МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ - Тема: Решение систем линейных уравнений приближёнными методами.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Тема:

Решение систем линейных уравнений приближёнными методами.

Цель работы:

-          применить  теоретический материал по данной теме через решение упражнений;

-          применить умения решать системы линейных уравнений методом Гаусса, методом Зейделя и простой итерации;

Оборудование:

1. Рабочая тетрадь в клетку.

2. Раздаточный материал: инструкционные карты-20шт.

3. Калькулятор простой.

Задание:

Вариант 1

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.             

Вариант 2

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.             

Порядок выполнения:

1.      Внимательно прочитать тему и цель практической работы.

2.      Изучить учебный материал по теме.

3.      Ответить на вопросы.

4.      Выполнить задания.

5.      Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

Пусть требуется решить систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

                                                                                                     (1)

Прямой ход метода Гаусса преобразует систему (1) к треугольному виду исключением соответствующих неизвестных. Пусть . Первый шаг заключается в исключении переменной  с помощью первого уравнения из остальных уравнений. Разделим первое уравнение на :

                                                                          (2)

Затем от второго уравнения отнимаем первое уравнение, умноженное на . В результате, на месте второго уравнения получим уравнение, не содержащее . Чтобы исключить  из третьего уравнения, отнимаем от него первое уравнение, умноженное на . Аналогично исключаем  из четвёртого и последующих уравнений. Для исключения  из i-го уравнения (i=2,3,…,n) применим формулы

                                                                           (3)

В результате этих вычислений получим систему вида

                                                                                                    (4)

На втором шаге исключаем переменную  с помощью второго уравнения из третьего и последующих уравнений. Предположим, что . Разделим второе уравнение на :

                                                                           (5)

В системе (3.12) с помощью второй строки исключим  из i-го уравнения (i=3,4,…,n), применяя формулы:

                                                                 (6)

Система (3.12) преобразуется к следующему виду:

                                                                                      (7)

1. В общем случае на шаге m для , делим сначала m-e уравнение на

                                                                                                                    (8)

а затем исключаем переменную  с помощью m-го уравнения из i-го, где

                                                                                                                    (9)

Здесь предполагается, что на каждом шаге выполняется условие

В результате -го шага система (1) приобретает вид

                                                                                     (10)

2. Обратный ход метода Гаусса вычисляет неизвестные  в обратном порядке. Из последнего уравнения в (10) находим

                                                                                                                      (11)

Неизвестные  определяем по следующим формулам:

                                                                              (12)

Метод Гаусса предполагает, что на m-м шаге выполняется условие . Если это условие не выполняется, то алгоритм перестает работать, так как столкнётся с делением на 0. Кроме этого, в случае выполнения условия , может возникнуть ситуация, когда ведущий элемент  близок к нулю, что также может привести к неприятностям в виде больших погрешностей.

Чтобы избежать этих трудностей, применяют метод Гаусса с выбором главного элемента. Одним из вариантов этого метода является метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам. В качестве ведущего элемента на каждом шаге выбирают наибольший по модулю элемент столбца и переставляют соответствующую строку с другой строкой так, чтобы найденный элемент стал диагональным, затем исключают соответствующую переменную. Так как при этих перестановках переменные в уравнениях остаются на своих местах, решение преобразованной системы совпадает с решением исходной системы уравнений.

Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам отличается от алгоритма (8)-(12) только тем, что перед преобразованием (8) нужно выполнить поиск максимального по модулю элемента в m-м столбце и переставить строки системы уравнений так, чтобы максимальный элемент стал диагональным элементом матрицы коэффициентов.

Алгоритм метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцам:

1. Для  выполним преобразования:

Найдём Максимальный по абсолютной величине элемент в m-м столбце. Пусть это будет элемент . Если  , то меняем местами i-ю и m-ю строки:

Элементы матрицы и вектора после преобразования на m-м шаге обозначим причем

Делим m-е уравнение на ведущий элемент : затем исключаем переменную  с помощью m-го уравнения из i-го, где

.

