МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ - Тема: Решение комбинаторных задач.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Тема:

Решение комбинаторных задач.

Цель работы: 

- применить умения по решению практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики.

Оборудование:

1. Рабочая тетрадь в клетку

2. Раздаточные материалы: карточки-задания, инструкционные карты – 20 штук.

3. Калькулятор простой.

4. Ручка.

Задание:

                Вариант 1

1) Найти значение:

2) Сколькими способами для участия в конференции из 8 членов научного общества можно выбрать троих студентов?

3) Сколько различных аккордов, содержащих 5 звуков можно образовать из 12 клавиш одной октавы?

4) На плоскости отмечено 15 точек, причем никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько различных отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно?

5) На окружности отмечено 9 точек. Сколько различных треугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить

6) Найти значение:

7) Сколькими способами можно рассадить пятерых детей на пяти стульях в столовой в детском саду?

8) Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди восьми учащимися класса в течение 8 дней?

9) В классе изучают 7 предметов естественно-математического цикла. Сколькими способами можно составить расписание на четверг, если в этот день должны быть 5 уроков из пяти разных предметов этого цикла.

10) Сколько существует способов для обозначения с помощью букв А,В,С,Д,Е,F вершин данного четырехугольника?

Вариант 2                                                                                                                                                        1) Найти значение:

2) Сколькими способами для участия в конференции из 8 членов научного общества можно выбрать четырех студентов?

3) Сколько различных аккордов, содержащих 6 звуков можно образовать из 12 клавиш одной октавы?

4) На плоскости отмечено 14 точек, причем никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько различных отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно?

5) На окружности отмечено 6 точек. Сколько различных треугольников с вершинами, выбранными из этих точек, можно построить?

6) Найти значение:

7) Сколькими способами можно рассадить троих детей на трех стульях в столовой в детском саду?

8) Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди пяти учащимися класса в течение 5 дней?

9) В классе изучают 7 предметов естественно-математического цикла. Сколькими способами можно составить расписание на четверг, если в этот день должны быть 6 уроков из шести разных предметов этого цикла.

10) Сколько существует способов для обозначения с помощью букв А,В,С,Д,Е,F вершин данного треугольника?

Порядок выполнения:

1.        Внимательно прочитать тему и цель практической работы.

2.        Изучить учебный материал по теме.

3.        Ответить на вопросы.

4.        Выполнить задания.

5.        Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Различают три основных вида соединений: размещений, перестановки и сочетаний.

Размещения.

Размещения из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m обозначаются символом и вычисляется по формуле

              =n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)]= n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=                                  (1)

Перестановки.

Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Число перестановок из n элементов обозначаются символом

Перестановки представляют частный случай размещения из n  элементов по n в каждом, т.е.

 n(n-1)(n-2)…3.2.1 или                                                                                             (2)

1*2*3…(n-1)n=n!

Сочетания.

Сочетаниями из n  элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по m обозначается .  Оно находится по формуле

=/, которую можно записать в виде                                                                 (3)

=                                                                                                                        (4)

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

=(0mn) ( по определению полагают = In=1);

+=

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

Пример 1:

Найти число размещений из 10 элементов по 4.

Согласно формуле  (1) получим: =;

Пример 2:

В седьмом классе изучается 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на субботу, если в этот день недели должно быть 5 различных уроков?

Решение.

Различных способов составить расписания, очевидно, столько, сколько существует пятиэлементных упорядоченных подмножеств у четырнадцати элементного множества. Следовательно, число способов равно . По формуле (1), пологая в ней n=14, m=5

=

1.       Составить всевозможные перестановки из элементов а,b,с.

Решение.

По формуле (2) имеем: 1*2*3=6; (а,в,с);(а,с,в);(в,а,с);(с,а,в);(с,а,в);(в,с,а).

(2) Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6 при условии, что в числе цифры не повторяются.

Решение.

Для того чтобы число, составленное из заданных цифр делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные 5 цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е.

5!=5*4*3*2*1=120;

Пример 3:

Вычислите: +

Решение.

Согласно формуле (4) получим

+=

2.       В чемпионате страны по футболу (высшая лига)  участвуют 18 команд, причём каждые две команды встречаются между собой 2 раза. Сколько матчей играется в течение сезона?

Решение.

В первом круге состоится столько матчей, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, содержащего 18 элементов, т.е. их число равно .По формуле (4), получаем

=

Во втором круге играется столько же матчей, поэтому в течении сезона состоится 306 встреч.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1.    Что называется размещениями из n элементов по m в каждом?

2.    Что называется сочетаниями из n элементов по m  в каждом?

3.    Что называется перестановками из n элементов? Как вычисляются перестановки?

Содержание отчета:

Название практической работы.

Учебная цель.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:

1.    Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа: Учебник 10—11 классы. — М.И., 2016.

2.    Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2016.

3.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

4.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

5.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

6.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

7.    Башмаков М.И. Математика: Учебник. — М., 2016.