравнений.   При   решении систем тригонометрических уравнений используются те же приемы, что и при решении   систем   алгебраических   уравнений.   Но   часто   бывает   удобнее   вместо a общих   формул,   по   которым   решаются   уравнения   вида   , a записывать решения этих уравнений в виде совокупности двух систем. Пример 1: Решим систему уравнений x  cos x  sin ,   37        x   y sin 1 2 ,  x   y cos 2 2 Решение: Если воспользоваться общими формулами, то придем к системе       k x   y  1   y 4 откуда находим:  x  k ,   6  ,2 n k x  1           k 2 12  k 12 2 решение системы.    1   8 8 y k   n ,   n                                                                               (1) Если решение первого уравнения системы записать в виде совокупности x   ;2 k y а решение второго уравнения системы записать в виде совокупности  6  5 6 x  y    2 k , x x y   4   4 y  ;2 n   ,2 n то получим совокупность четырех систем:   y 6   y 4   6   y 4 y x x x x             откуда           ,2 k  ;2 n  ,2 k         ;2 n             x x x x y  5  6   y 4  5  y 6  4  y   ,2 k  ;2 n  ,2 k  ,2 n 38 k n k n  k n  k y 2 x 2  ,  ;  ,      ; x 1 y 1                  5  24   24  24  5  24             Эта совокупность представляет собой решение нашей системы. Конечно, такая запись не столь компактна, как запись решения в виде системы (1), но более наглядна, поэтому часто подобной записи отдают предпочтение.  13  24  7  24  7  24  13  24                               .      ;  ,  , x 3 y 3 x 4 y 4  k  k n n n k n n k Обратим   внимание   на   следующее   обстоятельство:   при   записи   решений первого уравнения системы мы использовали параметр  k , а для записи решений второго уравнения системы – другой параметр  n . Употребление только одного параметра, например  k , привело бы нас к потере решений. Пример 2: Решим систему уравнений ,75,0 sin tgx      sin x y  tgy 3 Решение:   Разделив   левую   и   правую   части   первого   уравнения   системы соответственно на левую и правую части второго уравнения системы, получим уравнение   cos cos  y x . 1 4 , x y  sin  sin Заменив этим уравнением второе уравнение системы, получим систему       3 4 1  4  cos cos y x , равносильную нашей системе. Заменим   теперь   первое   уравнение   системы   суммой   уравнений   этой системы, а второе уравнение – разностью второго и первого уравнений. Получим новую систему:  cos  sin  ,1 cos sin  y x y x cos x  cos y  sin x  sin y  1 2 , 39     или       x x   y ,1  cos     Из   первого   уравнения   полученной   системы   находим    y cos 1 2 , уравнение системы равносильно совокупности уравнений   2 3  2 3  ;2 n   .2 n  y x x  y x 2 k y ,   второе 40 Таким образом, мы перешли к совокупности систем            x x x x           .2 n  ;2 n  y  y  y  ,2 k  2  y 3  2 , k  2 3         Из первой системы совокупности находим семейство решений:       Из второй системы совокупности находим семейство решений:         3   3  3  3  kn  kn  kn  kn           y 1 x 1  .  .    ,  , x 2 y 2 Проверка:   Так   как   в   процессе   решения   выполнялись   только   равносильные преобразования (это отмечалось в ходе решения), то совокупность семейств , ;   x 1 y 1            kn  kn Из первой системы совокупности находим семейство решений:               3   3  3  3  kn  kn         y x   , 2 2            является решением системы. Решите самостоятельно системы тригонометрических уравнений: 41 1. 2. 3.              x 3   , y 4   tgx 2 tgy   5 2sin x tgy ,12   y 5 6 2sin tgx 1  2 1  2 cos cos sin sin y , 3 x 3 x y 4. 5.             , z y x  tgx ,2 tgz  tgy 18 tgz  x y cos sin ,   6 tgz sin y   z sin 3 2 , ctgx 42 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Алгебра для 9 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под редакцией Виленкина Н.Я. – 2­е издание. – М.: Просвещение, 1998г. 2. Варпаховский   Ф.Л.,   Солодовников   А.С.   Алгебра:   Элементы   теории множеств. Линейные уравнения и неравенства. Матрицы и определители. – М.: Просвещение, 1974г. 3. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8­9 классов. Учебное пособие   для   учащихся   школ   и   классов   с   углубленным   изучением математики. – 3­е издание. – М.: 1996г. 4. Генкин Г. геометрические приемы решения систем уравнений                // Математика в школе. – 2004 ­ № 34. 5. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: Наука, 1970г. 6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974г. 7. Лапушкина Л.И., Шабунин М.И. Системы алгебраических уравнений [на вступительных экзаменах в ВУЗы] // Математика в школе. – 1998 ­ № 6. 8. Литвиненко   В.Н.,   Мордкович   А.Г.   Практикум   по   элементарной математике:   Алгебра.   Тригонометрия:   Учебное   пособие   для   студентов 43 физико – математических специальностей педагогических институтов. – 2­е издание. – М.: Просвещение, 1991г. 9. Малаев М. О приемах решения некоторых систем уравнений        // Математика в школе. – 1981 ­ № 6. 10.Моденов В.П. О системах уравнений второй степени с двумя неизвестными [в помощь учителю] // Математика в школе. – 1973 ­     № 2. 11.Муравин Г.К. Об одном из способов изучения систем уравнений           // Математика в школе. – 1984 ­ № 1. 12.Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Решение систем уравнений. – М.: Издательство МГУ, 1992г. 13.Росошек С.К. и др. Системы уравнений: Учебное пособие по математике. – М.: Издательство Томского университета, 1996г. 14.Скорняков Л.А. Системы линейных уравнений. – М.: Наука, 1986г. 15.Эвини   А.Ю.   Пять   решений   одной   системы   уравнений.   //   Математика   в школе. – 1998 ­ № 6.  44 45