Методические рекомендации для проведения практических работ по математике к разделу "Интегральное исчисление"

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН  «БИРСКИЙ МЕДИКО – ФАРМАЦЕВТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» К РАЗДЕЛУ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» Бирск 2017 Методические   рекомендации   составлены   на   основе   Федерального государственного   образовательного   стандарта   среднего   профессионального образования по специальности  31.02.01 «Лечебное дело»   программы учебной дисциплины «Математика». Методические рекомендации для практических занятий по дисциплине   «Математика» к разделу «Интегральное исчисление» разработаны для студентов первого курса очной формы обучения по специальности 31.02.01. «Лечебное  дело» и  включают в себя  две практические работы на темы: «Вычисление  неопределенных интегралов» и «Применение интеграла к решению прикладных  задач». Организация­разработчик:  образовательное   учреждение   Республики   Башкортостан   «Бирский   медико­  Государственное   автономное   профессиональное фармацевтический колледж».  Шамукаев   Салай   Милаевич,   преподаватель   математики   и Разработчик:  информатики   первой     квалификационной   категории   ГАПОУ   РБ   «Бирский медико – фармацевтический колледж». Рассмотрено   и   одобрено  на   заседании   ЦМК   ОГСЭ,   математических   и общих естественнонаучных дисциплин Протокол № 1  от 30 августа 2017 г. 2 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Методические   рекомендации   для   практических   занятий   по   учебной дисциплине   «Математика»   к   разделу   «Интегральное   исчисление»   созданы   в помощь для работы студентов на аудиторных занятиях и подготовки к ним. Цель   разработки:   оказание   помощи   обучающимся   в   выполнении практических работ по учебной дисциплине «Математика». Практические   занятия   служат   связующим   звеном   между   теорией   и практикой.   Они   необходимы   для   закрепления   теоретических   знаний, полученных   на   занятиях   теоретического   обучения,   а   так   же   для   получения практических   умений.   При   выполнении   практических   работ   формируются общие компетенции: ­ OK 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.  ­ ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и  способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и  качество.  ­ ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести  за них ответственность.  ­ ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для  эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и  личностного развития.   ­ ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами,  руководством, потребителями.  ­ ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды  (подчиненных), за результат выполнения заданий.  ­ ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного 3 развития,   заниматься   самообразованием,   осознанно   планировать   повышение квалификации. ­ОК 12. Организовывать рабочее место с соблюдением требований охраны труда, производственной санитарии, инфекционной и противопожарной безопасности. Целями проведения   практических занятий являются: ­   обобщение,   систематизация,   углубление,   закрепление   полученных теоретических   знаний   по   конкретным   темам   учебной   дисциплины «Математика»; ­   формирование   умений   применять   полученные   знания   на   практике, реализацию единства интеллектуальной и практической деятельности; ­   выработка   при   решении   поставленных   задач   таких   профессионально значимых качеств, как самостоятельность, ответственность, точность. В структуру изучаемой дисциплины «Математика» для специальности  31.02.01. «Лечебное дело» включен   раздел: «Интегральное исчисление».  Содержание раздела «Интегральное исчисление» включает в себя два  практических занятия:  «Вычисление неопределенных интегралов» и  «Применение интеграла к решению прикладных задач». В результате изучения данного раздела студент должен знать: ­определение первообразной, формулы для отыскания первообразных; ­определение неопределенного интеграла, правила отыскания неопределенного  интеграла; ­понятие определенный интеграл, правила отыскания определенного интеграла; ­методы интегрирования; ­формулы вычисления физических величин; уметь: ­находить первообразную по таблице формул отыскания первообразных; ­определять правило  и метод интегрирования неопределенного и определенного интеграла; 4 ­применять методы интегрирования при решении прикладных задач. Методические   указания   содержат   следующие   элементы:   теоретические сведения   к   практическим   занятиям,   решение   типовых   примеров,   содержание практической   самостоятельной   аудиторной   работы,   контрольные   вопросы   к рассматриваемым   темам,   отчеты   о   проделанной   работе,  критерии   оценки выполнения практических заданий. Практические   задания   выполняются   студентом   самостоятельно,   с применением   знаний   и   умений,   полученных   на   занятиях,   а   так   же   с использованием необходимых пояснений,   полученных от преподавателя   при выполнении практических заданий.  Приступая   к   выполнению   практической   работы,   следует   внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с краткими теоретическими и учебно­методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы   для   закрепления   теоретического   материала,   подготовить   отчет   о  Отчет   о   проделанной   работе   следует   выполнять   в проделанной   работе. отдельной   тетради   в   соответствии   с   рекомендациями,   описанными   в   пункте «Порядок выполнения отчета по практической  работе». Практическая работа выполняется в сроки, установленные в соответствии с календарно­тематическим планом. За практическую работу студент должен получить положительную оценку. Если студент не выполнил практическую работу или часть работы, то он может   выполнить   работу   или   оставшуюся   часть   во   внеурочное   время, согласованное с преподавателем. Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения   дифференцированного   зачета   по   дисциплине,   поэтому   в   случае отсутствия на занятии по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую работу Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи. 5 Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо   обратиться   к   преподавателю   для   получения   разъяснений   или указаний в дни проведения консультаций. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1 Тема: Вычисление неопределенных интегралов. Цели: Образовательная:  ­   формирование   и   закрепление     умений     вычисления   неопределённого интеграла несколькими  способами; ­ формирование общих компетенций:  ОК 1. Понимать   сущность   и   социальную   значимость   своей   будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес. ОК 2. Организовывать   собственную   деятельность,   выбирать   типовые методы   и   способы   выполнения   профессиональных   задач,   оценивать   их эффективность и качество. ОК 3. Принимать   решения   в   стандартных   и   нестандартных   ситуациях   и нести за них ответственность.  ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой  для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и  личностного развития. Развивающая    :  ­ формирование интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи. Воспитательная:  6 ­  стремиться к воспитанию навыков  вычислительной культуры при  решении задач, внимательности,  аккуратности и трудолюбия. ­ формирование общей компетенции ОК 12. Организовывать рабочее место с   соблюдением   требований   охраны   труда,   производственной   санитарии, инфекционной и противопожарной безопасности. Образовательные   результаты,   заявленные   в   ФГОС   третьего поколения: Студент должен  знать:  ­ основные  понятия и свойства неопределённого интеграла; ­ таблицу вычисления неопределённого интеграла. уметь:  ­ применять свойства и таблицу неопределённого интеграла при вычислении  интегралов; ­ применять основные методы интегрирования при решении задач. Вид урока: практическая работа. Межпредметные  связи: физика, информатика, иностранный язык,  история.  Технологическая карта занятия. Деятельность преподавателя Деятельность студентов 1. Организационный этап – 1мин Методическое обоснование ­ приветствие студентов; ­ проверка готовности  ­ приветствие  преподавателя; ­ осуществление  психологического  аудитории к уроку; ­ отметка присутствующих. ­ доклад дежурного об отсутствующих настроя к учебной  деятельности,  студентах. воспитание  7 организованности,  дисциплинированности , делового подхода; ­ активизация  внимания студентов. 2. Мотивация занятия – 1 мин ­ доведение темы урока,  целей, плана проведения  ­ продумывают ход  этапов учебной  ­ продолжение  формирования ОК 1; занятия; ­ подчеркивает актуальность  деятельности. темы. ­ создание целостного  представления о  занятии; ­ концентрация  внимания на  предстоящей работе; ­ формирование  интереса и осмысление мотивации учебной  деятельности. БЛОК КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ 3. Актуализация опорных знаний­8 мин   Контроль знаний с помощью ­ отвечают на вопросы  ­ продолжение  вопросов.  1)Что называется  преподавателя;              ­ демонстрируют  формирования ОК 2,  ОК 4; первообразной для функции  f(x)? уровень  самостоятельной  ­ коррекция пробелов  в знаниях и умениях     2) Что называется  неопределенным интегралом  подготовки к уроку; ­   коллективно   решают ­ развитие само и  взаимоконтроля. для функции f(x)? 3) Чему равен дифференциал  проблемное   задание, корректируют пробелы 8 в знаниях и умениях. от неопределенного  интеграла? 4) Чему равен интеграл от  производной некоторой  функции? 5) Сформулируйте свойства  неопределенного интеграла. 6) Истолкуйте  геометрический смысл   неопределенного интеграла. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  БЛОК 4. Историческая справка – 5 мин. ­передает слово студенту для выступления   с   сообщением, ­сообщение студента  об истории  развития   ­ концентрация  внимания; подготовленным самостоятельно.  интегрального  исчисления; ­продолжение  формирования ОК 2  ­остальные студенты   слушают, делают  записи. 5. Краткие теоретические материалы по теме практической работы­ 9 мин. ­предлагает задание:  ознакомиться с краткими  ­повторяют краткие  теоретические  ­осмысление  теоретического  теоретическими материалами.  материалы по теме  практической работы; материала ­формирование  ­делают выводы. познавательных  интересов ­продолжить  формирование ОК 2,  ОК 4. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 9 6. Примеры типовых расчетов – 20 мин. ­излагает разбор типовых  примеров ­слушают, записывают; ­задают вопросы по  ходу объяснения  материала. ­формирование знания об основах  интегрального  исчисления и  основных  математических  методах решения  задач; ­расширение знаний о  значении математики в профессиональной  деятельности и при  освоении  профессиональной  образовательной  программы; ­продолжить  формирование ОК 2,  ОК 3. 