Методическая разработка урока "Иррациональные уравнения и неравенства"

Тема: Решение иррациональных уравнений и неравенств.  УРОК ­ ЛЕКЦИЯ  План: 1. Иррациональные уравнения и методы их решения.  2. Причина появления посторонних корней.  3. Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его  следствием.  4. Проверка корней.  5. Формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений.  6. Иррациональные неравенства и методы их решения.  1.Иррациональные уравнения и методы их решения. Уравнение А(х)=В(х), в котором хотя бы одно из выражений А(х), В(х) иррационально,  называется иррациональным. Примерами таких уравнений могут служить: Понятие корня уравнения и его решения для иррациональных уравнений определяют так  же, как и для рациональных. Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла,  если подкоренное выражение равно нулю, то корень так же равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любых  действительных значениях подкоренного выражения. Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет  решения, не прибегая к преобразованиям. Задача 1. Докажите, что уравнение не имеет решения.<  1 2.Причина появления посторонних корней.  Решение иррациональных уравнений основано на следующем утверждении: Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось  возводить обе части в степень с четным показателем. Но могут появиться посторонние  корни уравнения, т.е. корни уравнения А(х)=В(х). Итак, что же происходит, каковы причины посторонних корней: а) за счет возможного расширения ОДЗ исходного уравнения (т.е. ОДЗ полученного  уравнения шире ОДЗ исходного уравнения). б) за счет возведения в четную степень его левой и правой частей, которые равны по  абсолютной величине, но одна из них положительна, а другая отрицательна. 3.Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием.  3) Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием ( с  последующей проверкой корней) можно поизводить следующим образом: 1. Найти ОДЗ исходного уравнения.  2. Перейти от уравнения к его следствию.  3. Найти корни полученного уравнения.  4. Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.  4.Проверка корней.  4) Чтобы отделить посторонние корни, не всегда необходимо подставлять найденные  корни в данное уравнение. Рассмотрим два вида уравнений: 2 Ответ: 3      Ответ: 2 5.Формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений. Для каждой из формул 1­5(без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части  может быть шире ОДЗ левой. Отсюда следует, что преобразования уравнений с  формальным использованием формул1­5 “слева–направо”, приводят к уравнению,  являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни исходного уравнения, поэтому  обязательным этапом в решении исходного уравнения является проверка. 3 Преобразование уравнений с формальным использованием уравнений 1­5 “справа –  налево” недопустимо, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а  следовательно и потеря корней.     ет: 3; 1,4 . Отв 6,5 ; ­3,5. 6.Иррациональные неравенства и методы их решения. Ответ: 4 6) Основным методом решения иррациональных неравенств является метод  сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств  или совокупности таких систем. Чтобы избежать ошибок при решении  иррациональных неравенств, следует рассматривать только те значения  переменной, при которых все входящие в неравенство функции определены, т.е.  найти ОДЗ этого неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный  переход на всей ОДЗ или ее частях. [­5;­1). Ответ: 5 Ответ: ( 3 ; 5].     6