Методическая разработка урока "Теоремы сложения и умножения вероятностей"

Теоремы сложения и умножения вероятностей 1. Теоремы сложения вероятностей. Математическая формулировка теоремы   P A )  (  P A B  P B ( ) P A A 2 (  1   ... A n )  P A 1 ( )  P A 2 ( )  ....  P A n ( )  P A B    ) P A (  P B ( )  P AB ( ) P A 1 ( )  P A 2 ( )  ....  P A n (  ) 1 ) P A (  P A (  ) 1 Словесная формулировка теоремы Вероятность   суммы   двух   несовместных событий   равна   сумме   вероятностей   этих событий. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных   событий   равна   сумме вероятностей этих событий Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности   их   произведений   (совместного осуществления) Если   события   образуют   полную   систему попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице Сумма   вероятностей   противоположных событий равна единице 2. Условная вероятность.   Условной вероятностью события В при условии А понимают вероятность   события   В,   вычисленную   в   предположении,   что   событие   А   наступило. Обозначается  . P B A   или  P B ( ) ( / ) A Определение:  условная   вероятностью   события   В   при   условии   А   называется отношение         вероятности  произведения   событий   А  и  В  к  вероятности ) ( P AB ( ) p A события А при  . P A  ( ) 0 Пусть   события   А   и   В   таковы,   что   вероятность   события   В   не   изменяется   в зависимости от наступления (или не наступления) события А. Тогда событие В называется независимым от события  А, если условная вероятность события В при условии А равна ,  то вероятности события В, т.е. если     . Если же   P B A ( / )  P B  при P A ) ( ) (  0 ) P B A ( /  ) P B   ( событие В называется зависимым от события А. События   A A 1 2 , ,..., A   n  n ( 2)    называются  попарно независимыми, если независимы любые   два   из   них.   События     A A 1 2 , ,..., A   n  n ( 2)   называются  независимыми   в совокупности, если каждое из этих событий и событие, равное произведению любого числа остальных событий, независимых. 3. Теоремы умножения вероятностей. Математическая формулировка теоремы ( / P A P B A ) ( ) (   P B P A B  ) ( / ) P AB ( )  P AB ( )  P A P B ( ) (  ) Словесная формулировка теоремы Вероятность произведения двух произвольных событий   равна   произведению   вероятности одного   из   этих   событий   на   условную вероятность другого при условии, что первое произошло. Вероятность произведения двух независимых событий   равна   произведению   вероятностей этих событий. 4. Формула полной вероятности   Если событие А может произойти только с одним из событий       , образующих полную систему попарно несовместных событий, то H H , 1 2 ..... H n событие   А   можно   вычислить   по   формуле   полной   вероятности: P A ) (  P H P A H ( ) ( /  1 ) 1  P H P A H  ( ) ( / 2 ) 2  ....  P H P A H  ( ( ) / n ) n  или P H P A H ( ) ( /  i . ) i P A ) (  n   1 i 5. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез, принятые до испытания, по результатам уже произведенного испытания. P H A ) ( / i  P H P A H ( ) ( /  1 ) 1 ( /  P H P A H P H P A H ) ) i  ( /  ( ( ) 2 2 i )  ....  P H P A H  ( ( ) / n  . ) n