7. Инструктаж о порядке выполнения практических заданий­ 1 мин ­ сообщает ход и порядок  ­ внимательно слушают ­   осмысление   порядка выполнения практического  задания; порядок выполнения  практического  выполнения практического задания, при  необходимости  задания; ­ формирование  записывают заметки в  тетрадь; познавательных  интересов,  ­   уточняют   порядок концентрация  10 выполнения заданий. внимания на изучаемой теме. ­ проводит формализованное  ­ самостоятельно  ­ формирование знания 8. Практическая работа– 40 мин наблюдение за ходом  выполнения практических  осуществляют  выполнение  об основах  интегрального  заданий ­обеспечивает осознанность  практических заданий; ­ демонстрируют  исчисления и основных математических  формирования умений по   данной теме; ­осуществляет проверку  выполнения практических  заданий, при необходимости  проводит корректировку  практические умения и навыки.  методах решения  задач; ­ продолжение  формирования ОК 1,  ОК 2, ОК 3, ОК 4,         знаний и умений. 9. Подведение итогов практического занятия. Выставление оценок – 4 мин ­ с помощью студентов  ­   определяют   уровень ­ развитие умения  анализирует достижение целей занятия; усвоения   материала   и целей достижения   аналитической  деятельности; ­ выставляет оценки с  комментированием решения и  урока; ­оценивают   учебную ­ частичное освоение   ОК; указанием недочетов  деятельность   свою   и работу коллектива ­ формирование  самоконтроля и  взаимоконтроля. 10. Домашнее задание ­1 мин ­ предлагает записать  домашнее задание к  ­ записывают  домашнее задание. ­ стимулирование  познавательной  следующему практическому  занятию:  стр. 321­328.  Пехлецкий И.Д. Математика:  11 деятельности  студентов и интереса к освоению учебного материала; ­ выработка навыков  работы с учебной  литературой и  лекционным  материалом. Учебник. ­ выучить лекционный  материал по теме:  «Определенный интеграл.  Решение прикладных задач с  применением определенного  интеграла». ­   выполнить   задания   для самостоятельной работы: [стр.386. № 8.10 (1­8)]­  Математика для техникумов.  Алгебра и начала анализа:  Учебник. 4.1,2 / Каченовский М.И., Колягин Ю.М.,  Кутасов А.Д., Луканин Г.Л.  и др. I. Историческая справка. Интегрирование берет свое начало ещё в древнем Египте примерно с 1800 года до н. э., о чем свидетельствует Московский математический папирус (или математический папирус Голенищева). Первым известным методом для расчёта интегралов   является   метод   для   исследования   площади   или   объёма криволинейных фигур ­ метод исчерпывания Евдокса (Евдокс Книдский (ок. 408 г. до н.э. ­ ок. 355 г. до н.э.) ­ древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась 12 на   бесконечное   множество   частей,   для   которых   площадь   или   объём   уже известны.   Этот   метод   получил   свое   дальнейшее   развитие   в   работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. ­ 212 до н.э.) для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные   методы   были   разработаны   в   Китае   в   третьем   веке   нашей   эры китайским математиком Лю Хуэйем (ок. 220 ­ ок. 280), который с их помощью находил площадь круга. Для нахождения объёма шара этот метод использовали китайский   математик,   астроном,   механик,   писатель   Цзу   Чунчжи   (429   ­   500) вместе со своим сыном, также математиком и астрономом, правителем области и государственным казначеем, Цзу Гэном. Далее   большой   шаг   вперед   в   развитии   интегрального   исчисления   был предпринят   в   11   веке   в   Ираке   арабским   ученым­универсалом,   математиком, механиком, физиком и астрономом Абу Али аль­Хасан ибн аль­Хасан ибн аль­ Хайсам аль­Басри (965­1039) (или Ибн ал­Хайсамом, в Европе известном как Alhazen),   который   в   своей   работе   "Об   измерении   параболического   тела" приводит формулы для суммы последовательных квадратов, кубов и четвёртых степеней, и ряд других формул для сумм рядов. С помощью этих формул он проводит вычисление, равносильное вычислению определённого интеграла: Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок   к   поиску   общей   формулы   для   интегралов   от   полиномов   не   выше четвёртой степени. Следующий значительный толчок в исчислении интегралов состоялся лишь в 16 веке в работах итальянского математика Бонавентура Франческо Кавальери (1598 ­ 1647),  в  которых   описывался   предложенный   им  метод   неделимых,  а также в работах французского математика Пьера де Ферма (1601 ­ 1665). Этими 13 учеными   были   заложены   основы   современного   интегрального   исчисления. Дальнейшее развитие связано с деятельностью английского математика, физика и богослова Исаака Барроу (1630 ­ 1677) и итальянского математика и физика, ученика Галилея Эванджелиста Торричелли (1608 ­ 1647), которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием. За время становления интегрального исчисления менялось и обозначение интеграла. Английский физик, механик, математик и астроном Исаак Ньютон (1643 ­ 1727) использовал, правда не во всех своих работах, в качестве символа интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили широкого   распространения.   Современное   обозначение   неопределённого интеграла   было   введено   немецким   философом,   логиком,   математиком, механиком,   физиком,   юристом,   историком,   дипломатом,   изобретателем   и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646 ­ 1716) в 1675 году. Он образовал   символ   интеграла   из   буквы   "длинная   s"   (от   первой   буквы   слова Summa   ­   сумма)   Современное   обозначение   определённого   интеграла,   с указанием   пределов   интегрирования,  было   впервые   предложено   французским математиком и физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 ­ 1830) в 1819­ 20   годах.   