Методическая разработка урока на тему" Показательная и логарифмические функции" для обучающихся 1 курса

Самарский колледж строительства и предпринимательства» (филиал)  ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет» Методическая разработка урока по предмету «Математика» для обучающихся первых курсов ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ                                                       Выполнила: Курова Т.В.                      Самара 2016г. 1 Одобрена Предметно­цикловой комиссией естественно­ научных дисциплин и физического воспитания Протокол № ____ от ______________ Председатель ПЦК_________/ Антошкина И.А. . Рассмотрена  На заседании методического Совета колледжа Протокол №___ от _______________ Зам.директора по УП и НМР _________________/  Скирденко И.В.          Утверждена          Зам. директора по УВР   ______________/ О.В. Панова           «___»_____________2016 г. 2 Пояснительная записка Данный урок проводиться по окончанию изучения всех тем раздела «Показательные и логарифмические функции». Данная тема является одной   из   важнейших   тем   курса   и   играет   немаловажную   роль   при дальнейшем изучении данной дисциплины, причем данная тема связана с   материалом,   изучаемым   на   технических   дисциплинах   второго   и последующих курсов. Теоретические   знания   и     практические   навыки,   полученные студентами   при   изучении   данной   темы,   помогут     им   в   дальнейшем наиболее   успешно   овладевать   знаниями   различных   технических дисциплин. Для     проведения   урока   обобщения   и   систематизации   знаний   по данной теме был выбран форма урок ­ игра, который в нестандартной и легкой форме     наиболее полно позволяет выявить степень усвоения знаний   студентами   по   данной   теме   и   выявить   характерные   ошибки, допускаемые студентами при изучении данной темы. Урок   проводиться   в   несколько   этапов,   на   каждом   из   которых повторяется определенная тема раздела и выставляются баллы.  Для внесения соревновательной компоненты класс разбивается на несколько групп и в каждой выбирается капитан (студент, показавшие наилучшие   знания   в   ходе   изучения   данной   темы),   студентам   также заранее предлагается разработать эмблему своей команды, за которую можно получить дополнительные баллы.. 3 На   протяжении   всего  урока   команда  получает   баллы   и  в   конце урока   объявляется   команда­победитель.   Для   удобства   проведения урока   составляется   презентация   по   данному   разделу,   охватывающая все   основные   понятия.   Основное   назначение   слайда   на   уроке   –   это реализация   дидактического   принципа   наглядности,   что   приведет   к повышению эффективности в усвоении учебного материала, и в целом для повышения КПД урока.        Предмет: «Математика»     Тема урока: «Показательные и логарифмические функции»     Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний     Вид урока : Урок ­игра     Цели урока: образовательная:  выяснить уровень усвоения знаний студентов по пройденной теме, их способность применять полученные знания при решении практических задач развивающая:  развивать   познавательную   активность   и самостоятельность студентов в процессе решения различных задач. воспитательная:   расширять   общеобразовательный   кругозор студентов, формировать самостоятельность и ответственность.      Межпредметные   связи:   физика,   история,   электротехника,   информатика, психология, биология, астрономия .        