Методические рекомендации обучения учащихся координатному методу при решении задач

Муниципальное общеобразовательное учреждение Иркутского муниципального образования «Смоленская средняя общеобразовательная школа» Методические рекомендации обучения учащихся координатному методу при решении задач Бабкина Анастасия Валентиновна, учитель математики с.Смоленщина, 2016г. Данные   методические   рекомендации   являются   составной   частью   учебно­ методического комплекса обучения учащихся координатному методу при решении задач, включающего методические рекомендации для учителя. Много фамилий связано с методикой преподавания и конкретно с методикой преподавания математике,   такие   как   Волович   М.Б.   ,   Лященко   Е.И.,     Оганесян   В.А.,   Саранцев   Г.И., Плакатина О.И. и т.д., но, сколько людей столько и мнений.  Ольга   Ивановна   Плакатина   много   трудов   посвятила   обучению   математике,   такие   как «Деятельностный   подход   к   обучению   математике»,   «Методика   формирования   методов решения   задач»,   «Обобщенные   подходы   к   обучению   решения   уравнений»,   «Обучение методам   решения   математических   задач»,   «Специальная   методика   преподавания математики в средней школе» и т.д.   Ее   литература   помогает   учителю   в   усвоении   учащимися   различных   специальных математических методов. Поэтому, теоретической базой для разработки методики обучения координатному методу   при   решении   геометрических   задач   послужили   методические   идеи   обучения различным методам решения задач, изложенные О.И. Плакатиной. Раскроем их. В первую очередь автор отмечает, что:    методы явно вводятся в содержание обучения;  формирование   любого   метода   осуществляется   в   течение   длительного времени поэтапно;  целенаправленно   формируется   ориентировочная   основа   деятельности   по применению метода;  при сообщении учащимся сведений о методах каждый из них описывается по определенным (одним и тем же для всех методов) параметрам: ­ в любом методе выделяются его объективная и субъективная стороны ­ метод характеризуется формой и способом его реализации  ­ раскрытие основной идеи (цели) метода;  прежде   чем   ставить   задачу   овладения   методом   в   целом,   необходимо обеспечить   освоение   отдельных   его   компонентов,   которые   также   явно вводятся в содержание обучения;  при   обучении   компонентам   метода   используется   методика   формирования учебных действий;  учащиеся знакомятся с областью применения каждого из изучаемых методов. Общее понятие метода  Под методом с философской точки зрения понимается способ достижения какой­ либо цели, решения конкретной задачи; совокупность приемов или операций практического или теоретического освоения (познания) действительности. В   теории   научного   познания   метод   трактуется   как   система   последовательных действий,   которые   приводят   к   достижению   результата,   соответствующего   намеченного цели. Эта последовательность действий может иметь целью, как теоретический результат, так и практическую реализацию. Значит, метод выступает в качестве способа познания, способа практической деятельности. Способ познания, способ практической деятельности всегда   направлен   на   определенный   объект;   поэтому   с   любым   методом   обязательно соотносят его объект (познаваемый, преобразуемый).  О.И. Плакатина конкретизирует содержание, используя подход, предложенный Лященко Е.И. По мнению Е. И. Лященко в трактовке понятия «метод» следует различать две стороны:   субъективную   и   объективную.   Объективная   (содержательная)   сторона   метода подразумевает конкретную сферу его применения (систему знаний): ­ основные понятия; ­ ­ ­ их взаимосвязь; признаки   выбора   метода,   т.е.   