Сам   термин   "интеграл"   придумал   швейцарский   математик   Якоб Бернулли (1654 ­ 1705) в 1690 году. Термин   "интеграл"в   переводе   с   латыни  ­   integer   ­   нетронутый,   целый; integratio – восстановление. II. Краткие   теоретические   материалы   по   теме   практической работы. Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность  первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C. 14 Записывают:   )( xf dx  CxF )(  ; Условием существования неопределенного интеграла на некотором  отрезке является непрерывность функции на этом отрезке. Свойства: 1.    xf )( dx    ( CxF )(   ) ( xf ); 2.   d  dxxf )(   )( xf dx ; 3.   dF )( x  CxF )(  ; 4.   ( dxwvu  ) 5.       dxxfC )(   где u, v, w – некоторые функции от х.    udx   vdx  ; wdx  C ; )( dxxf Пример:   ( 2 x  sin2 x  )1 dx   x 2 dx  2  sin xdx   dx  1 3 3 x  2 cos x  Cx ; Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным  образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это  достаточно сложная задача. 1.  3.  4.  Таблица основных интегралов 0 du C  ; C  const;                            2.  du u C   ;   u du                     C ,    1; 3a.  du u  2 u C  ;  1 u   1                                          5.   du u  ln u C  ; u a du   a ln u a  C ; 15 u e du e C  u  ; cos u du  sin u C  ;                                         7.                               9.  ;                                11.  sin u du   cos u C   du 2 sin u   ctg u C  ; du 2 cos u  tg u C  ;  du  2 a 2 u  arcsin u a  C ; 6.  8.    10.  12.  14.  16.    du  2 u 2 a  ln u  2 u  2 a  C ;          13.   du  a 2 2 u  1 a arctg u a  C ; du  a 2 2 u  1 2 a ln u a u a    C ;  du u cos  ln tg  u 2    4  C ;                    15.                     17.   du sin u  ln tg u 2  C ; tg u du   ln cos u C  ;  18.   ctg udu  ln sin u C  . Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием   таблицы   и   основных   свойств   называют   непосредственным интегрированием. Метод №1: непосредственное интегрирование.  Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании  таблицы интегралов. Возможны случаи:  1) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему  табличному интегралу, например: ∫ dx cos2x =tgx+C ; 16      2)данный интеграл после применения свойств  неопределенного      интеграла  приводится к одному или нескольким неопределенным интегралам,  например:  6x5 (¿+3x−2s∈x+5)dx=¿ ∫¿ ln3−2(−cosx)+5x+С=x6+ 3x ¿ 6x6 6 + 3x = 6∫x5dx+∫3xdx—2∫s∈xdx5∫dx=¿ ln3 ++2cosx+5x+C . 3)Данный   интеграл   после   элементарных   тождественных   преобразований   и   применения   свойств   неопределенного над   подынтегральной   функцией   интеграла   приводится   к   одному   или   нескольким   табличным   интегралам, например:  dx=∫ x(x2+3x+4) ∫ x3+3x2+4x ¿∫ (x2+3x+4)dx=∫x2dx+3∫xdx+4∫dx=¿ 1 3 x dx = x x3+ 3 2 x2+4x+C . Метод №2: замена переменной.  Сущность   интегрирования   методом   замены   переменной   (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла   ∫f(x)dx    в интеграл ∫F(u)du ,  который  легко  вычисляется   по  какой­либо  из  основных  формул интегрирования.   Например:  вычислим     неопределенный   интеграл   методом замены переменной  ∫(3x+2)5dx . Решение: Введем   новую   переменную   3x+2=u .   Дифференцируя,   имеем 3dx=du  , тогда   dx= 1 3 dx , соответствующие выражения, получим: du . Подставив в данный интеграл вместо  3x+2  и 1 3∗u6 6 +C= u6 u5du=¿ 18 +C ∫(3x+2)5dx=∫ u5du 3 =1 3∫ ¿ . 17 Заменив   u  его выражение через  x , находим (3x+2)5dx=¿ u6 18 +C= ∫¿ (3x+2)6 +С. 18 Метод подстановки для неопределенного интеграла. 1.Определяют,   к   какому   табличному   интегралу   приводится   данный интеграл. 2.Определяют   какую   часть   подынтегральной   функции   заменяют   новой переменной и записывают эту замену. 3.Находят   дифференциалы   обеих   частей   замены   и   выражают дифференциал старой переменной через дифференциал новой переменной. 4.Производят замену под интегралом. 5.Находят полученный интеграл Метод №3: интегрирование по частям.  Интегрируя   обе   части   равенства ∫d(uv)=∫udv+∫vdu ;  uv=∫udv+∫vdu ,    d(uv)=udv+vdu ,   получим откуда   ∫udv=uv−∫vdu .   С   помощью   этой   формулы   вычисление интеграла  ∫udv  сводится к вычислению интеграла  ∫vdu , если последний окажется проще исходного. Например, вычислить  ∫xsinxdx .    Пусть   u=x ,   ∫dv=∫sin xdx . Следовательно,   v=−cosx .   Используя   формулу   интегрирования   по   частям, получаем:   dv=sinx .   Тогда   du=dx , ∫xsinxdx=−xcosx+∫cosxdx=−xcosx+sinx+C III. Примеры типовых расчетов. Выполняется всей группой вместе с преподавателем. Пример 1. .  dx   1 3x 18 Решение. Применим способ внесения выражения под знак дифференциала:  3 dx  x  1 3  3( xd )1   1 1 x 3 Пример 2. .  1 3 3ln x  1 C . xdx 2   3 x Решение. Преобразуем подынтегральное выражение: 2  x xdx  3  2 x   33  3 x dx     12   3    dx    2  3 x  dx  3 dx   x 3   x  2 ln3 x  3 C Пример 3. ;  ln xdx  x Решение. Применяем способ подстановки: ln  xdx x      ln x dt        tdt  C 2 t 2 . x 2 ln 2  C  t , dx x Пример 4.  .  2 xdx   221 x Решение. Применяем способ подстановки:   xdx 2  x 21    Пример 5.   2 2  21 t  4 dt x , xdx    1 2 dt  t   Ct  21 x 2  C . .  4  x  4 31 x 5 dx Решение.  Введем   подстановку   ,   откуда   t  531 x dt 15 x 4 dx .   Тогда .   Находим   полученный   табличный   интеграл   и   возвращаемся   к t dt I  4 1 15 прежней переменной: 19 I  1 4  t 1 15 dt  1 15 5 t 4  5 4 C 4 75 4 5 t  C 4 4 75 .  C 55 )31( x  Пример 6.  Вычислить неопределенный интеграл  Решение. Первое что должно броситься в глаза, это наличие многочлена с иксами (  Р(х)  ) и тригонометрическая функция косинус. Пример явно подходит под  рассмотренный шаблон №1, не так ли? Разбиваем на части: Далее, чтобы воспользоваться формулой (1), необходимо найти du  и  v.  