Средства обучения: персональный компьютер, мультимедийный проектор, карточки с заданиями.     Литература:  основная: Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа 10­ 11;­М.:Просвещение,2016,­464с.;   дополнительная:   Валуце   И.И.,   Дилигул   Г.Д.   Математика   для   техникумов­М.: Наука,1980,497с.; 4 Симонов   А.Я.   Система   тренировочных   задач   и   упражнений   по математике­М.:Просвещение,1991­208с.;  Энциклопедический словарь юного математика. План урока 1. Организационная часть 2. Блюдо1 – Угадай  ингредиент 3. Блюдо 2 – Основа всего 4. Блюдо 3 – На скорую руку 5. Блюдо 4 –Изюминка 6. Блюдо 5 – НМО (неопознанный математический объект) 7. Блюдо 6 – Запутанное 8. Блюдо 7 – Аппетитное 9. Блюдо 8 – Знаковое 10. Блюдо 9 ­ Легкое 11. Блюдо 10 – Создай шедевр 12. Заключительная часть урока Парты   в   классе   сгруппированы   таким   образом,   чтобы   команды сидели   отдельно   друг   от   друга.   Командам   предлагается   посетить ресторан   «Любители   знаний»   и   побороться   за   звание   главного помощника   шеф­повара.   В   течении   урока   каждой   команде   будут предлагаться различные задания , за каждое правильно выполненное задание   команда   получает   баллы   и   в   конце   урока   определяется команда – победитель. Ход урока 1.Организационная часть Дорогие ребята! Все течет, все изменяется в окружающем нас мире, как заметили еще древние. Вращается вокруг своей оси земной шар , и день   сменяет   ночь,   Земля   вершит   свой   вечный   бег   вокруг   Солнца, Солнце   со   всеми   планетами   вечно   летит   в   космические   дали… Кажется, при чем тут математика.Но, как образно заметил великий Г. Галилей   (1564­1642)   «Книга   природы   написана   на   математическом языке и ее буквы – математические знаки и геометрические фигуры , без  них  невозможно  понять  ее  слова  ,без  них  тщетно  блуждание  в бесконечном лабиринте .А именно функция является тем средством 5 математического   языка   ,   которое   позволяет   описывать   процессы движения , изменения ,присущие природе » Ребята, какие виды функций вы знаете? А сегодня мы проведем урок­обобщение на тему «Показательная и логарифмическая функции». Преподаватель объявляет тему и цель урока, представляет команды.      На экране проектора, тема урока и эпиграф к уроку (слайд 1)   «Давайте   познакомимся.   Я   –   шеф­повар   ресторана   «Любители знаний» и моей целью является найти себе достойных помощников, которые сегодня в тяжелой борьбе завоюют это звание. Как знатные кулинары соревноваться мы будем в приготовлении математических блюд, хотя исходных ингредиентов у нас не много, всего два – степени и   логарифмы,   но   сколько   вкусных   блюд   мы   сегодня   из   них приготовим.   Давайте   не   будем   откладывать   и   познакомимся   с претендентами   на   звание   лучшего   помощника   шеф­повара математики. Итак, начинаем…» Далее   презентации   практически   каждый   этап   сопровождается   слайдом Блюдо 1 – Угадай ингредиент Для   разминки   каждой   команде   предлагается   салат­кроссворд   из основных   ингредиентов,   вам   необходимо,   как   можно   быстрее выяснить     что   это   за   слова­ингредиенты   математического   салата, команда   угадавшая   первой   получает     3   балла,   второй   ­   2   балла, третьей ­ 1 балл . По горизонтали: 1.Есть у  любого слова, у растения и может быть у уравнения По вертикали: 2.