Методические рекомендации по решению симметрических (возвратных) алгебраических уравнений для учащихся 10 класса
Оценка 4.8

Методические рекомендации по решению симметрических (возвратных) алгебраических уравнений для учащихся 10 класса

Оценка 4.8
Домашнее обучение +8
pdf
математика
8 кл—11 кл
04.07.2021
Методические рекомендации по решению симметрических (возвратных) алгебраических уравнений для учащихся 10 класса
Методические рекомендации по решению симметрических (возвратных) уравнений для учащихся 10 класса (повторение 8-9 класс)
Решение симметрических возвратных уравнений.pdf

Методические рекомендации по решению симметрических (возвратных) уравнений  для учащихся 10 класса (повторение 8-9 класс)

 Решение симметрических и возвратных уравнений

 

Симметрические уравнения третьей и четвертой степени имеют следующий общий (канонический) вид:

            ах+ bх2  + bх + а = 0, а ≠ 0,                (1)  ах4 + bх3 + сх2 + bх + а = 0 , а≠ 0,         (2)

В канонической записи симметрического уравнения его коэффициенты a, b и  c симметричны относительно центрального слагаемого.

Возвратное уравнение четвертой степени имеет следующий общий (канонический) вид:      ах4 + bх3 + сх2 + bkх + аk2 = 0 , а≠ 0,      (3)

При k =1, имеем симметрическое уравнение четвертой степени.

Определите вид уравнения, для возвратных уравнений поределите значение коэффициента k.

1)             3 x32x2+2x3=0         ;

2)             3 x42 x3+4 x24 x+12=0 ;

3)             2x4+3x34 x23 x+2=0 ;

4)             x4+2 x312x24 x+4=0 ;

5)             x45 x3+4 x2+5 x+1=0 ;

6)             9 x4+9 x34 x23 x+1=0           ;

7)             3 x42 x3+4 x24 x+12=0 ;

8)             x48 x3+17 x28 x+1=0 ;

9)             x45 x3+10x210 x+4=0           ;

10)         4(x3x)=(x2+1)2 ;

11)         x47 x3+12x221 x+9=0 ;

12)         6 x4+5 x338x2+5 x+6=0 ;

13)         x42 x318 x26 x+9=0 ;

14)         x43 x38 x2+12x+16=0 ;

15)         x5+3 x4x3+2 x224 x32=0

обобщенное возвратное уравнение 5 степени, k = -2:

x5+3 x4x3x2(−2)−3 x(−2)3+(−2)5=0

Примеры решения симметрических и возвратных уравнений

                  Метод или идея решения                   Примеры решений симметрических уравнений


 симметрическое уравнение 3-й степени

Идея:  Симметрические уравнения третьей степени решаем методом разложения на множители.

1.                   Установить соответствие общему(каноническому виду) симметрического уравнения третьей степени.

 

2.                   Разложим многочлен в левой части уравнения на множители: a(x3+1)+bx(x+1)=a(x+1)(x2x+1)+bx(x+1) (x+1)(ax2+(ba)x+a)

Значит исходное уравнение равносильно следующему: (x+1)(ax2+(ba)x+a)=0

[ 2       x+1=0    . ax +(ba) x+a=0

 Решая совокупность уравнений, находим корни исходного уравнения.

Замечание:         Симметрическое                             уравнение третьей (нечетной) степени всегда имеет корень x = -1.

 Первое уравнение совокупности всегда  х+1=0, а второе уравнение — возвратное уравнение четной степени.

 

1)  3 x3+4 x2+4 x+3=0

симметрическое уравнение 3-й степени.

Разложим  многочлен f (x)=3 x3+4 x2+4 x+3 на множители:

3 x3+4 x2+4 x+3=3(x3+1)+4 x(x+1)=(x+1)(3 x2+x+3)

3 x3+4 x2+4 x+3=0⇔(x+1)(3 x2+x+3)=0

[ x2 +1=0 x=−1

3 x +x+3=0

второе уравнение всовокупности не имеет корней.

Ответ: -1.


Перед рассмотрением метода решения симметрических и возвратных уравнений вспомните метод решения уравнения вида:

                                           3(x2+x12)+(x+ 1x )−414 =0

(Методические рекомендации по применению метода замены переменной при решении алгебраических уравнений) .

Решаем уравнение методом замены переменной.

Замена:     x+1x =t, x2+ x12=t22

Записать решение уравнения в тетрадь.