2. Вычисляем неизвестные  в обратном порядке:

Приведённый вариант метода Гаусса даёт решение и тогда, когда обычный метод Гаусса перестаёт работать из за деления на 0.

При реализации метода Гаусса на каком-либо языке программирования удобно использовать исходные матрицу a и вектор b для хранения промежуточных результатов преобразований. Приведённые формулы преобразований записываются как операторы присваивания, т.е. имена переменных  и  записываются без верхних индексов. Ниже приведены различные примеры программ метода Гаусса.

В методе Гаусса с выбором главного элемента по строкам на каждом шаге выбирают наибольший по модулю элемент строки и переставляют столбцы так, чтобы ведущий элемент находился на диагонали. В этом варианте в уравнениях неизвестные переменные меняются местами и в алгоритме необходимо думать о том, чтобы запомнить эти перестановки.

В общем случае метода Гаусса с выбором главного элемента на шаге m ищется максимальный по модулю элемент во всей матрице коэффициентов и производится перестановка строк и столбцов так, чтобы этот элемент стал диагональным.

Мы не будем рассматривать реализации указанных вариантов метода Гаусса. Отметим, что последний вариант с выбором главного элемента считался лучшим.

Общее число операций для решения системы уравнений методом Гаусса составляет приблизительно , при этом большая часть, т.е. , операций приходится на прямой ход.

Итерационный метод

Запишем систему уравнений в виде:

                                                              ,                                                                           (13)

где A – матрица коэффициентов; b – вектор правовых частей системы.

Преобразуем (1) к виду, удобному для интеракций:

                                                              ,                                                                     (14)

Тогда метод простой итерации определяется формулой:

                                                                                                             (15)

Где начальное приближение  задано.

В качестве критерия сходимости метода итераций обычно применяют условие

Сформулируем теоремы об условиях сходимости метода простых итераций.

Теорема 1. (достаточное условие сходимости). Если , то система (13) имеет единственное решение, а итерационный метод (15) сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии.

Теорема 2. (необходимое и достаточное условие сходимости). Пусть система (14) имеет единственное решение. Итерационный процесс (15) сходится к решению системы (14) тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы. B по модулю меньше единицы.

Теоремы 1 и 2 не дают способов преобразования произвольной системы линейных уравнений к виду (14) так, чтобы метод итераций (15) при этом сходился к решению. Эти теоремы имеют важное теоретическое значение. Отметим, что на практике для проверки условия сходимости метода итераций более полезна теорема 1, а теорему 2 удается использовать тогда, когда собственные значения матрицы B известны. Задача определения собственных значений матрицы в общем случае сложнее, чем задача решения системы линейных уравнений.

Для преобразования системы уравнений к виду, удобному для итераций, можно умножить систему (13) на матрицу - , где  – произвольная матрица. Тогда система примет вид

                                                                                                           (16)

и матрица B будет удовлетворять теореме 1, если выбрать элементы матрицы e достаточно малыми по модулю. Однако этот прием не выгоден, так как для вычисления обратной матрицы  необходимо выполнить не меньше операций, чем на решение самой системы.

При небольшом числе уравнений систему иногда удается привести к виду, удобному для итераций, с помощью нескольких преобразований.

Далее будут рассмотрены разностные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, которые приводят к решению систем линейных уравнений с большим числом известных. Учитывая специфику таких систем, часто удается построить эффективные итерационные методы решения.

Метод Зейделя

Пусть требуется решить систему уравнений

                                                                                       (17)

Выразим из первого уравнения переменную , из второго -  и т.д.:

Пусть k-e приближение к решению обозначен как  Подставим его в правую часть полученной системы и выразим следующее приближение В отличие от метода итераций, метод Зейделя можно записать в виде

                                                                        (18)

Теорема 3. (достаточные условия сходимости)

Пусть при всех i для коэффициентов системы уравнений выполняются условия

                                                                                                                      (19)

Тогда метод Зейделя сходится и выполняется неравенство

                                                                                                              (20)

Где x* - точное решение системы (5)

Если матрица А удовлетворяет условию (19), говорят, что А – матрица с диагональным преобладанием.

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

Пример 1.

