Методические приемы при решении экономических задач

«Методические приемы  при решении экономических задач на кредиты»

Конева Г.М.

учитель математики МАОУ СОШ №37

г.Улан-Удэ

Одним из важнейших потребностей современной школы является воспитание делового человека, компетентного в сфере социально-трудовой деятельности, а также в бытовой сфере. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений. В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Элементарные экономические знания позволят понять роль и права человека в обществе, готовят учеников к адекватному восприятию общества и производства, помогают им определить для себя сферу деятельности, профессию в будущем. С этой целью в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике профильного уровня с 2015 года были включены задачи экономического содержания на кредиты. Критерии к таким задачам  предполагают составление математической модели, затем исследование этой модели для вычисления искомой величины. Если решение основано на применении окончательной формулы без ее вывода, то в этом случае можно утверждать об отсутствии построения модели задачи. Я являюсь экспертом по проверке работ ЕГЭ по математике. Многолетняя работа по проверке работ ЕГЭ по математике позволяет мне сделать вывод о том, что учащиеся при решении задачи №17  испытывают затруднения при составлении математической модели. Значит, задача учителя математики состоит в том, чтобы научить учащихся решать такие задачи с помощью поэтапного построения математической модели.

Рассмотрим  методические приемы  и примеры построения математической модели задачи №17, предлагаемой в разные годы на ЕГЭ по математике профильного уровня.

Рассмотрим основные схемы погашения кредита.

1)Дифференцированный платеж — вариант ежемесячного платежа по кредиту, когда размер ежемесячного платежа по погашению кредита постепенно уменьшается к концу периода кредитования. При дифференцированной схеме погашения кредита  ежемесячный платеж рассчитывается как сумма основного платежа и процентов, начисляемых на оставшийся размер долга. Естественно, что оставшийся размер долга уменьшается к концу срока кредитования, отсюда и получается уменьшение размера ежемесячной выплаты.

Рассмотрим общие формулы для расчета дифференцированных платежей.

Задача. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причем каждый платежный период долг сначала возрастет на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Пусть а=0,01r.

Долговые суммы:  ; , где

Выплаты: 1) + a∙; 2)  + a∙ ; 3)  + a∙ ; …….; n) + a∙.

Найдем сумму всех выплат: ∙ n + ∙((n+(n-1)+(n-2)+…+1)) = S +

Тогда величина переплаты  (обозначим: П)  и полная величина выплат (обозначим: В)  за все время выплаты кредита задаются формулами:

П = ;  В = S + П = S + = S∙ ()

Выразим из этой формулы а, для того, чтобы найти процентную ставку: a=.  

Выразим из этой формулы n и найдем  количество платежных периодов: n= -1.

Применим готовые формулы для решения задачи.

Задача. 15-го января 2015 года планируется взять кредит в банке на сумму 1.5 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение. Пусть  S- сумма кредита, где S=1.5 млн. руб.;  n=24, a=0,03.

Формула выплат: В =  S∙ ()  =  1,5 ∙ (1+  ) = 1,5∙() =1,5 ∙ = =1,5∙1,375= 2,0625 (млн. руб.)

Ответ: 2062500 млн. руб.

2) Рассмотрим аннуитетную схему погашения кредита. Аннуитетная схема выплат предполагает равномерное начисление платежей в течение всего срока погашения кредита. Первая половина платежей преимущественно состоит из начисленных процентов, при этом сама задолженность в основном выплачивается во второй половине. Рассмотрим общие формулы, связывающие сумму кредита S, коэффициент k = 1+0,01r,  где r% — процентная ставка за период, величину текущего долга Sn и постоянную выплату x:

Задача. 31 декабря 2014 года Анатолий взял в банке S рублей в кредит под   r% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего года банк начисляет r процентов на оставшуюся сумму долга. Затем Анатолий  переводит в банк сумму Х ежегодного платежа (транш). Весь долг он  должен выплатить за n лет, то есть за  n равных платежей.

    И далее в этих задачах необходимо найти одну из неизвестных величин: S, r, X или n.

В соответствии с нарисованной схемой получаем цепочку равенств- размеров оставшегося долга:

S_l = S∙k-x;

S₂ = S_l∙k-x=(Sk-x)∙k-х=Sk²-xk-x

S₃= S₂∙k-x=(Sk²-xk-x)∙k-x= Sk³-xk²-xk-x

………………

S_n= S_n-1∙k-x=S∙kⁿ-x∙k^n-1-x∙k^n-2….-xk-x=S∙kⁿ-x∙(k^n-1+ k^n-2+….+k+1)

Итак, S_n= S∙kⁿ-x∙(k^n-1+ k^n-2+….+k+1). Выражение в скобках – сумма геометрической прогрессии.   Значит, S_n = S∙kⁿ- x∙

Получаем уравнение:  S∙kⁿ- x∙ (k^n-1+ k^n-2+…+ k+1) = 0;   S∙kⁿ- x∙=0

Выразим из этого уравнения  Х - вносимый ежегодный платеж:  Х =. 

Общая сумма выплат равна:  Х∙n = n∙

Используя эту формулу, можно найти сумму кредита:    S =

Решим задачу с использованием полученных формул.

Задача.  Нахождение ежегодного транша.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 419375 рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить один платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение: Введем переменные: n = 4; S – сумма кредита, где S=419375 рублей.  X– ежегодная выплата кредита за 4 года, k=1+0, 01∙r% - коэффициент в соответствии с процентной ставкой r%.

Формулы:  Х =.  Общая сумма выплат равна:  Х∙n = n∙

Х∙n = 4∙419375 ∙ =  =  = =648000 (руб.). Ответ: 648000рублей

Заключение.

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Задачи подобного рода  носят общее название – экономические задачи. Как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества.   В своей работе я рассмотрела задачи на кредиты, которые предлагаются на ЕГЭ по математике. Пришла  к выводу, что задачи на кредиты, предложенные на ЕГЭ, делятся на 3 типа: задачи с одинаковым размером платежа и задачи, в которых n-го числа каждого месяца  долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на n-e число предыдущего месяца, а также задачи на другие типы решений.

В статье я обобщила методы решения задач с экономическим содержанием на кредиты  и предложила методические приемы составления математической модели при изучении этой темы на спецкурсах или факультативных занятиях.