Название функции, любой из графиков которой пройдет через точку с координатами (0;1)) 3.Как называется показатель степени, в которую нужно возвести число а чтобы получить число b  4.Как называется операция нахождения логарифма числа 5.Запись lg b означает, что это логарифм по основанию … 6.Логарифм ln b называется … логарифм . 6 Блюдо 2 ­ Основа всего Вспомним свойства степеней и логарифмов. Система оценивания как в предыдущем конкурсе. Дополнительный балл за каждое свойство, не записанное на карточках.  Основные свойства: an∙am=¿   an+m                     an∙m                      (b∙c)=¿ loga¿   (a∙b)n=¿   an∙bn                    b c=¿ loga¿   logab+logac                   bm=¿ loga¿   m∙logab         Дополнительные свойства: an am=¿   an−m                      (an)m=¿ (a b)n =¿   an bn logab−logac 7 1. ax>0,приx∈R,a>0   2. Еслиa>1,x1ax2 4. Еслиa>0,a≠1,ax1=ax2,тоx1=x2     1 an=a−n   5. n 6. m√an=a m   7. alogab=b   logaa=1 8. loga1=0 9.  logab= 10.  logcb logca Блюдо 3 – На скорую руку Командам по очереди предлагается решить простейшее показательное или  логарифмическое уравнение, за каждое верно решенное уравнение 1   балл.   Если   команда   не   отвечает,   то   балл   получает   ответившая команда. 8 Блюдо 4 – Изюминка Назовите , пожалуйста , фамилию математика, открывшего всему миру логарифмы (Джон Непер ). Следующий слайд знакомит нас с изобретателем логарифмов Джоном Непером 9 теологию, НЕПЕР (Нейпир) (Napier) Джон   шотландский (1550­1617), изобретатель математик,     логарифмов. Потомок старинного воинственного шотландского   рода.   Изучал логику,   право, физику,   математику,   этику. Увлекался алхимией   и Изобрел астрологией. несколько полезных сельскохозяйственных   орудий. В 1590­х годах пришел к идее логарифмических вычислений и составил   первые   таблицы логарифмов,   однако   свой знаменитый  труд   "Описание удивительных таблиц логарифмов" опубликовал лишь в   1614   году.   В   конце   1620­х годов была изобретена логарифмическая линейка, счетный инструмент, использующий таблицы Непера для упрощения вычислений. С помощью логарифмической   линейки   операции   над   числами   заменяются операциями над логарифмами этих чисел. В 1617 году, незадолго до своей   смерти,  Непер  изобрел   математический   набор,   призванный облегчить арифметические  вычисления. Набор состоял из брусков с нанесенными на них цифрами от 0 до 9 и кратными им числами. Для умножения какого­либо числа бруски располагали рядом так, чтобы цифры на торцах составляли это число. Ответ можно было увидеть на боковых   сторонах   брусков.   Помимо   умножения,   палочки  Непера позволяли выполнять деление и извлечение квадратного корня. Далее студент одной из команд делает краткий доклад на тему        « Логарифмическая линейка ».   А теперь решите показательные неравенства и   вы узнаете фамилию английского математика,который , развивая идеи Непера, опубликовал первые таблицы десятичных логарифмов. 10 За каждым ответом зашифрована  буква, порядковый номер  1¿3x>9         2¿( 1 2)x > 1 8           3¿4x< 1 5¿( 1 < 1 27         3)x−1 2           4¿5x≥125           x>4 С    X<3 X ¿3 Р О X>2 Б X<1 X<­1/2 X<4 Л Й И X≥3 Г 1 Б 2 Р 3 И 4 Г 5 С Профессор математики в  Грешем Колледже (Лондон), затем в  Оксфорде. Развивая идеи Джона Непера, составил и опубликовал  первые таблицы десятичных логарифмов: 1617 — 8­значные, 1624 —  14­значные. За этот труд в Англии одно время даже называли  десятичные логарифмы бриггсовыми. В 1633 году также издал таблицы десятичных логарифмов тригонометрических функций. Блюдо 5 – НМО Угадайте неопознанный   математический объект. Вам предлагается 5 характеристик     этого   объекта.   