круг   конкретных   математических   задач,   к   решению которых возможно применить данный метод; типы задач; ­ формы реализации метода; ­ особенности его использования; Субъективная   (деятельностная)  сторона   метода   подразумевает   совокупность действий,   позволяющих   реализовать   данный   метод   при   решении   конкретных   задач. Обучение   методам   предполагает   изучение   не   только  сущностной,   но   и   деятельностной стороны   метода,   позволяющей   применять   полученные   знания   о   методе   в   конкретной ситуации.    Для того чтобы учащиеся могли освоить метод, они должны иметь определенный набор знаний об этом методе и о той части математической теории, которая составляет объективную сторону метода.   Выделение в методе двух указанных сторон создает условия для решения вопроса о его компонентах. Ответ на этот вопрос не является однозначным. Он зависит от того, какая из сторон метода в том или ином случае является ведущей. Поэтому можно говорить о компонентах метода,  связанных,  во­первых,  с объективной его стороной  (назовем  их гносеологическими компонентами); во­вторых, с субъективной стороной (деятельностные компоненты). Совокупность гносеологических и деятельностных компонентов и дает нам представление о компонентах метода в широком смысле. К гносеологическим компонентам относят:  исходные   знания   об   объекте,   к   которому   применяется   метод,   его свойства (основные понятия, свойства понятий, связи между ними);   знания,   полученные   в   ходе   преобразования   или   изучения   объекта (изменение   свойств   объекта   под   влиянием   действий   над   ними, установлении   неизвестных   до   этого   свойств).   Указанные   знания   в определенной мере зависят от предполагаемого результата использования метода, соответствующего поставленной цели.   знания о сфере приложения метода (круг задач, решаемых с помощью данного метода, их виды и т.д.);   знания   об   особенностях   его   использования   в   зависимости   от   сферы приложения.  К деятельностным компонентам метода относятся, с одной стороны, определенная система действий (зависящая от конкретной цели деятельности над изучаемым объектом), реализация   которой   ведет   к   достижению   результата   (соответствующего   поставленной цели),   с   другой   стороны,   средства   осуществления   деятельности,   основу   которой составляет эта система действий (интеллектуальные, практические, предметные). Рассмотрим этапы обучения методу на примере метода координат. Характеристика метода координат В   геометрии   применяются   различные   методы   решения   задач  –   это   синтетический (чисто   геометрический)   метод,   метод   преобразований,   векторный,   метод   координат   и другие.   Они   занимают   различное   положение   в   школе.   Основным   методом   считается синтетический,   а   из   других   наиболее   высокое   положение   занимает   метод   координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует:   решение   задач   во   многом   алгоритмизировано,   что   в   большинстве   случаев упрощает поиск и само решение задачи.  Суть метода координат  как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы   можем   решать   геометрическую   задачу   средствами   алгебры.   Обратно,   пользуясь координатами,   можно   истолковывать   алгебраические   и   аналитические   соотношения   и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач. Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает  тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными. В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И   только   достаточный   опыт   позволяет   выбирать   систему   координат   наиболее целесообразно.  Способ реализации метода: перевод задачи на координатный (аналитический) язык и преобразование аналитического выражения, а затем обратный перевод с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована задача. Признаки выбора метода:   Во­первых,   естественно,   нужно   применять   координатный   или   векторный метод, если в условиях задачи говорится о векторах или координатах;  Во­вторых,   координатный   метод   может   помочь,   если   в   задаче   требуется определить геометрическое место точек (т.