Методическая разработка урока "Решение тригонометрических уравнений"

ПЛАН­КОНСПЕКТ УРОКА Предмет: математика Дата проведения: _____________ Тема занятия: Решение тригонометрических уравнений  Цели урока: 1. Образовательные ­ обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Coздать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений. 2. Развивающие  ­   способствовать   формированию   умений   применять   приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти. 3. Воспитательные  ­   содействовать   воспитанию   интереса   к   математике   и   ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, обшей культуры. Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний. Методы обучения: частично­поисковый (эвристический). Тестовая проверка уровня знаний,   работа   по   опорным   схемам,   работа   по   обобщающей   схеме,   решение познавательных   обобщающих   задач, взаимопроверка.   системные   обобщения,   самопроверка, Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная. Оборудование и источники информации: экран; слайды №1 ­ №5, системно­ обобщающая схема; динамичные блоки тригонометрических  уравнений; шкала оценок; цветные мелки; указка. У учащихся на партах листы учета знаний, системно­обобщающая схема, по четыре чистых подписанных листочка и копирка. План     урока: 1. Оргмомент ­ 2 мин. 2. Тест через копирку (с самопроверкой) ­ 7 мин. 3. Два сообщения по 3 мин каждое. 4. Систематизация теоретического материала: четыре подраздела по 2, 4, 7 и 3 мин соответственно. 5. Дифференцированная самостоятельная работа через копирку (с самопроверкой) ­ 10 мин. 6. Проверка самостоятельной работы ­ 2 мин. 1 7. Итог урока ­ 2 мин. 2 1. Организационный момент Французский писатель Анатоль Франс (1844­1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело... Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом а. Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны»   внимательны,   будем   поглощать   знания   с   большим   желанием,   ведь   они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни. Сегодня   у   нас   заключительный   урок   по   теме   «Решение  тригонометрических уравнений».   Повторяем,   обобщаем,  приводим   в   систему   изученные   виды,   типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Перед   вами   стоит   задача   ­   показать   свои   знания   и  умения   по   решению тригонометрических уравнений. Задание на дом: 1) §§ 37­49, повторить теорию; 2) принести домашние зачетные работы. (Задания были вывешены на стенде «В помощь учащимся» на первом уроке изучения темы. Они состоят из обязательной и   дополнительной   части,   для   желающих   вывешены   трехуровневые   конкурсные задания). 2. Тест через копирку (с самопроверкой) Тема: «Решение простейших тригонометрических уравнений». Цель:  контроль   (самоконтроль)   знаний   и   приведение   в  систему   знаний   по простейшим тригонометрическим уравнениям. Работа проводится в двух вариантах. Вопросы читаются в размеренном темпе, дважды повторяя каждый вопрос, указывая на тот листок с номером, под которым находится правильный ответ. ВАРИАНТ 1 1. Каково будет решение уравнения cos x = а при  |а|   > 1? 1. При каком значении а уравнение cos х = а имеет решение? 2. Какой формулой выражается это решение? 2. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения соs х = а? 3 3. В каком промежутке находится аrсcos а? 4. В каком промежутке находится значение а? 5. Каким будет решение уравнения cos х = 1? 6. Каким будет решение уравнения cos х = — 1? 7. Каким будет решение уравнения соs х = 0? 10.Чему равняется агссоs (­ а)? 11.В каком промежутке находится агсtg а? 12.Какой формулой выражается решение уравнения tg х = о? 13. Чему равняется arctg (— а)? ВАРИАНТ 2 1. Каково будет решение уравнения sin х = а при  |a | > 1? 2. При каком значении а уравнение sin х = а имеет решение? 3. Какой формулой выражается это решение? 4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin х = а? 5. В каком промежутке находится аrcsin а? 6. В каком промежутке находится значение а? 7. Каким будет решение уравнения sin х = 1? 8. Каким будет решение уравнения sin х = ­ 1? 9. Каким будет решение уравнения sin х = 0? 10.Чему равняется аrcsin (­ а)? 11.