Если   вы   угадывается   с   первой подсказки, то получаете 5 баллов, со второй  ­ 4 балла и так далее 1. Она не такая как все, она не принадлежит множеству рациональных чисел 2. Она дружит с логарифмом, но дружба эта странная: если она встает с ним рядом, то его запись  сокращается с трех букв до двух 3. С латинского ее название переводится как показывающий 11 4. Она приближенно равна 2.71 5. Она записывается буквой е Блюдо 6 – Запутанное Какие графики функций изображены на чертежах. Подпишите график каждой из представленных здесь функций. Блюдо 7 – Аппетитное Каждой   команде   предлагается   13   вопросов   и   дается   одна   минута времени.   Если   команда   справляется   с   заданием,   то   она   получает   5 12 баллов. Если за минуту она отвечает на  10­12 вопросов ­ 4 балла,  7­9 вопросов ­  3 балла,      4­6 вопросов ­  2 балла,     1­3 вопроса – 1 балл  Вопросы команде №1 1. Чему равно 52? 2. Функция  y=2x  возрастающая или убывающая? 3. Что такое логарифм? 4. Чему равна нулевая степень произвольного числа? 5. Какое   множество   является   областью   определения логарифмической функции? 6. Чему равно  36 1 2  ? 7. Продолжите фразу «При умножении двух чисел с одинаковыми основания  показатели степени…» 8. Чему равен  log3 1 9  ? 9. Какое множество является областью определения показательной функции? 10. Чему равна сумма двух логарифмов ? 11. Чему равен   log9999  ? 12. Функция  y=log1 2 x   возрастающая или убывающая? 13. Что больше 33 или 33.5 ? Вопросы команде №2 1. Чему равно 72? 2. Функция  y=( 2 5)x 3. Что такое логарифмирование? 4. Чему равна первая степень произвольного числа? 5. Какое  возрастающая или убывающая?   множество   является   множеством   логарифмической функции? значений 13 6. Чему равно  49 1 2  ? 7. Продолжите   фразу   «При   делении   двух   чисел   с   одинаковыми основания  показатели степени…» 8. Чему равен  log3 1 27  ? 9. Какое множество является множеством значений показательной функции? 10. Чему равна разность двух логарифмов ? 11. Чему равен   12. Функция  y=log7x   возрастающая или убывающая? 13. Что больше 84 или 83.5 ? log5353  ? Вопросы команде №3  возрастающая или убывающая? 1. Чему равно 42? 2. Функция  y=(4.1)x 3. Что такое десятичный логарифм? 4. Как иначе можно записать  √х  ? 5. Какое   множество   является   областью   определения логарифмической функции? 6. Чему равно  144 1 2  ? 7. Продолжите   фразу   «При   возведении   степени   в   степень показатели степени…» 8. Чему равен  4 log1 2  ? 9. Какое множество является множеством значений показательной функции? 10. Может   ли   основание   логарифмической   функции   принимать отрицательные     значения ? 11. Чему равен   log441  ? 14 12. Функция  y=log7 8 x 13. Чему равно число    возрастающая или убывающая?  ?π Вопросы команде №4 1. Чему равно 70? 2. Функция  y=( 3 5)x 3. Что такое натуральный логарифм?  возрастающая или убывающая? 4. Как иначе можно записать  1 xn  ? 5. Какое   множество   является   множеством   значений логарифмической функции? 6. Чему равно  81 1 2  ? 7. Продолжите фразу «При возведении в степень произведения двух или более чисел необходимо…» 8. Чему равен  8 log1 2  ? 9. Какое множество является областью определения показательной функции? 10. Может   ли   подлогарифмическая   функции   принимать     значения равные нулю? 11. Чему равен   12. Функция  y=log23x   возрастающая или убывающая? 