Методическая разработка по дисциплине алгебра и начала анализа на тему "Выпуклость графика функции" для учащихся 10-11 классов средней школы; урок соответствует всем требованиям ФГОС; урок направлен на формирование практических умений и навыков обучающихся; рассматриваются основные методы и способы решения задач на применение свойства выпуклости графика функцииМетодическая разработка по дисциплине алгебра и начала анализа на тему "Выпуклость графика функции" для учащихся 10-11 классов средней школы; урок соответствует всем требованиям ФГОС; урок направлен на формирование практических умений и навыков обучающихся; рассматриваются основные методы и способы решения задач на применение свойства выпуклости графика функции
Выпуклость графика функции.docx
Выпуклость графика функции
Выпуклость вниз
Выпуклость вверх
Определение:
Непрерывная на отрезке
[a;b] функция называется
выпуклой вниз на этом
отрезке, если для любых
точек х1 и х2 отрезка
[a;b]дуга графика функции
с концами в точках MN
расположена не выше
стягивающей ее
хорды MN
Непрерывная на отрезке
[a;b] функция называется
выпуклой вниз на этом
отрезке, если для любых
точек х1 и х2 отрезка
[a;b]дуга графика функции
с концами в точках MN
расположена не ниже
стягивающей
хорды MN
ее
Геометрический смысл выпуклости функции
Все точки графика функции
лежат выше любой её
касательной
Все точки графика функции
лежат ниже
любой её
касательной
Необходимое условие выпуклости графика функции:
Если дифференцируемая
функция выпукла вниз на
отрезке [a;b] то, график этой
функции на этом отрезке [a;b]
лежит не ниже касательной,
проведенной в любой точке
графика функции с абсциссой х,
удовлетворяющее условию
Если дифференцируемая
функция выпукла вверх на
отрезке [a;b] то, график этой
функции на этом отрезке [a;b]
лежит не выше касательной,
проведенной в любой точке
графика функции с абсциссой х,
удовлетворяющее условию
.
x b
a
.
x b
a
Достаточное условие выпуклости графика функции:
Функция непрерывная на отрезке
[a;b]
и дважды
дифференцируема на этом
отрезке будет выпукла вниз на
этом отрезке тогда и только
тогда, когда ее вторая
производная на этом отрезке
положительна
y x
''(
) 0
0
Функция непрерывная на отрезке
[a;b]
и дважды
дифференцируема на этом
отрезке будет выпукла вверх на
этом отрезке тогда и только
тогда, когда ее вторая
производная на этом отрезке
отрицательна
y x
''(
) 0
0Достаточное условие выпуклости графика функции
(мнемоническое правило): капли, падающие на выпуклую
вниз кривую «скапливаются» на ней, т.е. (+), а падающие на
выпуклую вверх кривую «скатываются», т.е ().
Правило нахождения выпуклости графика функции
алгоритм
пример
1. область определения функции
D
(sin)
1 пример
y
sin ;
x x
;
R
y
'
(sin ) '
x
cos
x
y
''
(cos ) '
x
sin
x
2. вычисляем производную первого
порядка данной функции
3. вычисляем производную второго
порядка
4.
критические точки второго порядка
находим стационарные или
y
x
5.
отмечаем стационарные или
критические точки на числовой прямой в
порядке возрастания. Определяем знак
второй производной в полученных
промежутках.
6.
используя достаточное условие
выпуклости графика функции, находим
промежутки выпуклости
'' 0; sin
,
n n Z
x
0
x
xстац
1
0
xстац
2
xстац
3
.
.
.
;
Ответ y
:
( ) :
х
х
вниз
;0 ;
y
вверх
( ) :
х
х
0;
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с
договором-офертой сайта. Вы можете
сообщить о нарушении.
Продолжая использовать наш сайт, вы соглашаетесь с политикой использования Cookies. Это файлы в браузере, которые помогают нам сделать ваш опыт взаимодействия с сайтом удобнее.