В каком промежутке находится аrcctg а? 12.Какой формулой выражается решение уравнения ctg х = а? 13. Чему равняется агсctg (­ а)? Тест окончен (собираются листочки с работой и открываются правильные  ответы). Учащиеся   отмечают   на   оставшихся   листах   неправильные   шаги   и   количество правильных шагов Р, заносят в лист учета знаний. №№ Вариант 1 Вариант 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Нет решения |а| ≤ 1 х = ± агсcos а + 2πп,  n  Z На оси Ох [0; ]π [­ 1; 1] х = 2πn, п  Z х = + 2π πn, n  Z    Znn x ,  – π агссоs а  2 х = arctg а + π п, п  Z      2 2 ;    ­ arctg a Нет решения |а|≤ 1 x = (­ 1)к агсsin а + 2лk, k  Z На  оси  Oy   ;    2 2 [­ 1; 1]  Znn ,2  x    2    2  ,  x x  Znn ,2  Znn  ­ аrcsin а (0; )π х = агсctg а + πn, п  Z π – arcctg a 3. Сообщения 1. 2.  Доклад об истории развития тригонометрии (выступает подготовленный ученик).   О   прикладной   направленности   изучаемой   темы   расскажет   учащийся,   который подготовил одну физическую задачу. Цель  : содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям. 4. Систематизация теоретического материала 4.1.   Устные   задания   на   определения   вида   простейших  тригонометрических уравнений. (Работа со слайдами 1, 2). Цель: обобщение знаний по видам простейших тригонометрических уравнений. Ребята,   здесь   вы   видите   схемы   решений   тригонометрических   уравнений.   Как   вы думаете,   какая   из   схем   этой  группы   является   лишней?   Что   объединяет   остальные схемы? (Отвечающие учащиеся правильные шаги Р заносят в лист учета знаний.) 5 Ответы Слайд 1. 3­я схема ­ лишняя, так как эта схема изображает   решение   уравнения вида sin х = а; I, 2, 4­6 ­cos х = а. Слайд 2. 4­я схема ­ лишняя, так как эта схема изображает решение уравнения вида ctg х = а; 1­3, 5,         6 ­   tg х = а. 4.2. Учебная серия «Классификация тригонометрических уравнений». Цель  : привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений. На   доске   написаны   уравнения   данной   серии   и   повешена   системно­обобщающая таблица.   У   каждого   учащегося  имеется   такая   же   схема.   Определяя   тип   и   методы решения уравнений, учащиеся заполняют свою схему. Открываются правильные ответы, учащиеся меняются схемами, проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество верных шагов Р заносят в лист учета знаний соседа. 1) Зsin2 х ­ sin х cos х ­ 2cos2 х = 0. 6 2) cos2 х ­ 9cos х + 8 = 0. 3) sin 6x ­ cos Зх = 0. 4) 2cos2 х + Зsin х = 0. 5) 2sin х cos х = cos 2х – 2sin2 х. 6) 2cos2 х – 11sin  +5 = 0.     2  х    7) tg x + 3ctg x = 4 8) соs 2х + cos (  ­ π х) = 0. cos х + sin х = 1. 9) 3 10) 3 cos x + sin x = 5. 11) cos х + sin= 2 3 12) 4cos х + sin x. 13)sin x + cos x =1 7 4.3. Динамичные блоки уравнений (на магнитной доске) на сравнение, обобщение и выделение главного, раскрытие идей решения некоторых уравнений, предупреждение возможной   ошибки,   выделение   общего   алгоритма  решения   тригонометрических уравнений, приводимых к  квадратным (отвечающие учащиеся правильные шаги Р заносят в лист учета знаний). 1. Вопрос. О чем идет речь? 8 Ответ:  1, 2, 4 ­ простейшие тригонометрические уравнения, решаются по известным формулам; 3 ­ простейшее тригонометрическое уравнение с параметром. Решение имеет только при а = 0. 2. Вопрос. О чем говорит этот блок уравнений? Ответ: 1, 3, 4 ­ одноименные тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним  решаются методом подстановки; 2 ­ уравнение однородное, но заменив 1 в правой части  на sin2 х + cos2 х и разделив обе части уравнения на соs2 х (или на sin2 х), получим  одноименное тригонометрическое уравнение. 3. Вопрос. Чтобы это означало? Ответ: 1 ­ однородное уравнение I степени решается методом деления на cos х (sin х); 2 ­ однородное уравнение второй степени решается методом деления на cos2 x  (sin2  x или  sin  x  cos  x); 3 ­ нельзя делить на cos2  х, это приведет к потере корней. Можно делить на sin2 х или разложить на множители. 9 4. Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения. Ответ. 1,3­ уравнения, решающиеся методом разложения на множители. 2 ­ уравнение лишнее. Это уравнение содержит обратную тригонометрическую функцию. Так   как     и  sin  (arcsin  a)=a,   получаем   уравнение    6      2 2 ; x 1 sin   т.