МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ - Тема: Исследование функции с помощью производной.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Тема:

Исследование функции с помощью производной.

Цель работы: 

- применить умения по владению представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей.

Оборудование:

1. Рабочая тетрадь в клетку

2. Раздаточные материалы: карточки-задания, инструкционные карты – 20 штук.

3. Калькулятор простой.

4. Ручка.

Задание:

1 Вариант                                                                                    2 Вариант

1. Исследуйте функцию на экстремум с помощью первой производной.

                                                     .

2. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых:

                                                                        .

3. Дан закон прямолинейного движения точки

(t – в секундах, s – в метрах).Найдите максимальную скорость движения этой точки.

Порядок выполнения:

1.        Внимательно прочитать тему и цель практической работы.

2.        Изучить учебный материал по теме.

3.        Ответить на вопросы.

4.        Выполнить задания.

5.        Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

Правило нахождения экстремумов функции  с помощью  производной:

1. Найти производную

2. Найти критические точки функции, в которых .

3. Разделить числовую ось на промежутки критическими точками.

4. Исследовать знак  производной в каждом интервале. Если при этом производная окажется отрицательной, то функция возрастает, положительной – убывает. Если знак меняется с плюса на минус- это точка максимума, с минуса на плюс- это точка минимума.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Направление выпуклости графика функции

Кривая  называется выпуклый вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка. Кривая  называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной, в любой точке этого промежутка.

Выпуклость вниз или вверх кривой характеризуется знаком второй производной функции : если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке;  если же , то кривая выпукла вверх  в этом промежутке.

Правило нахождения точек перегиба графика функции

1. Найти вторую производную .

2. Найти критические точки функции , в которых  образуется в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной  в промежутках, на которых найденные критические точки делят область определения функции . Если критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то она является обциссой точки перегиба графика.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

Пример 1:

Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной

.

1) Производная

.

2) Критические точки :

,     - критические точки.

3) Вторая производная

.

4) Исследовать знак второй производной в каждой критической точке:

, значит,  является точкой максимума

, значит,  является точкой минимума.

5) Вычислим значения функции в этих точках:

Ответ: ; .

2. При выполнении второго задания рассмотрите пример.

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба кривой

1)Производная

2) Вторая производная

3) Критические точки: .

- критическая точка.

4) Исследуем знак второй производной  в промежутках  и

;   

 точка перегиба

Найдём

Ответ: на промежутке  кривая выпукла вниз; на промежутке  кривая выпукла вверх; - точка перегиба.

3. При выполнении третьего задания рассмотрим пример.

Найти максимальную скорость движения точки, если закон прямолинейного движения задан уравнением  (в метрах, в секундах).

Скорость движения точки есть первая производная пути во времени:

Исследуем эту функцию на максимум и минимум с помощью второй производной:

Вторая производная отрицательна, следовательно, скорость является наибольшей при сек.

Найдём значение скорости в момент сек:

.

Ответ: .

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Правило нахождения экстремумов функции с помощью  производной.

2. Какие точки функции называются критическими?

3. Что называется экстремумом функции?

4. В каком случае кривая выпуклая вниз, и в каком случае – вверх?

5. Правила нахождения точек перегиба графика функции .

Содержание отчета:

Название практической работы.

Учебная цель.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:

1.    Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа: Учебник 10—11 классы. — М.И., 2016.

2.    Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2016.

3.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

4.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

5.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

6.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

7.    Башмаков М.И. Математика: Учебник. — М., 2016.