е. спрашивается, какую фигуру образуют точки, удовлетворяющие некоторому условию);  В­третьих, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки;  В­третьих,   полезно   и   удобно   применять   координаты   и   векторы   для вычисления углов и расстояний;  В­четвертых, вообще, часто, когда не видно ни каких подходов к решению задачи,   или   вы   не   можете   составить   уравнения,   попробуйте   применить координатный   метод.   Он   не   обязательно   даст   решение,   но   поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения. Выделение объективной и субъективной стороны данного метода определяет отбор содержания   заданий   на   каждом   этапе   для   успешного   овладения   учащимися   данного метода. Объективной стороной этого метода координат являются понятия, на которых  базируется этот метод: УРАВНЕНИЕ ФИГУРЫ СИСТЕМА КООРДИНАТ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НАЧАЛО КООРДИНАТ ОСИ КООРДИНАТ СИСТЕМА КООРДИНАТ Субъективная сторона метода – компоненты, умения, которыми должны овладевать  учащиеся:                       ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫБОР СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРДИНАТ ТОЧКИ В Д.С.К.    ПОСТРОЕНИЕ ТОЧКИ ПО КООРДИНАТАМ ВЫЧИСЛЕНИ Е РАССТОЯНИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИ Е КООРДИНАТНЫХ СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ФИГУР ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИГУРЫ ПО УРАВНЕНИЮ Методика обучения учащихся методу координат  при решении задач  (по методике О.И. Плакатиной) I. Подготовительный этап Цель этапа ­ создание базы для освоения метода координат при решении задач  На данном этапе происходит накопление учащимися первичного опыта применения метода. Для того, чтобы познакомить учащихся с методом, они должны иметь о нем некоторые представления, то есть учителю необходимо обобщить соответствующий теоретический материал, необходимый для дальнейшего его изучения, поэтому выделим знания и умения, которые необходимы для обучения данному методу:  переводить геометрический язык на аналитический;   строить точку по заданным координатам;   находить координаты заданных точек;   вычислять расстояние между точками, заданными координатами;   вычислять расстояние между прямой и плоскостью, прямыми и плоскостями;   вычислять угол между прямой и плоскостью, прямыми и плоскостями;   оптимально выбирать систему координат;   составлять уравнения заданных фигур (плоскости и прямые) и вычислять  определитель;   видеть за уравнением конкретный геометрический образ;   выполнять преобразование алгебраических соотношений.  В   связи   с   выделенными   умениями   подберем   задания,   которые   направлены   на систематизацию знаний, умений учащихся. Задание 1. Координаты точек А(­2, 3) и В(2, ­4). Найдите координаты векторов   и  BA  AB . Задание   2.  Координаты   точек   М(5,­8)   и   Р(­3,   4).   Найдите   координаты   точки   О   (О   – середина отрезка МР). Задание 3.  СР – диагональ окружности; С(­2, ­1), Р(5, 7). Найдите координаты центра окружности – точки Е. Задание 4. Задание 5.  Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите двугранный угол ABB1C  Двугранный   угол  ABB1C  –   это   угол   между   плоскостями (ABB1) и (BB1C), он равен линейному углу A1B1C1. Ответ: 90º. Задание 6.  Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите двугранный угол ADD1B  Двугранный угол  ADD1B  – это угол между плоскостями (ADD1) и (BDD1), он равен линейному углу  ADB. Так как ABCD – куб, то угол ADB равен 45º. A1 A A1 B1 B B1 D1 D D1 D C1 C C1 C Ответ: 45º. A B В прямоугольном параллелепипеде A…D1 с измерениями 4, 6, 8 найдите расстояние между плоскостями BCC1 В кубе A…D1 , ребра которого равны В прямоугольном параллелепипеде A…D1 с измерениями 4, 6, 8 найдите , найдите расстояние от точки B расстояние от точки D1 до прямой 2 D1 D1 до плоскости ACC1. B1 B1 C1 C1 По теореме о трех перпенди- кулярах BO ABC  ( ) Решение. AB.   1. ABC ( ), AA 1 1AD AB   BO AA 1  2. AC BO   2 AD DD AD 1 1  ,( B ACC 3. ( 1    ))   2 C C По теореме Пифагора из ∆ADD1: BO ACC 1 D D 2 4 O B B 6 , BD  36 64 10 1  BO BO 2 Ответ: 4. BO    2 1 2 A1 A1 8 A A D1 и ADD1. B1 C1 D 4 C 6 B A1 8 A II. Мотивационный этап Цель этапа ­ убедить учащихся в необходимости   овладения   методом координат при решении задач На   данном   этапе   начинается   процесс   явного введения   метода   в   содержание   обучения,   то  2 В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между прямой CC1 и BD AB   2 Ответ: 1. Ответ: 10. плоскостью ADD1. D1 C1 B1 A1 A Ответ: 1. D C B есть нужно добиться того, что бы учащиеся осознали необходимость овладения методом и приняли эту задачу как свою цель. Один из наиболее эффективных приемов это ­ предъявить задачу, которая рационально, красиво может быть решена с помощью этого метода. Мотивационный этап, так же как и подготовительный  не осуществляется  одномоментно. Даже  когда  метод,  явно введен  в содержание обучения, не следует упускать возможность показать преимущество решения задач этим методом. Далее учащимся необходимо показать новый, рациональный способ: III. Ориентировочный этап  Цель   этапа  ­   формирование   ориентировочной   основы   деятельности   по  применению метода координат при решении задач, то есть разъяснение сути данного метода, его компонентов. Целью для учащихся является уяснить, чем новый метод отличается от известных. На   мотивационном   этапе   была   рассмотрен   пример   решения   геометрической   задачи методом   координат.     Следовательно,   на   данном   этапе   необходимо   сообщить   основные сведения.   Для   удобства   применения   рассматриваемого   метода   удобно   составить предписание   использования   метода   координат   при   решении   задач   (опираясь   на субъективную сторону метода): На ориентировочном этапе начинается освоение метода с показа образца  его применения, составленному предписанию. Чтобы решать задачи как алгебраические, так и геометрические методом координат необходимо выполнение 3 этапов: 1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык; 2) преобразование аналитического выражения;  3) обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык, в терминах  которого сформулирована задача. Для   примера   рассмотрим   алгебраическую   и   геометрическую   задачи   и проиллюстрируем выполнение данных 3 этапов при их решении координатным методом. Задача №1. Сколько решений имеет система уравнений.     x y 2 2  1 y 2  x Решение: 1   этап:   на   геометрическом   языке   в   данной   задаче  требуется   найти, сколько точек пересечения имеют фигуры,  заданные данными уравнениями. Первое из них является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1, а второе — уравнением параболы. 2   этап:   построение   окружности   и   параболы;   нахождение   точек   их пересечения. 3 этап: количество точек пересечения окружности и параболы является ответом на поставленный вопрос. Задача №2. Найдите множество точек, для каждой из которых расстояния от двух данных точек равны.  Решение: 1   этап:   Обозначим   данные   точки   через   А   и   В.   Выберем   систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А Предположим далее, что АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0) и В(а,0). Точка М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда   и   только   тогда,   когда   АМ=МВ,   или,   что   то   же   самое,  АМ2=МВ2. Используя формулу расстояния от одной точки координатной плоскости до другой, получаем АМ2=x2+y2, MB2=(x­a)2+y2. Тогда х2+у2=(х­а)2 + у2 Равенство х2+у2=(х­а)2+у2 и является алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. 