Для этого берем соответственно производную от u  и интеграл от dv: IV. Содержание практической работы. Порядок выполнения отчета по практической  работе. Отчет о проделанной практической работе должен содержать: 1. Название работы. 2. Цель работы. 3. Задание. 4. Решение   заданий   с   указаниями   на   теоретические   факты, использованные при решении.  5. Ответы на контрольные вопросы. 6. Вывод по работе. Задания к практической работе. Вариант 1 20 1.Найти неопределенные интегралы: 1)  3 4 x  6  5 x dx    7 8 x  2)  3)  4)  5)      34 x x  2 dx  6 3 x x 4 x 3 2  3  x dx  6  5  1x dx dx ln x x 6)  7)    xdx 232 x  dx 2 sin 3 x 8) (задание для дополнительного  решения). (2 x  1)cos( x 2  ) x dx    Вариант 2 1.Найти неопределенные интегралы: 1)  2)  3)  4)  5)    6 9 x 3  2 x  5 x   1 dx  7   2 x x 5 2 4 x dx  35   x 2 x x dx  2 3x  4 dx   dx   241 x 6)   2 1 xdx  2 x 7)  5x  2 x dx  8) (задание для дополнительного  решения).  5xe 6 dx  Вариант 3 1.Найти неопределенные интегралы: 21 1)  2)  3)  4)  5)    4 4 x 2  3 x  2 x  5  dx    3 5 x 2 x 2 3 6 x dx 7x 2 3  x  x dx  5 2x  7 dx    3 4 x dx  2   6)  2 dx x   21 x 3 7)  arctg x dx  8) (задание для дополнительного  решения).  6 2  9  3 3sin sin  x 5  2 x 3 x dx Вариант 4 1.Найти неопределенные интегралы: 1)  2)  3)    6   x 2 x 2 4  5 x  dx 4 4 x   3 x 5 x 2  7 dx x  9 5 x  3  x dx 4)  5)     8  9  1x dx  5 7  4  1x dx 6)  7)  xdx   2 5 x   e  x sin cos x dx 8) (задание для дополнительного  решения).  3 3cos cos x 2   2 x 5 5 x 3  dx Вариант 5 Найти неопределенные интегралы: 22          1)  2)  3)  4)  5)    4 8 x 2  3 x  7 x  3  dx 3   x 5 x  4 2 x dx 4x 32  x  2 x dx  5 4x dx  3   7 cos x  sin xdx  6)  7)  2 dx x   52 x 3 arcctg x dx  8) (задание для дополнительного  решения).  16 2  x 2 8 3  3 x x 4  5 x  dx 23      V. Контрольные вопросы. 1.  Чем первообразная отличается от неопределенного интеграла?    2.   Какими свойствами обладает неопределенный интеграл?    3.  Формула замены переменной.    4. В чем заключается суть метода замены переменной при вычислении  интегралов? 5.  Формула вычисления неопределенного интеграла методом  интегрирования по частям.    ФОРМА КОНТРОЛЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ  ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ.  Оценка «5» ставится, если:  работа выполнена полностью;  в логических   рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;   в решении нет  математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся  следствием незнания или непонимания учебного материала).  Оценка «4» ставится, если: работа выполнена полностью, но обоснования  шагов решения недостаточны (если умение    обосновывать рассуждения не  являлось специальным объектом проверки);  допущена одна существенная  ошибка или две­три несущественные ошибки.  Оценка «3» ставится, если: допущены более одной существенной ошибки или  более двух­трех    несущественных ошибок, но студент владеет обязательными    умениями по проверяемой теме; при этом правильно выполнено не  менее  половины работы.  Оценка «2» ставится, если: допущены существенные ошибки, показавшие, что  студент  не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2 Тема:  Применение интеграла к решению прикладных задач. Цели: Образовательная:  ­ сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площадей, объемов фигур, для решения физико­технических задач различного характера. ­ формирование общих компетенций: ОК 2. Организовывать   собственную   деятельность,   выбирать   типовые методы   и   способы   выполнения   профессиональных   задач,   оценивать   их эффективность и качество. ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного   выполнения   возложенных   на   него   профессиональных   задач,   а также для своего профессионального и личностного развития. ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с  коллегами, руководством, потребителями.  ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды  (подчиненных), за результат выполнения заданий.   ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и  личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать  повышение квалификации. Развивающая:  ­   развивать   внимание,   память,   речь,   аналитическое   и   логическое мышление; ­ развивать мотивацию познавательной деятельности. Воспитательная:  ­ воспитывать информационную культуру и культуру общения, готовить  обучающихся к жизни в современном информационном обществе. ­ формирование общей компетенции ОК 12. Организовывать рабочее место с   соблюдением   требований   охраны   труда,   производственной   санитарии, инфекционной и противопожарной безопасности. Образовательные   результаты,   заявленные   в   ФГОС   третьего поколения: Студент должен  уметь:  ­решать   прикладные   задачи   с   использованием   элементов дифференциального и интегрального исчисления.  знать:  ­ основные понятия и методы математического анализа; ­ алгоритмы применения  определенного интеграла; ­ основные понятия и методы интегрального исчисления. Вид урока: практическая работа. Межпредметные  связи: физика, экономика. Технологическая карта занятия. Деятельность преподавателя Деятельность студентов 1.Организационный этап – 1мин Методическое обоснование ­ приветствие студентов; ­ проверка готовности  ­ приветствие  преподавателя; ­ осуществление  психологического  аудитории к уроку; ­ отметка присутствующих. ­ доклад дежурного об отсутствующих настроя к учебной  деятельности,  студентах. воспитание  организованности,  дисциплинированности , делового подхода; ­ активизация  внимания студентов. ­ доведение темы урока,  ­ продумывают ход  ­ продолжение  1. Мотивация занятия – 1 мин целей, плана проведения  занятия; этапов учебной  деятельности. формирования ОК 1; ­ создание целостного  ­ подчеркивает актуальность  темы. представления о  занятии; ­ концентрация  внимания на  предстоящей работе; ­ формирование  интереса и осмысление мотивации учебной  деятельности. БЛОК КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ Актуализация опорных знаний­8 мин 2.  