Решение систем методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Пусть Ax=b, где

Вычислим масштабирующие множители 1 шага:

И выполним преобразование матрицы и вектора:

2 шаг. Вычислим масштабирующие множители 2 шага:

Второй шаг не изменяет матриц: A2=A1, b2=b1.

3 шаг. Максимальный по модулю элемент 3 столбец  Переставим 3 и 4 уравнения местами.

Вычислим масштабирующие множители 3 шага:

И выполним преобразование матрицы и вектора:

Обратный ход. Из последнего уравнения находим: . Из третьего уравнения системы находим . Из второго уравнения находим

. Неизвестное  находим из первого уравнения:

Ответ: .

Пример 2.

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом простой итерации:

Решение. Здесь модули коэффициентов 10, 5 и 4 системы значительно преобладают над остальными коэффициентами при неизвестных.

Приведем систему к нормальному виду:

В качестве нулевых приближений принимаем значения:

Подставляя эти значения в правые части системы получим первые приближения

Полученные значения опять подставляем в правые части  получаем новое приближение. Продолжая этот процесс, после седьмой итерации находим значения корней: 

Пример 3.

Методом Зейделя решить систему уравнений

Решение. Преобразуем систему к виду, удобному для итераций.

Меняем местами в системе уравнения так, чтобы наибольший по модулю коэффициент уравнения оказался диагональным

Т.к. для сходимости процесса Зейделя, модуль коэффициента, стоящего на главной диагонали, должен быть больше суммы модулей других коэффициентов. В преобразованной системе это условие выполняется.

Замечание. В тех случаях, когда это условие в исходной системе не выполняется, необходимо вместо отдельных уравнений данной системы записывать их удачные линейные комбинации, позволяющие получить нужный результат.

Приведем систему к нормальному виду с помощью следующих преобразований:

Или

Деля все уравнения системы на десять, получим систему уравнений, эквивалентную исходной и удовлетворяющую условию сходимости процесса Зейделя:

В качестве нулевых приближений принимаем значения:

Подставляя эти значения в правые части системы получим первые приближения

Полученные значения  опять подставляем в правые части получаем новое приближение. Продолжая этот процесс, после седьмой итерации находим значения корней: 

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1.  В чем заключается суть метода Гаусса?

2.  В чем суть решения линейных уравнений методом интеграции?

3.  В чем суть решения линейных уравнений методом Зейделя?

Содержание отчета:

Название практической работы.

Учебная цель.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:

- Численные методы и программирование: Учебное пособие / В.Д. Колдаев; Под ред. Л.Г. Гагариной. - М.: ИД ФОРУМ: НИЦ Инфра-М, 2016. - 336 с…

- Гателюк, О. В. Численные методы : учеб. пособие для СПО / О. В. Гателюк, Ш. К. Исмаилов, Н. В. Манюкова. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 140 с. — (Серия : Профессиональное образование)

- Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. «Численные методы в задачах и упражнениях»/ Под ред. В.А.Садовничего – М.:Высш.шк.,2016

-  Вержбицкий В.М. «Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения» - М.: Высшая школа, 2017

- Волков Е.А. «Численные методы» - СПб.: Издательство «Лань», 2015

- Исаков В.Н. «Элементы численных методов» - М.: Издательский центр «Академия», 2016.

- Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В.; Под ред. Садовничий В.А Численные методы в задачах и упражнениях: Учебное пособие /., - 4-е изд., (эл.) - М.:БИНОМ. Лаб. знаний, 2015. - 243 с.: ISBN 978-5-9963-2980-9 - Режим доступа: http://znanium.com/

- А.В. Гулин, О.С. Мажорова, В.А. Морозова Введение в численные методы в задачах и упражнениях : учеб. пособие /. — М. : ИНФРА-М, 2017. — 368 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). - Режим доступа: http://znanium.com/

- Калиткин Н.Н., Численные методы: Учебное пособие / - 2-е изд., исправленное. - СПб:БХВ-Петербург, 2015. - 587 с. ISBN 978-5-9775-2575-6 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/94450.

Скачано с www.znanio.ru