Методическая разработка урок-семинар

Методическая разработка открытого урока по теме: «Решение  системы линейных уравнений на смеси и сплавы.  Подготовка к ОГЭ»                                                      Разработала                                                                     учитель математики                                                                                           Билецкая Светлана  Васильевна Урок  «Решение текстовых задач на смеси и сплавы». Если хотите научиться плавать,  то смело входите в воду, а если хотите  1 научиться решать задачи, то решайте их.                                                   Дьёрдь Пойа Дисциплина: математика Тема раздела: элементы  линейной алгебры Тема урока: Решение систем  уравнений на смеси и сплавы. Подготовка к ОГЭ Тип урока: обобщающий урок Вид  урока: урок обобщения и систематизация знаний Класс 9 Цели: Образовательные:  Создание условий для систематизации, обобщения и углубления знаний учащихся при решении текстовых задач.   Повышение практической направленности предмета через решение практических  задач. Воспитательные:  Формирование математической  грамотности учащихся.  Развивающие:  Развитие навыков логического, творческого мышления,  сообразительности и  наблюдательности.  Оборудование:  Раздаточный материал;   компьютерная презентация в  программе Power Point;   мультимедиапроектор;   ПК;   экран.  2  Презентация 1 слайд  1  Итак, ребята, сегодня на уроке мы с вами рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями  «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких­ либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из  нескольких компонентов. Эти задачи входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации  по математике за курс основной школы и включаются в варианты ЕГЭ.   Презентация 1 слайд  5                       Долей (концентрацией, процентным содержанием) α основного вещества в смеси будем называть  отношение массы основного вещества  m в смеси к общей массе смеси M:  α=m M   m=α∙M 100 ∙(100 ) Эта величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах. В большинстве  случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы,  рисунки, таблицы. Современные психологи утверждают, что решение одной задачи несколькими  способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач.  Поэтому мы с вами рассмотрим несколько способов решения задач на смеси и сплавы.    Презентация 1 слайд  6 I. Рассмотрим решения задач с применением таблицы. Таблица для решения задач имеет вид.    Презентация 1 слайд  7  М ас са ра ст во ра (с ме си, сп ла ва)   Мас са веще ства   Наимено вание веществ, растворо в, смесей, сплавов     % содержани е вещества (доля содержани я вещества)   Презентация 1 слайд 8  Задача №1 Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?  % соде ржа ние мед и (дол я соде ржа ния вещ еств а)  15% =0, 15  65% =0, 65  30% =0, 3  М ас са ра ст во ра (с м ес и, сп ла ва )  хг  (2 0 0 – х) г  2 0 0 г  Наимен ование веществ, раствор ов, смесей, сплавов  Первый сплав  Второй раство р  Получи вшийся раство р  Масса вещества  0,15*х  0,65*(200 –х)=130– 0,65х   200*0,3= 60   Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):  15,0 x  130  65,0 х  .60  Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г.  Ответ:140г. 60г.  Презентация 1 слайд  9­10 II. Рассмотрим решение этой же задачи с помощью следующей модели. Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:       Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы: 15% мед мед +      Решение.  Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему: презен1 слайд 16 = 200г мед 65% 30% х г       медь 15% + медь 65% = (200-х) г медь 30% 200 г  Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства): 15,0 x  65,0 200  3,0 x .200     Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.  Ответ:140г. 60г.  III. Старинный способ решения на смеси, сплавы и растворы. Впервые о было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.  Ввиду большой простоты задач  нем  предложенный способ применялся купцами ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения:  либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность  действий — поступай так и получишь ответ. и Дополнительно  ­ по желанию      Теория метода.  (рассматривается только в профильном классе или в классе с достаточным уровнем раствора раствора раствора раствора раствора конечного  подготовки)  М1 – масса первого  α1 концентрация первого  М2 – масса второго  α2 концентрация второго  М1+ М2 – масса конечного  α3 ­ концентрация раствора  α1 <α3 <α2  m1 = α1 М1  – масса основного вещества в первом растворе   m2 = α2 М2  – масса основного вещества во втором растворе   m3 = α3 (М1+М2) – масса основного вещества в конечном растворе   с другой стороны m3 = m1+ m2, получаем  α3 (М1+М2) = α1 М1  + α2 М2;  α3 М1  + α3 М2 = α1 М1  + α2 М2;   α3 М1  – α1 М1  = α2 М2 – α3 М2;  М1( α3 – α1) = М2( α2 – α3); M1 M2  = α2−α3 α3−α1  Задача №2 (смешивание двух веществ, предлагалась на экзамене в 2006 году).  Имеется два  сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В  каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий  40% золота?   Задача №3 (8.21 Сборник для подготовки к ГИА под ред. Л.В.Кузнецовой) Влажность свежих  грибов 90%, а сухих 15%. Сколько сухих грибов получится из 1,7 кг свежих? Задача №4.  Имеется склянка 20%­го раствора кислоты и склянка 40%­го раствора кислоты.  Смешали 200 г раствора из первой склянки и 300 г из второй. Определите массу кислоты и её  концентрацию. Задача №5. Имеется два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200 г второго, то получится 50% раствор. Если слить 300 г первого раствора и 200 г второго, то получится 42% раствор. Определить концентрации первого и второго растворов. Задача №6 (для самостоятельного решения)  (Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе, 8.22). Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа,  содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?  Первый способ:  Наим  %  М  Масса вещества ас са ра ст во ра (с м ес и, сп ла ва )  1 8 0 г.  х г.  (1 8 0 + х) г. вода + соде ржан ие веще ства (дол я соде ржан ия веще ства)  25% =0,2 5  0%  20% =0,2 енова ние веще ств, раств оров, смесе й, сплав ов  Сиро п  Вода  Новы й сиро п 180 г. 75%     0,75180+х=0,8(180+х);  135+х=144+0,8х;  0,2х=9;  х=45.  х г  0,25180=45 (г.)  ­  0,2(180+х)=36 +0,2х (г.)   45 = 36 + 0,2х;  0,2х = 9;  х=45.  Ответ: 45 г.  Второй способ:  сахар  100% вода = сахар вода 80% (180+х) х г. Ответ: 45 г. Третий способ.  Дополнительные задачи:  Задача №5. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким  же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся  соляной кислоты. Ответ: 16 %.  Задача №6. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы            его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%? Ответ:4кг.   Подведение итогов урока. Выставление оценок  Домашнее задание  Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно  добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?  Литература :  1.Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре  2. Алгебра : сб. заданий для подгот. к гос. итоговой аттестации в 9кл. / [Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др.].  3.Алгебра 9­й класс. Подготовка к государственной итоговой аттестации :  учебно –методическое пособие /Под ред. Ф.Ф. Лысенко – Ростов­на­Дону:  Легион­М.,  4.Сикорский К.П. Дополнительные главы по курсу математики 7­8 классов для  факультативных занятий. Дидактические материалы для тренировки: 1. Сколько нужно взять 10% и 30% растворов марганцовки, чтобы получить 2. Сколько граммов 35% раствора марганцовки надо добавить к 325 г воды, 3. Сколько граммов воды нужно добавить к 5% йодной настойке массой 4. Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. 200 г 16% раствора марганцовки? чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%? 100г, чтобы концентрация йода уменьшилась до 1%? Сколько для этого потребуется воды и 25% - го раствора нашатырного спирта? 5. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%. Чему равна масса цветков ромашки после сушки? 6. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько 7. Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты надо взять «бедной» руды, чтобы при смешивании с «богатой» получить 20 т руды с содержанием меди 8%? различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46 % кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов? 2 л раствора и долили 2 л воды, после чего раствор перемешали. Эту процедуру повторили ещё один раз. Определите концентрацию соли после первой и второй процедуры. 8. В сосуде объемом 10 л содержится 20%-й раствор соли. Из сосуда вылили 