Математический диктант: 1.Что называется  ­ отвечают на вопросы; ­ демонстрируют  ­ продолжение  формирования ОК 2,  определенным интегралом?  2.В чем заключается  уровень  самостоятельной  ОК 3, ОК 4,  ­ коррекция пробелов  геометрический смысл  определенного интеграла?  подготовки к уроку; корректируют пробелы в знаниях и умениях     ­ развитие само и  в знаниях и умениях. взаимоконтроля. 3.Основная формула  интегрального исчисления.  Напишите ее. 5.Перечислите основные  свойства определенного  интеграла. 3. Краткие теоретические материалы по теме практической работы­  ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ БЛОК 12мин. ­предлагает задание:  ознакомиться с краткими  ­повторяют краткие  теоретические  ­ актуализация знаний  о криволинейной  теоретическими материалами.  материалы по теме  практической работы; трапеции, интеграле,  формуле Ньютона –  ­делают, если  необходимо записи и  Лейбница;                       ­оформление своих  заметки в тетради. мыслей в устной речи с учетом речевых  ситуаций; ­осмысление  теоретического  материала; ­формирование  познавательных  интересов; ­продолжить  формирование ОК 2,  ОК 4, ОК 8. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 4. Примеры типовых расчетов­ 22 мин. ­излагает разбор типовых  ­слушают, записывают, ­формирование  примеров. задают вопросы по  ходу объяснения  мотивов  познавательной  материала; ­ формулируют задачи, излагают результаты  деятельности; ­установление новых  формул для  решения задач,  отвечают на вопросы. нахождения площади  фигур с помощью  определенного  интеграла, умение создавать обобщения,  строить логическое  рассуждение и делать  выводы;                         ­формулировать,  аргументировать и  отстаивать свое  мнение; ­продолжить  формирование ОК 6,  ОК 7. 5. Инструктаж о порядке выполнения практических заданий­ 1 мин ­ сообщает ход и порядок  ­ внимательно слушают ­   осмысление   порядка выполнения практического  задания; порядок выполнения  практического  выполнения практического задания, при  необходимости  задания; ­ формирование  записывают заметки в  тетрадь; познавательных  интересов,  ­   уточняют   порядок выполнения заданий. концентрация  внимания на изучаемой теме. 6. Практическая работа– 40 мин ­ проводит формализованное  наблюдение за ходом  ­ самостоятельно  осуществляют  ­ умение осознанно  выбирать наиболее  выполнения практических  заданий выполнение  практических заданий; эффективные способы  решения учебных  ­обеспечивает осознанность  формирования умений по   ­ демонстрируют  практические умения и задач; ­умение высказывать  данной теме; навыки  свою точку зрения, ее ­осуществляет проверку  выполнения практических  заданий, при необходимости  проводит корректировку  знаний и умений. обосновывать, приводя аргументы;     ­учитывать мнение  партнеров по группе;  ­ оформление своих  мыслей в устной и  письменной речи с  учетом речевых  ситуаций;                       ­умение соотносить  свои действия с  планируемыми  результатами;                ­осуществлять  контроль своей  деятельности в  процессе достижения  результата; ­формирования  ОК 4,  ОК 6,   ОК 7, ОК 8.      8. Подведение итогов практического занятия. Выставление оценок – 4 мин ­ с помощью студентов  анализирует достижение целей ­   определяют   уровень усвоения   материала   и ­ развитие умения  аналитической  занятия; ­ выставляет оценки с  достижения урока;   целей деятельности; ­ частичное освоение   комментированием решения и  указанием недочетов;  ­оценивают   учебную деятельность   свою   и ОК; ­ владение основами  работу коллектива. самоконтроля,  самооценки. 9. Домашнее задание ­1 мин ­ предлагает записать  домашнее задание к  ­ записывают  домашнее задание. ­ стимулирование  познавательной  деятельности  студентов и интереса к освоению учебного  материала. ­ выработка навыков  работы с учебной  литературой и  лекционным  материалом. следующему практическому  занятию: стр428, №10.1(1,2).  Математика для техникумов.  Алгебра и начала анализа:  Учебник. 4.1,2 / Каченовский М.И., Колягин Ю.М.,  Кутасов А.Д., Луканин Г.Л.  и др. ­ выучить лекционный  материал по теме:  «Последовательности и  ряды». ­   выполнить   задания   для самостоятельной работы:   Творческая «Применение   работа  интеграла   к решению прикладных задач» I. Краткие теоретические материалы по теме практической работы. 1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат. Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями  y   f x 1  ,   , y  f 2  x  где   f 2  x    f x 1    для всех  x  a b ,  ,  и прямыми  x a ,   x b ,  то ее площадь вычисляется по формуле:     S   f 2  x    . f x dx 1   b  a Рис. 1 2.Вычисление объемов тел вращения. Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой   объем вычисляется по формуле:  f x  y , осью OX и прямыми  x a ,  x b  (рис. 2), то его V   b a   f x   2 dx . Рис. 2 Определенный   интеграл   находит   широкое   применение     при   решении физико­технических   задач   различного   характера.   С   его   помощью   можно вычислить работу, производимую силой; давление жидкости; путь, пройденный телом;   центр   тяжести   фигуры;   объемы   тел   по   площадям   сечений   и   многие другие величины.           