МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ - Тема: Решение задач по теме: «Прямые и плоскости в пространстве».

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Тема:

Решение задач по теме: «Прямые и плоскости в пространстве».

Цель работы: 

- применить умения по владению навыками применения изученных теоретических фактов в ходе решения задач.

Оборудование:

1. Рабочая тетрадь в клетку

2. Раздаточные материалы: карточки-задания, инструкционные карты – 20 штук.

3. Калькулятор простой.

4. Ручка.

Задание:

Вариант 1

№ 1. Плоскость α пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках  D и Е соответственно, причем АС ║α. Найдите АС, если ВD : AD = 3 : 4 и  DE = 10 см .

№ 2. Отрезок АВ пересекает плоскость α, точка С – середина АВ. Через точки А, В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А₁, В₁ и С₁. Найдите СС₁, если  дм и ВВ₁ = √2 дм. 

№ 3. Сторону СD треугольника CDE пересекают плоскости α и β, параллельные стороне СЕ соответственно в точках К и Р, а сторону DE – в точках М и N, причем DК вдвое меньше РК, а СР вдвое больше РК. Найдите СЕ, если КМ = 6 см.

№ 4. АВСDA₁В₁С₁D₁ – прямоугольный параллелепипед, АВ = АD = 8 дм, АА₁ = 2 дм. Найдите площадь сечения ВМКD, где М – середина В₁С₁ и К – середина С₁D₁.                    

№ 5. АВСDA₁В₁С₁D₁ – куб. Точки Е и F – середины ребер АА₁ и СС₁ соответственно. Определите число сторон сечения плоскостью, которая определяется точками В, Е и F.

№ 6. MCDN – ромб, длина стороны которого 4 см; MNKP – параллелограмм. Найдите периметр четырехугольника CDKP, если NK = 8 см и СМР = 60⁰.

№ 7. В треугольной пирамиде МАВС все ребра равны 6 см. Найдите периметр сечения, проведенного параллельно стороне ВС и проходящего через точки А и К, где К – середина ВМ.

№ 8. АВСDA₁В₁С₁D₁ – куб. К – середина АD, М – середина СD. В каком отношении, считая от точки А, делит ребро АА₁ плоскость, проходящая через точки В₁, К и М?

Вариант 2       

 № 1. Плоскость β пересекает стороны МР и КР треугольника МРК соответственно в точках  N и Е, причем MK ║ β. Найдите NE, если MK = 12 см и  MN : NP = 3 : 5.

№ 2. Отрезок CD пересекает плоскость β, точка E – середина CD. Через точки C, D и E проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β соответственно в точках C₁, D₁ и E₁. Найдите EE₁, если  cм  и  DD₁ = √3 cм.

№ 3. Плоскости α и β, параллельные стороне АВ треугольника АВС, пересекают сторону АС соответственно в точках N и М, а сторону ВС – в точках Е и К. Отрезок МN в три раза больше отрезка СN, а отрезок АМ вдвое короче МN. Найдите АВ, если NЕ = 12 см.

№ 4. АВСDA₁В₁С₁D₁ – прямоугольный параллелепипед, АВ = АD = 12 см, АА₁ = 3 см. Найдите площадь сечения АКЕС, где К – середина А₁В₁ и Е – середина В₁С₁.

№ 5. АВСDA₁В₁С₁D₁ – куб, Е – середина СС₁. Определите число сторон сечения плоскостью, которая проходит через точки А, В₁ и Е.

№ 6. CDЕК – ромб, сторона которого равна 8 см; СКMN – параллелограмм. Найдите периметр четырехугольника DЕМN, если KМ = 6 см и DСN = 60⁰.

№ 7. В треугольной пирамиде SMEF все ребра равны 4 см. Найдите периметр сечения, проведенного параллельно ребру MF и проходящего через точки E и P, где P – середина SF.         

№ 8. АВСDA₁В₁С₁D₁ – куб, точка Е – середина СD, F делит ребро  АD в отношении 1 : 3, считая от точки D. В каком отношении делит ребро АА₁ (считая от точки А) плоскость, проходящая через точки В₁, Е и F?

Порядок выполнения:

1.        Внимательно прочитать тему и цель практической работы.

2.        Изучить учебный материал по теме.

3.        Ответить на вопросы.

4.        Выполнить задания.

5.        Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

Прямые

Параллельные прямые - прямые в пространстве, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Прямая и плоскость

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

- Прямая лежит в плоскости.

- Прямая и плоскость имеют только одну общую точку (т.е. пересекаются).

- Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельно данной плоскости. См.Рис.1.

Рис.1

Свойство прямой, параллельной плоскости:

Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

Плоскости

Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

Признаки параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то эти         плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей:

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

  Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными       плоскостями, равны.

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

При решении задач рассмотрите примеры

1)

Доказательство

МN - средняя линия треугольника АВС, значит МN || АВ, АВ  a .

Таким образом, МN || a (по признаку параллельности прямой и плоскости). 

2)

Доказательство

МN - средняя линия трапеции АВСD, значит МN || АВ; АВ  a (по условию),

Таким образом, МN || a (по признаку параллельности прямой и плоскости).

3)

Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости a , а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники АВС и МВN подобны.

Перед решением данной задачи необходимо вспомнить признаки подобия треугольников.

Доказательство

1. По утверждению  : МN || АC. Тогда угол А = углу ВМN (как односторонние при параллельных прямых).

2. угол В - общий.

З. Таким образом, по двум углам треугольник АВС подобен треугольнику МВN.

4)На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и E так, что ОE = 5 см и ВD = 2/3. Плоскость a проходит через точки B и С и параллельна отрезку ОE. Найдите длину отрезка ВС.

Решение:

Из условия задачи № 26: треугольник АВС подобен треугольнику АDЕ.

Тогда АВ/АD = ВС/DЕ, 5/3 = х/5, х = 25/3, х = 8¹/_3.

Ответ: 8¹/_3.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какие прямые называются параллельными?

2. Какие плоскости называются параллельными?

3. Как могут располагаться прямые и плоскости в пространстве?

4. Назовите свойства параллельных плоскостей.

Содержание отчета:

Название практической работы.

Учебная цель.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:

1.    Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала математического анализа: Учебник 10—11 классы. — М.И., 2016.

2.    Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2016.

3.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

4.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

5.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

6.    Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

7.    Башмаков М.И. Математика: Учебник. — М., 2016.

Скачано с www.znanio.ru