МЕтодическая разработка "Выпуклость графика функции"

Выпуклость  графика функции Выпуклость вниз Выпуклость вверх Определение: Непрерывная   на   отрезке [a;b] функция называется выпуклой   вниз   на   этом отрезке,   если   для   любых точек   х1  и   х2  отрезка [a;b]дуга графика функции с   концами   в   точках  MN расположена   не   выше стягивающей   ее хорды MN Непрерывная   на   отрезке [a;b] функция называется выпуклой   вниз   на   этом отрезке,   если   для   любых точек   х1  и   х2  отрезка [a;b]дуга графика функции с   концами   в   точках  MN расположена   не   ниже стягивающей   хорды MN ее Геометрический смысл  выпуклости  функции Все   точки   графика   функции лежат   выше   любой   её касательной Все   точки   графика   функции лежат   ниже     любой   её касательной Необходимое условие выпуклости графика функции: Если дифференцируемая функция выпукла вниз на отрезке [a;b] то, график этой функции на этом отрезке [a;b] лежит не ниже касательной, проведенной в любой точке графика функции с абсциссой х, удовлетворяющее условию Если дифференцируемая функция выпукла вверх на отрезке [a;b] то, график этой функции на этом отрезке [a;b] лежит не выше касательной, проведенной в любой точке графика функции с абсциссой х, удовлетворяющее условию   . x b a   . x b a Достаточное  условие выпуклости графика функции: Функция непрерывная на отрезке [a;b] и дважды дифференцируема на этом отрезке будет выпукла вниз на этом отрезке тогда и только тогда, когда ее вторая производная на этом отрезке положительна y x  ''( ) 0 0 Функция непрерывная на отрезке [a;b] и дважды дифференцируема на этом отрезке будет выпукла вверх на этом отрезке тогда и только тогда, когда ее вторая производная на этом отрезке отрицательна y x  ''( ) 0 0 Достаточное   условие   выпуклости   графика   функции (мнемоническое     правило):   капли,   падающие   на   выпуклую вниз кривую «скапливаются» на ней, т.е. (+), а падающие на выпуклую вверх кривую «скатываются», т.е (­). Правило нахождения выпуклости графика  функции алгоритм пример 1. область определения функции D (sin) 1 пример y  sin ;  x x  ;    R y '  (sin ) ' x  cos x y ''  (cos ) ' x   sin x 2.   вычисляем   производную   первого порядка данной функции 3.   вычисляем   производную   второго порядка 4. критические точки второго порядка   находим   стационарные   или y x 5.   отмечаем   стационарные   или критические точки на числовой прямой в порядке   возрастания.   Определяем   знак второй   производной   в   полученных промежутках. 6.   используя   достаточное   условие выпуклости графика функции, находим промежутки выпуклости   '' 0; sin  , n n Z  x    0 x    xстац 1    0 xстац 2     xстац 3 . . .      ; Ответ y : ( ) : х х вниз      ;0 ; y вверх ( ) : х х   0;       