При   всем   их   разнообразии   эти   задачи   объединяет   общность   метода решения, а именно:  во  всех  задачах  необходимо  вычислить  предел  суммы растущего числа малых слагаемых.   Применение   определенного   интеграла   к   решению   задач   прикладного характера проводится по следующим правилам. 1. Выбирают независимую переменную, искомую величину разбивают на как угодно   малые   части,   постепенно   увеличивая   их   число   так,   что   величина каждой стремится к нулю. 2. Отбрасывая,   бесконечно   малые   более   высокого   порядка   малости, заменяют   каждую   из   бесконечно   малых   частей   искомой   величины эквивалентной, так называемой элементарной, ее частью  f (х) х. 3.   Независимая   переменная   изменяется   в   пределах   от  а  до  b,   и   потому искомая величина равна   lim ∆х→0 n ∑ k=1 f(ξk)∆х  =  ∫ b a f(х)dх 3. Вычисление работы, производимой силой. Работа,   произведенная   переменной   силой  f(х)  при   перемещении   по   оси   0х материальной точки от х = а до х = b, находится по формуле А =  ∫ b a f(х)dх .  При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука: F = kх, где F – сила, Н; х – абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F; k – коэффициент пропорциональности, Н/м. 4.Вычисление пути, пройденного материальной точкой.              Если точка движется по некоторой линии и ее скорость  υ  = f(t) есть данная функция  времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t1;  t2], t1 S =  ∫ t2 f(t)dt . II. Примеры типовых расчетов.  Выполняется всей группой вместе с преподавателем. Пример1. Найти объём продукции, произведённой за 4 года, если функция Кобба­Дугласа имеет вид  Решение. Объём произведённой предприятием продукции равен:   Пример2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y  2 x  2, y  3 x  2. Решение    .  Построим   схематический   рисунок   (рис.   2).   Для   построения параболы возьмем несколько точек:  x y 0 –2 1 –1 –1 –1 2 2 –2 2 3 7 –3 7 4 14 –4 14 Для   построения   прямой   достаточно   двух   точек,   например     и  0, 2   .    1, 1 Найдем координаты точек     и   1M 2M   пересечения параболы     и y 2 x  2 прямой  .  y x 3  2 Для этого решим систему уравнений y y   2 x x 3   2, 2. 2    2 3 x x  2, 2 x  3 x   4 0, x 1   1, x 2  4. Тогда  y 1       1, 3 2   1 y 2     3 4 2 14.  Итак,  M 1   ( 1, 1), M 2 (4,14). Площадь полученной фигуры найдем по формуле, в которой f 2  x   3 x  2,  f x 1   2 x  2,   поскольку   f 2  x    f x 1    для   всех   .  x  1,4 Получим: S  4   1   3 4 2  2 3 x   2  2 x  2  3    4 4  3 4 3  dx      1 2 4  1  2  44  65 3   3 2 125 6  20кв.ед.  5 6  3 x  2 x  4  dx  2 3 x 2  3 x 3  4 x    3   1 3       4 1   24 64  3  16  4  1  3     2 1 3 4                 Рис. 3 Пример 3.  Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси  OX  фигуры, ограниченной линиями:  y   34 , x x  0, y   4. Решение.  Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 3).  Чтобы   получить   объем   тела   вращения   из   объема     тела,  полученного 1V вращением   фигуры  ОАВС,   вычтем   объем     тела,   полученного   вращением 2V фигуры  ОАВ.   Тогда   искомый   объем   .   По   формуле V V V 2   1   f x   2 dx .   Найдем     и   2V 1V :            V 1   (ед. 2 4  dx   16 x 1 0  16      1  0   b a V объема); V 2 4 x  23 dx  16  1  0  (ед. объема); 6 x dx   16 7 x 7   16 7 1      0 V V V 2   1  16    16 7  96 7   43,085 (ед. объема). Пример   4.  Найти   работу,   необходимую   для   выкачивания   воды   из   бассейна, имеющего    форму полуцилиндра, длина которого a = 25 м, а радиус R = 20 м.  Решение.   Примем за х высоту, на которую надо поднять воду, чтобы выкачать ее из бассейна. Разобьем объем бассейна на слои, параллельные поверхности воды,   толщина   которых  dх,   длина  а,   ширина     2 √R2−х2 .     Назовем   их элементарными слоями. Объем элементарного слоя, находящегося на глубине х,  dV = 2 а √R2−х2dх . Для   подъема   этого   слоя   воды   на   высоту   х   необходимо   выполнить   элементарную           работу   dА =   ρ gхdV =   2ρ g  ах √R2−х2d ,   где   ρ   – плотность воды.                 Значит,   вся   работа     по   выкачиванию   воды   из   бассейна А   =       а ρ g   ∫ R 0 х√R2−х2dх .  =     –  а ρ g  ( 2 3(R2−х2) 3 2) | R 0     = =   2 3    ρ gа R3   =   3    ρ g25 ∙203     ¿ 400000 2 3   ρ g.  Пример 5.   Вычислить работу силы F при сжатии винтовой пружины на 0,04м, если для сжатия ее на 0,01м нужна сила 10 Н.     Решение. Так как х = 0,01м при F = 10 Н, то по закону Гука 10 = k 0,01, откуда k = 1000 Н/м. Значит F = 1000 k,  т.е. f(х) = 1000 х.  Искомую работу найдем по формуле      А =  ∫ b a f(х)dх , полагая а = 0, b = 0,04;                                   А =  ∫ 0,04 0 1000хdх  = 500 х2 | 0,04 0  = 0,8 Дж.  Пример 6. Найти путь, пройденный материальной точкой за 10 секунд от начала движения со скоростью   υ  = 0,1  t3  м/с. 10 Решение. S =  ∫ 0,1t3dt   = 0,1 t4 10 0  = 0,1 III. Содержание практической работы. 4  | 0 10000 4    –  0 = 250м. Порядок выполнения отчета по практической  работе. Отчет о проделанной практической работе должен содержать: 1. Название работы. 2. Цель работы. 3. Задание. 4. Решение   заданий   с   указаниями   на   теоретические   факты, использованные при решении.  5. Ответы на контрольные вопросы. 6. Вывод по работе. Задания к практической работе. Вариант I   1.  Вычислить определенные интегралы:  а)  ; ;              б)   3 2 1 2 dx   1 x 2 5    4 4 3  x dx 2. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой  формулой  v = v(t) (время измеряется в секундах, а скорость в сантиметрах в  секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t  = 0) и    V(t)= 3t2 − 4t + 1  ? 3.