13. Решить неравенство  2x>25 log761  ? Вопросы команде №    5  ( при наличии ) 1. Чему равно 82? 2. Функция  y=(12)x 3. Какой вид имеет логарифмическая функция? 4. Как иначе можно записать  n√xm  ?  возрастающая или убывающая? 15 5. Какое   множество   является   областью   определения логарифмической функции? 6. Чему равно  100 1 2  ? 7. Продолжите фразу «При возведении в степень дроби  необходимо …» 8. Чему равен  27 log1 3  ? 9. Какое   множество   является   множество   значений   показательной функции? 10. Положительным или отрицательным является число ax, если а>0, х – произвольное действительное число ? 11. Чему равен   log271  ? y=log23 46 x 12. Функция  13. Решить неравенство  3x>37   возрастающая или убывающая? Блюдо 8 – Знаковое Вам зачитываются утверждения, если вы считаете, что оно верное, то ставим  знак «+», если вы считаете, что оно неверное, то ставим знак «­».Знаки ставим в строчку через запятую. 1. Логарифмическая функция  y=logax  определена при любом х. 2. Любое число в нулевой степени равно 1. 3. Логарифмическая функция – четная. 4. Первая степень любого числа равна 1. 5. График любой логарифмической функции проходит через точку (0,0). 6. Показательная функция  y=ax  является возрастающей при а>1. 7. График   логарифмической   функции   находится   в   первой   и четвертой координатных четвертях. 8. Существует логарифм отрицательного числа. 16 9. При   возведении   степени   в   степень   показатели   степени перемножаются. 10. График   показательной   функции   симметричен   относительно   оси ОХ. 11. Логарифмическая функция  y=logax  определена при х>0. 12. График любой показательной функции  проходит через точку (0,1) 13. Областью   определения   показательной   функции   является множество действительных чисел. 14. Множеством   значений   логарифмической   функции   является множество положительных чисел 15. Существует логарифм дробного положительного числа. Блюдо 9 – Легкое Вам   предлагается   поиграть   в   морской   бой   следующим   образом: предлагаются две таблицы размером 4 на 4, в одной таблице записаны степени   и   логарифмы,   в   другую,   пустую,   вы   должны   на соответствующее место вписать значение этой степени или логарифма. Побеждает команда первой правильно выполнившая задание  53 7−2 4 log1 2 1 3 27 log24 log5√5 9−1 log51 ( 1 3)−2 1 2 64 log981 43 log33 1 8 log2 ( 1 2)−3 log3 1 9      Итак, ребята , мы повторили основные моменты нашей темы. 17 Но   вы   можете   сказать   «   А   зачем   нам   это   нужно   ?Подумаешь логарифмы   ,   подумаешь   показатели   !   Где   нам   это   в   жизни пригодиться   ?»Могу   с   полной   уверенностью   сказать,   что   сфер применения   показательной   и   логарифмической   функций   огромное количество   и   убедить   вас   в   этом   помогут   студенты   ,   которые подготовили нам сообщения(далее выступают 3 студента докладами по 3­5 минут). Блюдо 10 – Создай шедевр Команда победитель выбрана, теперь каждому из Вас   предлагается принять участие   в индивидуальном зачете и     побороться за звание главного   заместителя   шеф – повара.   Вам   предлагается прорешать логарифмические  уравнения и неравенства  1. log2(x−1)=6 log3x=log31.5+log38 2. 3. lg(3x2+12x+19)−lg(3x+4)=1 4. log3(x2+2x)>1 log1 5 (x2−5x+7)<0 5. 1. log5x¿2 log3(x2−4x−5)=log3(7−3x) 2. 3. lg(x−9)+lg(2x−1)=2 4. lg(12x+6)¿1 log2(x2+2x)<3 5. 1. log4x=2 log3(x+1)+log3(x+3)=1 2. 