е.  6 , x  1 1 2 , x  . 1 2 Ответ. 2, 3 ­ уравнения, решающиеся методом введения вспомогательного аргумента. 1 ­ уравнение лишнее. Это уравнение решается оценкой значений левой и правой части. Так как наибольшее значение левой части равно 6 и 6 ≠ 7, это уравнение корней не имеет. Вопрос. А если правая часть равна 6? Ответ. Решение сводится к решению системы уравнений  x  ,1  1     3cos x 2 sin 5.Назовите главный ключевой блок уравнений. Ответ.  Блок простейших тригонометрических уравнений ­ главный, так как решение всех остальных уравнений сводится к решению простейших. 6.Снимаю   блоки   уравнений,   решающиеся   разложением   на   множители   и   методом 10 введения вспомогательного угла, и прошу их назвать. 7. Снимая уравнение sin х + cos х, спрашиваю тип и метод решения. 1. 2sin2 2х + 5sin 2х ­ 3 = 0 2. 6sin2 х + 4sin х cos х = 1 3. 3tgx + 5ctg x = 8 4. 2sin2  +5cos +1 = 0 x 3 x 3 5. sinx + cosx = 0 6. sin2 x – 5sinxcosx + cos2 x = 0 7. 3sinxcosx ­ cos2 x = 0 8. Вопрос. Нельзя ли оставшиеся уравнения объединить в один блок? Ответ.  Можно,   получается   блок   тригонометрических   уравнений,   приводимых   к квадратным. Показывая уравнение 2sin2 2х + 5sin 2х ­ 3 = 0, спрашиваю алгоритм решения. Прошу выделить общий алгоритм решения для остальных уравнений. Ответ: 1. Сведение к одноименному уравнению. 2. Замена переменной. 3. Решение квадратного уравнения. 4.Решение простейших тригонометрических уравнений. 4.4. Тестовые задания на нахождение идей решения уравнений (работа со слайдами 3, 4). (Отвечающие учащиеся правильные шаги Р заносят в лист учета знаний.) Цель: расширение математического кругозора (последнее задание олимпиадное). Слайд   3.  При   решении   уравнений   1.1­1.4   выберите   из   приемов   2.1­2.4 соответствующий и укажите нужную формулу или замену 3.1­3.4. 1.1. 1.2. tg x + ctgx + tg2x  + ctg2x=6,75.          cos 2х cos 7х = cos 5x cos 4х. 1.3. 1.4. sin2х+ sin22x + sin23x+ sin24x =2 sin7x+sinx=cos3x. 11 2.1. Замена переменной. 2.2. Преобразование суммы в произведение. 2.3. Преобразование произведения в сумму, 2.4. Понижение степени. 3.1. sin  sin   sin2   cos  2  2 3.2. 3.2. 3.3.  2sin2х = 1 ­ cos2х.  tgx+ctgx = 1.  2cosαcos  = cos ( β α +  β  ) + cos ( α­ ).β Ответы: 1.1  1.2  1.3  1.4  2..3  2.1  2.4  2.2  3.4  3.3  3.2  3.1  Слайд 4.  На   изображенных   на   схемах   множествах   точек   выберите   те,  координаты каждого из которых удовлетворяют заданному условию. 1. cos8x + sin8x=1 2. cos8x + sin7x=1 3. cos7x + sin7x = ­1 4. cos8x + sin7x = ­ 1 5. cos7x + sin8x = 1 6. cos7x + sin7x = 1 Ответы: 12 Схема  Уравнение  1  2  3  4  5  6  2  5  1  6  3  4  Вопрос.  Показывая   уравнение   cos1998x  +  sin1999x=1  прошу   найти   соответствующую схему и спрашиваю, сколько таких уравнений можно составить. Ответ. Схема 1. Таких уравнений можно составить бесконечно много. Шкала оценок: «5» ­ правильных шагов Р > 28; «4» ­27­25; «3» ­ 24­20; «2» ­ верных шагов Р < 19. По шкале оценок каждый учащийся ставит себе предварительную оценку в лист знаний. После проверки самостоятельной работы итоговую оценку ставлю сама. 5. Дифференцированная самостоятельная работа через копирку (с самопроверкой) На доске записано задание на трех уровнях. Учащиеся работают на листочках через копирку; каждый выполняет задание того уровня, который он выбрал (за одной партой сидят учащиеся из разных групп). Группа А Группа Б 1. 2cos2 х + Зsin х = 0.      1. 2sin2 х + cos 2х = sin 2х. 2. sin 2х + sin х =0.   2. sin 7х + cos 4х = sin х. Группа В 1. cos 2х cos х = cos Зх. cos х + sin х = 2. 2. 3 Дополнительно: cos2 х + cos2 2х + cos2 Зх + cos2 4х = 2. 6. Проверка самостоятельной работы Учащиеся в лист учета  знаний вкладывают обобщающую схему,  а также  один экземпляр самостоятельной работы и сдают на проверку. 13 Самопроверка ­ учащиеся сами проверяют свои работы по готовым решениям на слайде 5. 7. Итоги урока 1.Вот уже несколько уроков мы решаем тригонометрические уравнения. Вопросы: ­ Что это за уравнения? (Тригонометрическими уравнениями называются уравнения,  содержащие переменную под знаком тригонометрических функций.) ­ Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем? 2. Дается оценка работы класса. 14