2   этап:     осуществляется   преобразование   полученного   выражения,   в результате которого получаем соотношение  . a 2 x  3   этап:   осуществляется   перевод   языка   уравнения   на   геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу   и   отстоящей   от   точки   А   на   расстояние   ,   т.е.   серединного d  a 2 перпендикуляра к отрезку АВ. IV. Этап первоначального освоения метода  Цель этапа ­ формирование основных компонентов метода координат при решении задач, а именно    выбор данных, позволяющих определить возможность применения метода. Координатный метод предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих   применению   данного   метода   на   практике.   Проанализируем   решение нескольких задач. В процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование. Задача №1.  В  треугольнике  ABC:  AC=b,  AB=c,   ВС=а,  BD  ­   медиана.   Докажите,   что .  2 BD  2 a 2 c   2 2 b 4 y B D O(A) Рис. 2 C x Выберем систему координат так, чтобы точка А служила началом координат, а осью Ох ­ прямая АС (рис. 2).   (умение оптимально выбирать систему координат, т. е. так, чтобы наиболее просто находить координаты данных точек). В  выбранной   системе   координат   точки   А,  С   и  D  имеют   следующие   координаты: ,0) и С(b,0)  А(0,0), D( b 2 (умение вычислять координаты заданных точек). Обозначим  координаты точки В через х и у. Тогда используя   формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными своими координатами, получаем:  х2+у2=с2 , (x­b)2+y2=a2 (1) (умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами) По той же формуле  2 BD  x (  . 2 )  2 y b 2 Используя формулы (1) находим х и у.  Они равны:  (2)  ;  2  b 2 c  x  2 a b2 y  2 c  2 ( c   2 2 a b4 . b 22 ) Далее,   подставляя   х   и   у   в   формулу   (2),   находим 2 c  2 BD  ( 2  b 2 a b2  b 2 2 ) 2  c  2 ( c   2 2 a b4 . b 22 ) . 2 BD  2 a 2 c   2 2 b 4 (умение выполнять преобразования алгебраических выражений) Задача   №2.  Найти   множество   точек,   для   каждой   из   которых   разность   квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная. Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А. (умение оптимально выбирать систему координат). Предположим АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0), В(а,0). (умение находить координаты заданных точек) Точка   М(х,у)   принадлежит   искомому   множеству   тогда   только   тогда,   когда  AM2­ MB2=b2 где b ­ постоянная величина (умение переводить геометрический язык на аналитический, составлять уравнения фигур). Используя формулу расстояний между двумя точками, получаем:  , ,  2 AM 2  x 2 y 2 MB  )ax( 2  2 y AM 2  2 MB  ax2  2 a  b (умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами),  или  . Данное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и b x  2 a a2 отстоящей от точки А на расстояние  .  d  2 ab a2 (умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ) Задача №3. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям. Найти большую диагональ, если сумма противоположных углов равна  , а основания равны а и b.  2 Направим   оси   координат   по   меньшей   диагонали   и одному из оснований (рис. 3).  (умение   оптимально   выбирать   систему координат). D Тогда   точка   А   имеет   координаты   (0,0),   точка   В   ­ (а,0), точка С ­ (0,c), точка D ­  (b,c).   (умение находить координаты заданных точек) у C О(А) В х Рис. 3 Пусть   ABC   и   ADC   острые углы в трапеции АВСD, тогда их сумма . Для вычисления длины большей диагонали BD надо найти значение с. Его равна   2 можно вычислить 2 способами. Первый ­ из прямоугольного треугольника АВС по формуле   tg  CO AB   находим   c  atg .   Второй   способ   из   прямоугольного треугольника ACD:  c  btg . Отсюда получили, что  c  atg  btg   (1) Из   равенства   (1)   находим   отношение   :   оно   равно   ­ ,   так   как   2tg .    2 b a ,   исходя   из   этого,   пользуясь   зависимостью   (1), Выразим   tg .   Он   равен   b a получаем  .  