3. lg(x2+2x−7)−lg(x−1)=0 Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 18 log3(x2+2x)>2 log1 8 (x2−5x+7)<0 log9x=−1 2 log7x=log712−log73 log5(x+1)+log5(2x+3)=1 log2(3x−4)>2 log3(x2+2x)>1 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. log1 2 1. (2x−4)=−2 log4(2−x)=log43 2. 3. lg(3x−2)<2 (x2+8)−log5(x+1)=¿3log52 log5¿ log4(x2+2x)>1 4. 5. log2(1−3x)=3 log3x=log35+log34 log7(x−1)log7x=log7x log4(3x−8)>2 log2 3 (x2−2.5x)<−1 1. 2. 3. 4. 5. log1 3 1. (x2−3x+1)=0 log3(5x+3)=log3(7x+5) 2. 3. lg(x−1)−lg(2x−11)=lg2 log1 3 4. (x−1)≥−2 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 19 5. lg(3x−4)0 log8(x2−4x+3)<1 Вариант 9 1. 2. 3. 4. 5. 1. 5. 1. 5. 1. (3x−2) xlog1 3 log5(x2−4x)=log5(3−2x) (3x−2)=log1 log1 3 3 2. 3. lg(x−1)−lg(2x−11)=lg2 4. log2(x−4)<1 log2 3 (2−5x)<−2 log8x+log8(x+2)=1 log1 2 (2x−3)=−2 2. 3. lg(5x+7)=lg(3x−4) 4. log2(x−7)>4 log1 2 (x2−5x−6)≥−3 log6−xx=2 log4(2x−5)= log4(6x−10) 2. 3. lg(12x−1)<1 4. log2(x+√5)+log2(x−√5)=0 (12−x)≥2 log1 3 (x−2)+log1 3 5. Вариант 10 Вариант 11 20 log√2x=4 log7(x−5)= log7(6−3x) log2(x−5)+log2(x+2)=3 log4(3x−2)<3 log√6(x−4)+log√6(x+1)≤2 log5x=7 log1 2 3x= log0.5(x−3) log7(x+2)−log7(x−3)=0 log2(x−5)≤2 log3(5−4x)≤log3(x−1) log√3x=2 log0.3(3x−2)= log0.3(2−7x) log12(x−5)+log12(x+4)=0 log3(7−x)>1 log1 5 (2x+5)≥log1 5 (x+1) log√5(x−1)=2 log0.7(12x−5)= log0.7(5−10x) log3(x−2)−log3(x+7)=0 log3(x+1)<−2 log15(x−7)+log15(x−5)<1 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5. Вариант 12 Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15 Вариант 16 21 log√7(x−3)=2 log0.5(x−12)=log0.513 log2(x−3)−log2(x−7) =0 log3(2x−7)>1 log8(x2−4x+3)<1 1. 2. 3. 4. 5. 1. log3(x2−7x+2)=2 log2(x−3)= log2(x−7) 2. 3. lg(x−5)>lg(12−7x) 4. 5. lgx>2−lg4 log3(x−3)+log3(2x−4)=0 1. log4(x2−6x+2)=2 log12(x2−2)=log1214 2. 3. lg(3x−4)>1 4. log4(x−3)−log4(2x−7)=0 log2 3 (x2−2.5x)<−1 5. 1. 5. 1. log8(x−5)=2 log10(x−2)=log10(x2+6) 2. 3. lg(7x−2)1 Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 20 22 Вариант 21 log6(x2−3x+2)≥1 5. 1. log2(1−3x)=3 log7(3x+4)=log7(5x+8) 2. 3. lg(x−1)−lg(2x−11)=lg2 4. log7(x−3)>log7(2x−6) log1 2 (x2−5x−6)≥−3 5. log1 3 1. (x2−3x+1)=0 Вариант 22 log3xlog3(3x−2)=log3(3x−2) 2. 3. lg(3x−1)−lg(x+5)=lg5 log7(3x−9)>log7(5x+12) 4. log1 4 (x2−5x+7)<0 5. Вариант 23 log7(2x2−7x+6)−log7(x−2)=log7x 1. lg(x+1)=2 2. 3. lgx>2−lg4 4. log3(x−12)=log3(2x−24) log3(x+1)<−2 5. 1. 2. 3. 4. 5. Вариант 24 log3x=2 log3(x−5)= log3(2−x) log7(x−8)−log7(2x−5)=0 log3(x−2)>2 log7(x−3)0 4. 5. lg(12x−5)>lg4x log3(x−7)−log3(2x−10)=0 1. log√7(x−12)=2 log7(x−1)log7x=log7x 2. 3. lg(x−3)>0 4. log3(x−2)+log3(x+6)=2 log6(x2−3x+2)≥1 5. log1 2 (2x−3)=−2 1. 2. lg(x+√3)+lg(x−√3)=0 3. lg(2x−7)<1 4. log8x+log8(x−2)=1 log1 2 (2x+3)>log 1 2 (x+1) 5. 1. 2. 3. 4. 5. 1. log√2x=4 log5(x−3)= log5(2x−19) log3(3x−1)−log3(x+5)=log35 log4(2x−1)≤log4(3x+2) log1 2 (2x+1)>−2 log17(x−5)=2 log11(x−7)=log11(2x−13) 2. 3. lg(x2+2x+2)<1 4. log8(x2−16)−log8(x−4)=0 Вариант 26 Вариант 27 Вариант 28 Вариант 29 24 log1 2 5. (3−5x)<−3 log1 3 1. (x2−3x+1)=0 Вариант 30 log4(x−5)=log4(2x−7) 2. 3. lg(x−1)−lg(2x−11)=lg2 4. 5. lg(3x−4)2 Вариант 31 Вариант 32 1. log2(x2−3x)=4 log4(x−5)=log4(2x−11) 2. 3. lgx>lg8+1 4. log3(x2−x)−log3x=log33 log1 (12−x)≥2 3 (x−2)+log1 3 5. 1. 2. 3. 4. 5. log4x=2 log3(x−5)= log3(2−x) log2(x−5)+log2(x+2)=3 log5(x−3)<1 log7(x2+2)≥log7(x−4) Заключительная часть В   конце   урока   преподаватель   подводит   итог,   оглашает   команду победителя,  коротко   обобщает   и  систематизирует   знания   по  данной теме. 25