Вычислите площади фигур, ограниченных линиями: а)   х – у + 2 = 0,   у =0,    х = −1,   х = 2; б)   у = −х2 + х + 6,      у =0; в)   у = х2 ,           у =− 3х. 4 (задание для дополнительного решения).Дан прямолинейный неоднородный  стержень, плотность в точке x определяется по формуле  =   x . Найдите  массу стержня длиной L, если:  x  = x2 − х + 1, L = 6.  1. Вычислить определенные интегралы:   а)    Вариант II ;        б) 2 3 dx   9 x 0 dx  .                                           π 4 √3+сtgx ∫ sin2x –π 4 2. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой  формулой  v = v(t) (время измеряется в секундах, а скорость в сантиметрах в  секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t  = 0) и    V(t)= 5t2 − 6t + 2  ? 3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями: а)   2х – 3у + 6 = 0,   у =0,    х = 3; б)   у = −х2 + 2х + 3,      у =0; в)   у = х2 ,           у = 2х+ 8. 4 (задание для дополнительного решения). Дан прямолинейный неоднородный  стержень, плотность в точке x определяется по формуле  =  x . Найдите   массу стержня длиной L, если:  x  = 2x2 − х + 3, L = 4.  1.  Вычислить определенный интеграл:   Вариант III 3 x  3 3 0 ;   1 dx 2. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой  формулой  v = v(t) (время измеряется в секундах, а скорость в сантиметрах в  секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t  = 0) и    V(t)= ? 1 t 5 1 3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями: а)   х – у + 3 = 0,   у =0,    х + у − 1 = 0; б)   у = −х2 − 1,      у =0,    х = −2,   х = 1; в)   у = х2 ,           у = 2 − х2 .   Найти   объем   тела,   полученного   вращением   вокруг   оси  OX  фигуры, 4. ограниченной линиями. 1)  2 x   y 0, y  1 5(задание для дополнительного решения). Дан прямолинейный неоднородный  стержень, плотность в точке x определяется по формуле  =   x . Найдите  массу стержня длиной L, если:  1 x  23 x  =   , L = 3. Вариант IV 1. Определить площадь полуволны синусоиды. 2. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой  формулой  v = v(t) (время измеряется в секундах, а скорость в сантиметрах в  секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t  = 0) и    V(t)=  ? 3 4 t  2 6 t 3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями: а)   х – 2у + 4 = 0,   у =0,    х + 2у − 8 = 0,   х = −1,   х = 6; б)   у = −х2 − 2х + 8,      у =0; в)   х2 =  3у,           у = х .  4.   Найти   объем   тела,   полученного   вращением   вокруг   оси  OX  фигуры, ограниченной линиями. y   34 , x x   1,  . 0 y 9 (задание для дополнительного решения). Дан прямолинейный неоднородный  стержень, плотность в точке x определяется по формуле  =   x . Найдите  массу стержня длиной L, если:  x  =    x 2  6 x , L = 2. Вариант V 1. Вычислить площадь полуволны косинусоиды. 2. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой  формулой  v = v(t) (время измеряется в секундах, а скорость в сантиметрах в  секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t  = 0) и    V(t)=  ? 1 t 7 4 3. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями: а)   у = 4х – 5,    у =0,      х = −3,    х = −2; б)   у = −х2 + 6х − 5,      у =0,      х = 3,     х = 2; в)   у 2 =  9х ,        х  =  4 . 4. Под действием силы 80Н пружина растягивается на 0,02м. Первоначальная  длина пружины равна 0,15м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть её  до 0,2м? 5 (задание для дополнительного решения). Дан прямолинейный неоднородный  стержень, плотность в точке x определяется по формуле  =   x . Найдите  массу стержня длиной L, если:  1 x  21 x  =    2 , L = 1. IV. Контрольные вопросы. 1. Формула Ньютона­Лейбница. 2. Геометрический смысл определённого интеграла. 3. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченная линиями? 4. По какой формуле вычисляется объем тела, образованное вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции? 5. По какой формуле вычисляется работа, производимая силой? ФОРМА КОНТРОЛЯ И КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ  ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ.  Оценка «5» ставится, если:  работа выполнена полностью;  в логических   рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;   в решении нет  математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся  следствием незнания или непонимания учебного материала).  Оценка «4» ставится, если: работа выполнена полностью, но обоснования  шагов решения недостаточны (если умение    обосновывать рассуждения не  являлось специальным объектом проверки);  допущена одна существенная  ошибка или две­три несущественные ошибки.  Оценка «3» ставится, если: допущены более одной существенной ошибки или  более двух­трех    несущественных ошибок, но студент владеет обязательными    умениями по проверяемой теме; при этом правильно выполнено не  менее  половины работы. Оценка «2» ставится, если: допущены существенные ошибки, показавшие, что  студент  не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере. 1. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник. ­ 8­е изд., стереотип. ­ М.:  ЛИТЕРАТУРА. Издательский центр «Академия»; Мастерство, 2014.­ 304с. 2. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. 4.1,2 /  Каченовский    М.И., Колягин Ю.М., Кутасов А.Д., Луканин Г.Л. и др.: Под ред. Г.Н. Яковлева. ­ 3­е изд., перераб. ­ М.: Наука. Гл. ред. Физ.­  мат. лит. 2014. ­ 464 с. 3. Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных  учебных заведений. / Е.В. Филимонова. ­ 2­е изд., доп. и перераб. ­ Ростов­ на­ Дону.: Феникс, 2014. 4. Михеев B.C., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное  пособие для среднего профессионального образования. / В.С.Михеев. —  Ростов­ на­Дону.: Феникс, 2014.