c  ab (умение выразить недостающие координаты через уже известные величины) Далее воспользовавшись координатной формулой расстояния между двумя точками, найдем длину BD.  (умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами) Она равна  . 2 a 2  b  ab3 Итак,   компонентами   умения   применять   координатный   метод   в   конкретных   ситуациях являются следующие умения: 1. аналитического на геометрический для другого; 2. переводить геометрический язык на аналитический для одного типа задач и с стоить точку по заданным координатам; 3. 4. 5. 6. 7. 8. находить координаты заданных точек; вычислять расстояние между точками, заданными координатами; оптимально выбирать систему координат; составлять уравнения заданных фигур; видеть за уравнением конкретный геометрический образ; выполнять преобразование алгебраических соотношений и др. V. Этап формирования метода в целом  Цель этапа   ­ обобщить отдельные умения, которые формировались в предыдущих этапах, в целостный метод координат при решении задач. На   данном   этапе   учащиеся   в   основном   пытаются   выполнять   задания   самостоятельно, используя те знания и умения, которые они получили на предыдущих этапах. Функция учителя заключается в побуждении учащихся к правильным шагам и выводам при помощи наводящих вопросов. Однако метод можно считать усвоенным только тогда, когда ученик сумеет применить его самостоятельно   в   задачах,   не   содержащих   в   условии   ни   каких   прямых   указаний   на использование этого метода. Поэтому существенным моментом обучения методу является формирование признаков выбора метода. Виды задач решаемых методом координат  Есть шесть основных ключевых задач: 1) Нахождение расстояния между двумя точками  2) Нахождение координат середины отрезка 3) Нахождение угла между двумя векторами 4) Нахождение угла между прямой l и плоскостью  5) Нахождение угла между плоскостями 6) Нахождение расстояния от произвольной точки до данной плоскости  : α Рассмотрим примеры задач на применение метода координат: Задача 1. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 равно 1. На сторонах AB, AD и СС1  взяты соответственно точки M, N и L, причем AM =   AN =   CL =  . В куб 1 4 1 4 1 2 вписан шар. Найти площадь сечения этого шара плоскостью, проходящей  через т. M, N и L» Решение: Введем прямоугольную систему координат так, что т. B – начало координат,  BM лежит на Ox, BC лежит на Oy, B C1 лежит на Oz.  Тогда A(1; 0; 0) B(0; 0; 0) C(0; 1; 0)  D(1; 1; 0) A1(1; 0; 1)  B1(0; 0; 1)  C1(0; 1; 1)  D1(1; 1; 1) N(1;  ; 0) L(0; 1;  ). 1 4 1 2 MB = AB – AM = 1 –    M(     =  3 4 1 4 3 4 ; 0; 0) Тогда   LM { 3 4  – 0; 0 – 1; 0 –  {1 – 0;  }  LN 1 4 1 2  – 1; 0 –   }.  1 2 Т.е.  { ; –1; – }  {1; – ; – }.  3 4 LN LM 1 2 Пусть т.P(x; y; z)  (MNL). Тогда  3 4 1 2 LP {x; y – 1; z –  }. 1 2 Составим уравнение плоскости (MNL). Для этого составим определитель: x 3 4 1 z1y     1 3 4   1 2 1 2 1 2  x 1 2 9 16 z  9 32  1 2 y  z 1 2 1 2  3 8 y   3 8 3 8 x  x 1 8 1 8 y  7 16 z  3 32 Тогда A =   B = –  C =  1 8 7 16 D = – . 3 32 1 8 Радиус вписанной в куб сферы равен половине ребра, т.е. R =  . Пусть т. О –  1 2 центр сферы. Тогда О ( ; ; 1 2 1 2 1 2 (MNL):   ).  Найдем расстояние от т. О до плоскости  Ax 0 d   A By  2  2 0 B Cz 0  C  2 D  1 8 *  1 2  1  8  * 1 1 2 8 2   1  8    * 7 16 2      1 2 7 16     3 32 2  1 16  1 16  7 32  3 32 1 64  1 64  49 256  1 8 57 16  2 57 2  57 57 Сечение сферы является окружность. Пусть OP – расстояние от т. О до  плоскости (MNL), PQ – радиус окружности. Тогда OQ – радиус сферы.  Т.к. OP – расстояние, то OP – прямоугольный. PQ   OPQ В   OPQ  – прямоугольном, по теореме Пифагора 2 OQ  OP 2  2 PQ  2 PQ  2 OQ  2 OP    1 2 2       2 57 57  1 4 2    4 57  57 16  228 . Сечение  41 228 – окружность    площадь сечения  S сеч  PQπrπ 2 2  41π 228 .   Ответ:  . 41π 228 Задача 2. В круге с центром О проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD.   На   радиусе   ОВ   взята   точка   К   так,   что   ОК=ОВ,   ОМ= ОD.   