Ответ: {;;2;}

Метод или идея решения

Примеры решений возвратных уравнений

              ax4+bx3+сx2+bx+a=0,

 симметрическое уравнение 4-й степени

(частный случай возвратного уравнения)         ax4+bx3+сx2+bxk+ak2=0,

Идея:                  уравнения 4-ой степени (четной степени) делим на х2 (на степень                среднего                              члена)                  и группируем                   слагаемые                         с одинаковыми коээфициентами, далее решаем уравнение методом заены переменной.

1.  Установить соответствие общему

(каноническому виду) симметрического

1)           x45 x3+8 x25x+1=0

Решение:

симметрическое уравнение 4-й степени. Средний член: 8·х2.

Т.к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделив уравнение на степень среднего члена х2, имеем уравнение равносильное данному:

x25x+85+ x12=0 x

 Сгруппируем слагаемые, перепишем уравнение в виде: x2+ 125(x+1x)+8=0 x

Замена:            x+1=t , x2+ 12=t22 x  x

t25t+6=0⇔(t2)(t3)=0[t=2 t=3 Обратная замена:

уравнения 4-й степени (возвратного уравнения 4-ой степени).

 

2.  Замечаем, что х = 0 не является корнем уравнения. Разделим обе части уравнения на (степень среднего члена) х2:          ax4+bx3+сx2+bx+a=0Ответ:

          ax2+ a2+bx+bx +с=0x

 Сгруппируем слагаемые:

a(x2+ 122)+b(x+1x )+с=0 x

1 3. Выполним замену             x+ =t    . x

.

2)  2x4+3x33 x23 x+2=0

Решение:

возвратное уравнение 4-й степени, k= -1. Средний член: -3·х2.

Т.к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделив уравнение на степень среднего члена х2, имеем уравнение равносильное данному:

2x2+3x33+ x22=0 x

 Сгруппируем слагаемые, перепишем уравнение в виде:

в результате замены получим квадратное уравнение относительно переменной t:

            at2+bt+c2a=0              .                     Замена:      x

Обратная замена:

                                                                                    Ответ:    

 

Задания для самостоятельного решения:

1)             3 x32x2+2x3=0           ;

2)             3 x42 x3+4 x24 x+12=0 ;

3)             2x4+3x34 x23 x+2=0 ;

4)             x4+2 x312x24 x+4=0 ;

5)             x45 x3+4 x2+5 x+1=0 ;

6)             9 x4+9 x34 x23 x+1=0 ;

7)             3 x42 x3+4 x24 x+12=0 ;

8)             x48 x3+17 x28 x+1=0 ;

9)             x45 x3+10x210 x+4=0 ;

10)         4(x3x)=(x2+1)2 ;

11)         x47 x3+12x221 x+9=0 ;

12)         6 x4+5 x338x2+5 x+6=0 ;

13)         x42 x318 x26 x+9=0 ; 14)         x43 x38 x2+12x+16=0 ;

15)            x5+3 x4x3+2 x224 x32=0 .

   Список литературы:

1.                  Мерзляк А.Г. Алгебра: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательныхорганизаций / А.Г. Мерзляк, В.П. Поляков. - 2-е изд., стереотип. - М.: Вентана-Граф, 2019. 384с. [глава 37]

2.                  Нелин Е.П. Алгебра. 7-11 классы. Определения, свойства, методы решения задач — втаблицах. Сер. Комплексная подготовка к ЕГЭ и ГИА (ОГЭ). - 4-е изд., испр. - М.: ИЛЕКСА, 2019 — 128 с.

3.                  Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред. шк. - М.: просвещение, 1989. - 252с. [§ 2 Уравнения и системы уравнений]

4.                  Подготовка к олимпиадам и ЕГЭ по математике и физике: И.В. Яковлев [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://mathus.ru/math/alguzap.pdf  [Дата обращения 30.06.2021]

Методические рекомендации по решению симметрических (возвратных) уравнений для учащихся 10 класса (повторение 8-9 класс)

Методические рекомендации по решению симметрических (возвратных) уравнений для учащихся 10 класса (повторение 8-9 класс)

Примеры решения симметрических и возвратных уравнений

Примеры решения симметрических и возвратных уравнений

Ответ: { ; ; − 2 ; − }

Ответ: { ; ; − 2 ; − }

Ответ: Задания для самостоятельного решения: 1) 3 x 3 − 2 x 2 + 2 x − 3 = 0 ; 2) 3 x 4…

Ответ: Задания для самостоятельного решения: 1) 3 x 3 − 2 x 2 + 2 x − 3 = 0 ; 2) 3 x 4…
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
04.07.2021