Методическая разработка "Решение логарифмических уравнений" + технологическая карта

1 Название работы: Решение логарифмических уравнений Номинация: Методическая разработка Полякова Лариса Борисовна Место   работы:  Муниципальное   бюджетное   общеобразовательное учреждение  «Балдаевская средняя общеобразовательная школа» Ядринский район Преподаваемый предмет: МАТЕМАТИКА Тип урока: «открытие» нового знания. Учебник:  А.Н.   Колмогоров   Алгебра   и   начала   анализа   10­11класс, учебник. Время проведения: 45 минут. Целевая группа:  учащиеся 11класса. Урок предназначен для класса с хорошей   математической   подготовкой,   требует   от   учителя   и   учащихся энергичной работы. Активные   формы   обучения:  фронтальная   работа,   технология общения, беседа,  Оборудование:  компьютер,   мультимедийный   проектор,   презентация, экран, доска, мел. Презентация рассчитана на работу по щелчку, чтобы по темпу урока корректировать показ слайдов. Цель урока:  показать основные методы решения логарифмических уравнений     научить применять их при решении логарифмических уравнений. План урока: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Организационный момент. Теоретическая разминка.  Основная часть  Закрепление изученного материала  Задание на дом.  Итог урока. Рефлексия. Ход урока 1.Организационный момент Здравствуйте,   мои   юные   друзья!   Наверное,   сначала   мне   надо представиться.   Зовут   меня   Лариса   Борисовна   Полякова,   я   учитель математики Балдаевской СОШ.  Сегодняшний урок я хотела начать с высказывания  французского писателя   Анатоля Франса «…учиться, можно только весело, с хорошим настроением,  улыбаясь… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».  У   нас   всего   45   минут,   и   мне   очень   хотелось   бы,   чтобы   это   время пролетело для вас незаметно, но с пользой. Улыбнулись, ребята, друг другу, 1 2 плохое настроение и грубость умножьте на 0,а все свои силы удвойте. Итак, начали работу. 2. Теоретическая разминка: Начнем с повторения  теоретических сведений,  которые необходимы для сегодняшнего урока. (повторение необходимых  теоретических сведений по теме, развитие умений  говорить и слушать.  Работа проходит в форме ответов на вопросы): Дайте определение логарифма числа по заданному основанию.  (Логарифмом числа в по основанию а называется показатель  степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить  число в). Запишите основное логарифмическое тождество (alog  a  и a≠1).  Основные свойства логарифмов (а ≠ 1 , а > 0 , в > 0, х >  0, у > 0).  Формулировки и формулы.    b =b (где b>0, a>0  1. Логарифм единицы. (log a 1=0) 2. Логарифм самого основания. (log a a=1) 3. Логарифм произведения. ( log   4. Логарифм частного. (  n x log  x  y   n 5. Логарифм степени. ( log ( xy ) log x ) log a log a x  a a a  x  log a y ) a log y ) a Формула логарифмического перехода от одного основания к другому  Какие логарифмы называются десятичными и их обозначение? Чему  равны: log 4 16;  log 3 27; log 5 125; lg 100 ; lg 0, 001; 3log  8?  3   Дайте определение логарифмической функции. Каковы область определения и область значений  функции  у = log а х и  их обозначения? Свойства монотонности: в каком случае функция у = loq а х является  возрастающей, в каком убывающей?  Найдите выражения, имеющие смысл: log 5 0  ; log 2 (­4) ; log 5 1 ; log 5 5. 3. Основная часть Изложение темы «Решение  логарифмических уравнений»  я хочу начать с  древнекитайской мудрости: «Скажи мне – и я забуду, Покажи мне – и я  запомню, Дай мне действовать самому – и я научусь». 1) Что значит решить уравнение?(Решить уравнение – это значит найти  все его корни (решения) или установить, что их нет). 2) Что такое корень уравнения? (Корнем (решением) уравнения  называется число, которое при подстановке в уравнение превращает его в  верное равенство). В иррациональном уравнении неизвестное содержится под знаком корня  различной степени.  2 3  3)  А если в уравнении неизвестное содержится под знаком логарифма,  как его назвать?   ( логарифмическое).  Предлагаю ученикам дать определение логарифмического уравнения.   Определение:  Логарифмическим уравнением называется уравнение,  содержащее неизвестное под знаком логарифма.        Определение простейшего логарифмического уравнения: Уравнение вида  log а х = в, где а ≠ 1 , а > 0 , х >  0, называется простейшим логарифмическим  уравнением, оно равносильно уравнению х = ав, причём ни проверка, ни ОДЗ  не требуется, т.е.  log а х = в,  х = ав   ( а ≠ 1 , а > 0, х >  0)                 Простейшие логарифмические уравнения: 1.   logх­18 = 1 2.   log7(50х­1) = 2 3.   log3х = log39 4.   log7(2х­3) = log7х При решении логарифмических уравнений часто используются  следующие методы:  Метод решения с помощью определения логарифма, например,  уравнение  log а х = b (а>0, а≠ 1, х>0 ) имеет решение X=ab   Применение основного логарифмического тождества   Метод потенцирования, т.е. переход от уравнения  log а f( х)= log а  (х) φ  к уравнению следствию  f(х)= (х);φ  Метод введения новых переменных;  Метод логарифмирования, т.е. переход от уравнения  f(х) =  φ (х) к  уравнению  log аf( х) = log а  (х)φ  Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (х)φ ­   Графический метод ­  уравнению  log аf( х) =  (х),φ где  f( х) и   a log функции, построить в одной системе координат графики функций y  и  найти абсциссы их точек пересечения. Сегодня на уроке познакомимся первыми четырьмя следующими  методами: )(xg )( xf ,  y  I   метод­ Метод решения с помощью определения логарифма, например, уравнение  log а х = b (а>0, а≠ 1, х>0 ) имеет решение X=ab  Примеры:  1) log 4 x=2;  2) log 0,5 x=2;  3) log x 5=1;  4) log 5 x=­2; 5)  logх­18 = 1;  6) log7(50х­1) = 2 Решение:   log 4 x=2 х=42 х=16 log 0,5 x=2 х=0,52  х=0,25 log 5 x=­2 х=0,04 log x 5=1 х=5 logх­18 = 1   (х­1)1 = 8    х­1 =8  х = 9           log7(50х­1)  = 2      72 = 50х­1    50х­1 = 49   х = 1 3 4  Можно,  решить эти уравнения и графическим методом. Этот метод мы с  вами рассмотрим на следующем уроке. 1) тождества:  alog   II    метод ­ Применение основного логарифмического  b =b (где b>0, a>0 и a≠1) a  Примеры:  1) 9x =0,7;                   2) 2x =10;                      3) 0,3x =7 Решение: 9x =0,7          9x =9 log  90,7  X= log  2x =10                             2x =2 log  X= log  0,3x =7 0,3x =0,3 log  X= log  210                          90,7 0,37  210 0,37 III     метод   –   метод   потенцирование,  т..е.   переход     от   равенства, содержащего   логарифмы,   к   равенству,   не   содержащему   их.   При   решении уравнений  log  a  f(x)   =  log  a  g(x)   часто   происходит   расширение   области определения уравнения (за счёт решения уравнения   f(x)=g(x)),а значит, могут появиться посторонние корни. Поэтому, решив уравнение, следует проверить найденные корни подстановкой в данное уравнение. Ликвидировать (потенцировать) логарифмы безо всяких опасений можно,  если у них    : а) одинаковые числовые основания в) логарифмы слева ­ справа чистые (безо всяких коэффициентов) и  находятся в гордом одиночестве. Поясню последний пункт. В уравнении, скажем, log3х = 2log3(3х­1) убирать  логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет. Коэффициент, понимаешь... В примере log3х+log3(х+1) = log3(3+х) тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого  логарифма. Их там два. Итак, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:  logа(.....) = logа(.....) Примеры: 1) log3х = log39;  2) log7(2х­3) = log7х; 3) log 5  4) log 5  Решение: 1) log3х = log39 х=9   Проверка:  подставим  найденное  значение x=9 в  исходное  уравнение   Ответ: х=9 3) log 5   (x+1) log 5   2x+3= x+1 x=1­3 х=­2 Проверка:  подставим  найденное  значение x=­2 в  2) log7(2х­3) =  log7х 2х­3=х    х=3  Проверка:  подставим  найденное  значение x=3 в  исходное  4) log 5      x       x        x 1 2 x 2 Проверка:  1)  x 3 1  ­ не  log 5  )3(  log x 5  2 6 x  x 2 6 , 3  (2x+3)= log 5   (x+1);       (2x+3)=   x= log 5   (6­x2)  6( 0  2 x ) 4 5 существует, ­3 посторонний  корень 2)  2 x 2 log 2 )26(  2 5 log 5  2 log 5    5  2 log Ответ: 2. уравнение   log7(2.3­3) = log73  log73 = log73 Ответ: х=3     исходное  уравнение  log 5  (2x+3)= log 5  (x+1) и получим   (2 . (­2)+3)=  log 5   (­2+1),   log 5  log 5   (­1),   (­1)= log 5  это равенство  неверно (оно не  имеет смысла, так как выражения  под логарифмом  всегда больше  нуля)  Ответ: нет  решения a a A ay 2 log 2 a Bx   IV    метод ­ м    етод введения новых переменных, т.е.    . Cx 0 log ; x y относительно y; c Рассмотрев три подхода к решению одной задачи, в которых важную роль играют алгебраические выкладки, попробуем в дальнейшем не применять алгебраические методы, а выполнить чисто геометрическое доказательство. 2) приведение логарифмического уравнения  к квадратному   log 1) ввести новую переменную   2) решить уравнение   by 3) выполнить обратную подстановку и решить уравнения относительно х. Примеры: 1)  Решение: log2 y  2 0 16 9  35 ;  22  y ,2 2 1) x 5 log  y 2 2 y 5 D 25 y ,21  1 0  x 1 0 x lg lg2 y  ; 2)   2  1  1 log2 log5 log5 lg x 2) 2 lg x  x  23 2 5 x  x 5 x 5 y 1 2 0 0 0 0 2 2 5 2 2 2  y x x  lg  lg 2 x lg y 2 0D  2 1y lg x 1 10x b a  y  1 2  ;     log5 log5 x 2 x x 5 2   1   5 2    ;  x 1 25 1 2 1 5         Ответ: 10. 5 6 Ответ:  25 1 . 1 ;  5 Физкультминутка: Если учащиеся  согласны с утверждением – то  встают,  если нет то ­ садятся. 1. Произведение чисел 900 и 9 равно 8100. 2. Если 0 умножить на число, то получится это число. 3. Если число умножить на 1, то получится это число. 4. Делить на 0 нельзя. 5. Результат деления называется произведением. 6. 2 м в 100 раз длиннее 2 см. 7. 35 в 5 раз больше 8. 8. 50 см в 4 раза короче 2м. IV. Закрепление изученного материала.  Самостоятельная работа.   Вариант 1. № 1 (а)             Вариант 2. №1 (б)                     №2 (а)                                 №2 (б)  1.Решите уравнения методом потенцирования: а) log2 (3x – 6) = log2 (2x – 3);  б) log6 (14 – 4x) = log6 (2x + 2)  2. Решите уравнения методом введения вспомогательной переменной:  а) 3log 2 05 2log 2 0,3 x 5log  x 7log  0,3 x 2 0;   0,5 4 0. x   б)  V. Домашнее задание: №№ 512(г), 513 (а, в), 514 (а, в) VI . Итог урока. Рефлексия Таким   образом,   мы  рассмотрели   методы   решения   логарифмических уравнений, сделали  шаг  вперед   для  подготовки     к    выпускному  экзамену. Помните:  «Результат   учения   равен   произведению   способности   на старательность.   Если   старательность   равна   нулю,   то   и   произведение равно нулю, а способности есть у каждого».  Если запастись терпением и проявить   старание,  то   посеянные   семена  знания   непременно  дадут   добрые всходы.   Ученья   корень   горек,   да   плод   сладок  (Леонардо   да   Винчи).       Пожалуйста, с помощью карточек, оцените вашу деятельность на уроке. Плохо понял тему и не  смогу применить на  практике. Я все понял и смогу  применить полученные  знания на практике.  Я практически все  понял, но испытываю  затруднения в  применении  полученных знаний на 6 практике. Литература: 1.А.Н. Колмогоров Алгебра и начала анализа 10­11класс, учебник; 2. Удальцова А. Диктанты по алгебре и началам анализа, газета «Математика», №3­2005г., стр.22­23. 3. Алгебра и начала анализа сборник задач под редакцией С.А. Шестакова 4. Учебно­методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике.  Решение логарифмических уравнений. С. С. Самарова, ООО «Резольвента»,  2010 5. http://youclever.org/book/logarifmicheskie­uravneniya­1 6. https://www.calc.ru/Osnovnyye­Sposoby­Resheniya­Logarifmicheskikh­ Uravneniy.html Тема: «Решение логарифмических уравнений». Тип урока: «открытие» нового знания. Цель урока: Задачи показать основные методы решения логарифмических уравнений и  научить применять их при решении  логарифмических уравнений. Уметь систематизировать материал, полученный на  предыдущих уроках  Обобщение свойств логарифмов и применение их к  решению уравнений;  Рассмотреть приемы решения логарифмических  уравнений;  Развитие математически грамотной речи Основные  понятия Логарифм, Логарифмическое уравнение 7 7 8 Ресурсы: ­ основные Организация  пространства  А.Н. Колмогоров Алгебра и начала анализа 10­11класс, учебник Фронтальная работа, технология общения, беседа Технологическая карта урока Цели этапа Деятельность  учителя Деятельность  учащихся Этапы  урока № № п/ п 1 Организаци онный  момент Вре мя 2  мин 2 Теоретичес кая  разминка 9  мин 1) включить  учащихся в  учебную  деятельность 2) определить  содержательны е рамки урока. повторение  необходимых  теоретических  сведений по  теме Приветствие,  проверка  подготовленност и к учебному  занятию,  организация  внимания детей. Повторение  основных  свойств  логарифма в  форме ответы   на вопросы Включаются в  деловой ритм  урока. Проговаривают: 1)определение  логарифма числа  по заданному  основанию  2)основное  логарифмическое  тождество 1)Умений   говорить и слушать 2) Зафиксировать  все повторяемые  свойства  логарифма Применять знания  в новой ситуации 8 2 Постановка  темы и цели урока 1  мин актуализироват ь учебное  содержание,  необходимое и  достаточное  для восприятия «нового»  Сформулирует  проблему: как  решить  логарифмически е уравнения,  применив  различные материала:  решения  логарифмическ ого уравнения Организовать  коммутативное  взаимодействие , в ходе  которого  выявляется и  фиксируется  аналогия  методов  решения  логарифмическ их уравнений и  показательных  уравнений.  Научить  применять  различные  методы при  решении  логарифмическ их уравнений. Организовать  построение  выхода из  затруднения Организовать  решение  уравнения с  использованием изученных  методов методы. Итак, сегодня на уроке вы решите логарифмически е уравнения   различными  методами Организует  подводящий  диалог, уточняет правило. Предлагает  решать  уравнения на  использование  разных методов 9 Записывать в  тетрадь методы,  используемые при  решение  логарифмических  уравнений.  По очереди  комментируют  решение.  Обосновывают  выбор метода. Записывают  решение в тетради Подводит  обучающихся к  правильному вы  бору методов Формулируют суть  метода,  использованного  при решении Запись  домашнего  задания Записывают  задание в тетрадь 3 Освоение  «нового»  материала 20  мин 4 5 10  мин Закреплени е  изученного  материала  Выводы Домашнее  задание 1  мин 6 Подведение  2  Инициировать  Оцените: свою  Отвечают на  9 итогов  урока и  рефлексия  учебной  деятельност и. мин рефлексию  детей по  поводу  психоэмоциона льного  состояния,  оценить  собственную  деятельность. 10 вопросы рефлексии высказывают свои  впечатления от  урока на работу на уроке  с помощью  карточек,  ответьте на  вопросы: 1)Я  все понял  и смогу применить полученные знания   практике.  2)Я   практически все   понял,   но испытываю затруднения   в применении полученных знаний   на практике. 3)  Плохо   понял тему и не смогу применить   на практике 10