Методическая разработка урока "Комбинаторика"

Комбинаторика Решение   задач,   в   которых   требуется   из   элементов   некоторого   конечного множества составить различные комбинации, удовлетворяющие каким­либо условиям, и находить число всех таких комбинаций, называется комбинаторикой. Если   из   множества,   содержащего  nэлементов,   каким­то   способом   отобраны  k элементов ( k n ), то говорят, что из этого множества произведена выборка объема k. Если   порядок   расположения   элементов   выборки   принимают   во   внимание,   то выборку называют упорядоченной. Две упорядоченные выборки считают различными, если они отличаются либо составом элементов, либо их расположением. Если порядок расположения элементов не учитывают, выборку называют неупорядоченной. Виды комбинаторики размещение перестановка сочетание определение Математическая запись Всякая упорядоченная выборка объема k  из   множества,   содержащего  n элементов   по(   называется ),   k n размещением   из  n  элементов   по  k элементов. Размещение   из  nэлементов   по  n элементов   называют  перестановками из n элементов. Всякая   неупорядоченная   выборка объема k из множества, содержащего n ),называется элементов (   k n k nA  ( n n  1)( n  2)....( n k   1),  k  0 k A n  ! n  n k ( )! P n  n A n  ! n n n  ( )!  ! n 0!  n ! k C n  ! n  k n k !( )! сочетанием   из  n  элементов   по  k элементов. Число сочетаний из  n  по  k  элементов равно числу сочетаний из  n  элементов по n­k элементов. Справедливо равенство Свойство (сочетание) Свойство (сочетание)     1 2 k C n  C  n k n k C n    1 1 C k n  1  ( C   k k n  ) n Формула Ньютона. Для   произвольных   чисел   а  и  b  и   произвольного   натурального   числа  n  справедлива формула:    1 C a C a b   ... n n C b n C a a b  C a ....   k b k b   n  n 1 n n 0 n  k n  n k k n n k  0  n k Правая   часть   формулы   называется   разложением   натуральной   степени   бинома,   а коэффициенты  ­ биноминальными коэффициентами. Особенности формулы Ньютона: 1. Правая часть формулы содержит n+1 слагаемое. 2. Каждое слагаемое имеет вид   . k nC a b n k k 3. Показатели   степени  а  в   каждом   следующем   члене   разложения   на   единицу меньше, чем в предыдущем, показатели степени  b  – на единицу больше. Сумма показателей степеней а и b в каждом члене разложения равна n. 4. Коэффициенты разложения, одинаково удаленные от нулевого и от  n­го членов разложения, равны, так как  k C n  C  1 k n