Доказать,   что   точка 1 2 пересечения прямых СК и АМ расположена на данной окружности. Решение. Решается координатным методом. 1) За оси  координат выбираем  прямые  AB  и  CD. Пусть  R=1; тогда К( ;0);  М(0;­ ); 1 2 1 3 С(0;1); А(­1;0) и т.д. 2) Составим уравнение прямой СК и АМ y = 1­3x ;y = ­  ­ 1 2 x 2 3)  y y      1 2 ,31 x x 2    31 x  x  3 5 ; y 1 2   x 2 4 5 CK∩AM=P    3 5  ; 4 5    ,  найденная точка лежит на окружности.    3 5 2       4 5 2   1  Задача 3. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. y B C Дано: АВСД ­ равнобедренная трапеция A M 0 D x СД, АД­основания Доказать: ВД=АС. Доказательство: 1.Введем систему координат так, чтобы АД принадлежало оси ОХ, а концы основания были симметричны относительно начало координат. 2.Пусть ВМ=h, BC=2b, АD=2а. А(­a;0), D(­b;h), C(b;h), D(a;0). З. Найдем диагонали: BD y  ba     ( x 2 h 2 )  ( (  d 2 y b ) 2 x b ) d AC  ( x c  x a 2 )  ( y c  y a 2 )  (  ba ) 2  2 h ВС=АС, то есть диагонали равнобедренной трапеции равны.  . Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из    Задача 4 которых  ( AM 2  DM 2  ) ( BM 2  CM 2 )  2 AB y M(x;y) . B(-a;b) C(a;b) A-аa;0) 0 D(a;0) x РЕШЕНИЕ.  Дано: ABCD — прямоугольник точка М  AM ( 2 DM 2  ) ( BM 2  CM 2 )  2 AB Найти: множество точек, удовлетворяющих этому равенству. 1. Введем прямоугольную систему координат, чтобы точка А и D принадлежали оси ОХ, OA=OD= a; BA=CD=b. 2. А (­а;0); В (­а; b); С (а; b); D(a;0) . 3. Найдем расстояние от произвольной точки М (х; у) до точек А, В, С, D; ;     ; BM  (  ax ) 2  ( by  ) 2 AM  (  ax 2)  2 y CM  (  ax ) 2  ( by  ) 2 DM  (  ax 2)  2 y ;   . Точка М принадлежит искомому многоугольнику, значит, ее координаты удовлетворяют уравнению  2 ( ax   2 b ax ax by  by     ( ax  ) 2 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 y  (  (  2 ( y (  2 2 y  (2 by  ) 2  2 b 2 2 y  2 y  2 by 2  b b 2 ;  (b0) by  2 22 b y=b 4. Искомые множество точек лежат на прямой у = b, которая параллельна оси абсцисс. Этому условию соответствует прямая, содержащая сторону ВС прямоугольника ABCD. Ответ: прямая ВС. Задача 5. Высота треугольника, равная 10см., делит основание на два отрезка, равные 10см. и 4см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон. y A M Дано: АВС — треугольник, АН ­ высота. CH=10cM. ВН=4см. АН=10см. Найти: медиану, проведенную к меньшей стороне. x B                              C 0                                         Решение 1.Введем прямоугольную систему координат, чтобы основание ВС принадлежит оси ОХ, а АН принадлежит оси ОУ. 2.А(0;10), В(4;О), С(­10;О). З. Найдем АС и АВ: АС =  АВ = ( x 2  2 x 1 )  ( y 2  2 y 1 )  ( 10  2 )0  0( 2 )10  200  10 2 ( x 2  2 x 1 )  ( y 2  2 y 1 )  )04(  2  0( 2 )10  116  2 29  (см)  (см) АВ<АС, значит СМ­ искомая. 4. Используя формулы вычисления координат середины отрезка: Х=(0+4)/2=2, У=(10+0)/2=5. М(2;5) Значит, СМ= ( x 2  2 x 1 )  ( y 2  2 y 1 )  (2(   2 ))10  )05( 2  144  25  =13(см) Ответ:13см. Список использованной литературы 1. Габович И., Горнштейн П. Вооружившись методом координат// Квант. – 1978. ­ №11. – с. 42 – 47. 2. Гельфанд И.М. Глаголева Е.Г., Нириллов А.А. Метод координат. – М.: Наука, 1973. 3. Готман Э.Г. Скопец З.А., Решение геометрических задач аналитическим методом. – М.:  Просвещение, 1979. 4. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. — М.:  ФИЗМАТЛИТ, 2005.4. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Преобразования. Векторы. – М.:  Просвещение, 1964. – 303с. 5. Борзенко Е.К., Корнева И.Г. Решение стереометрических задач: Методические  рекомендации. – Бийск: РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005. – 60с. 6. Геометрия 10­11 кл.: учебник  для естественно­научного профиля. Под ред. Смирновой  И.М.– М.: Просвещение, 2003. 7. Глаголев, Н. А. Элементарная геометрия: стереометрия для 10­11 кл. ср. шк. в 2ч. – М.:  Просвещение, 1954. – ч. 2. 8. Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: