Методическая разработка "Схема исследования функции"

Полная схема исследования функции этапы 1. Вид функции пояснения 1.1  Целые  y P x ( )  1.2  Дробно­рациональные  1.3  Сложные  y   ( ) f g x  y  ( ) P x ( ) Q x 2. Область определения 2.1 Область определения целых функций – R 2.2   Область определения дробно­рациональных функций – это множество   значенийх,   при   которых   знаменатель   не   должен обращать в нуль. 3. Четность, нечетность 3.1 Условие   четности:   y (  x )  ( ) y x .   График   симметричен относительно оси  ординат, т.е. осевая симметрия 3.2   Условие   нечетности: y (  x )   ( ) y x .   График   симметричен относительно начала координат, т.е. центральная  симметрия 4. Периодичность  Для  y sin ; x y    cos ; x y  тригонометрических tgx y ctgx  ;   функций: 5. Точки   пересечения   с 5.1 С осью абсцисс, т.е.  осями координат . Решаем полученное уравнение. y  0 5.2   С осью ординат, т.е.   x  0 . Нуль подставляем в  формулу данной функции. 6. Непрерывность 6.1 Целые функции – всегда непрерывны 6.2 Дробно­рациональные функции имеют разрывы второго рода в   тех   точках,   абсциссы   которых   не   вошли   в   область определения функции  lim ( ) y x  x a   7. Монотонность функции   (возрастание, убывание) 7.1 Вычисляем производную первого порядка. 7.2 Приравниваем   к   нулю   и   находим   стационарные   или критические точки первого порядка 7.3 Полученные точки отмечаем на числовой прямой в порядке возрастания.  7.4 Определяем   знаки   первой   производной   на   полученных числовых промежутках.  7.5 Используя   достаточное   условие   монотонности   функции, находим промежутки монотонности функции. '( ) 0 y x y x '( ) 0     y y  x   x  возр убыв 8. Экстремум функции 8.1 Определяем точки экстремума: 9. Выпуклость  10. Точки перегиба 11. Асимптоты ­максимум ;­ минимум 8.2  и  y max ( ) x y min ( ) x Экстремум функции: 9.1 Вычисляем производную второго  порядка. 9.2 Приравниваем   к   нулю   и   находим   стационарные   или критические точки второго  порядка 9.3 Полученные  точки отмечаем на числовой прямой  в порядке возрастания.  9.4 Определяем   знаки   второй   производной   на   полученных числовых промежутках.  9.5 Используя   достаточное   условие   выпуклости   графика   находим   промежутки   выпуклости   графика функции, функции. y x ''( ) 0   y вниз  x  y x ''( ) 0   y вверх  x  11.1 11.2 Целые функции асимптот не имеют. Дробно­рациональные функции имеют  асимптоты: Признаки появления асимптот (мнемонические правило) 1. Через   точки,   абсциссы   которых   не   вошли   в   область определения   функции,   проходят     вертикальные   асимптоты: условие , уравнение:  a . x lim ( ) y x  x a   2. Если   степень   числителя   равна   степени   знаменателя,   то дробно­рациональные   функции   имеют   горизонтальные асимптота: условие  ; уравнение : . lim ( ) y x  x  b y b 3. Если   степень   числителя   на   единицу   больше   степени знаменателя,   то   дробно­рациональные   функции   имеют ; наклонную      асимптоту: kx   b  ;     lim ( ) y x  x k  lim  x ( ) y x x 12. Сводная таблиц уравнение  y  kx b  ( )D y четность периодичность y  0 0 х  непрерывность возрy ( ) x y убыв ( ) x экстремум функции   y вверх ( ) x внизy ( ) x точки перегиба   асимптоты 13. Построение графика 13.1 13.2 13.3 13.4 Отмечаем асимптоты Отмечаем точки перегиба Отмечаем точки экстремума функции Отмечаем   точки   пересечения   графика   с   осями координат 13.5 Плавно соединяем