Методические рекомендации по организации самостоятельной работы обучающихся Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Корни. Степени. Логарифмы

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение   Самарской области     «Сызранский медико­гуманитарный колледж»  Методические рекомендации по организации  самостоятельной работы обучающихся Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Корни. Степени. Логарифмы. Автор – составитель: преподаватель Косырева Н.Л. г.о. Сызрань, 2017 год Математика:   алгебра   и   начала   математического   анализа,   геометрия.   «Корни. Степени. Логарифмы.». Учебное пособие Методические     рекомендации   по   дисциплине   «Математика:   алгебра   и   начала  разработаны   в   соответствии   с математического   анализа, «Рекомендациями   по   реализации   образовательной   программы   среднего   (полного)   геометрия»  образования   в   образовательных   учреждениях   начального   профессионального   и среднего профессионального образования,  в соответствии с федеральным базисным учебным планом и примерными учебными планами для образовательных учреждений Российской   Федерации,   реализующих   программы   общего   образования»   (письмо Департамента государственной политики и нормативно­правового регулирования в сфере образования Минобрнауки России от 29.05.2007 № 03­1180).  Методические рекомендации предназначены для обучающихся колледжа. 2 Оглавление. Введение Часть 1 § 1. Числовая функция, ее свойства и график §2. Степенная функция, ее свойства и график §3.. Корень  n­ степени и его свойства §4. Иррациональные уравнения Часть 2 §1. Показательная функция, ее свойства и график §2. Решение показательных уравнений §3. Решение показательных неравенств §4 Понятие логарифма. Основные свойства логарифмов §5. Логарифмическая функция , ее свойства и график. §6. Решение логарифмических уравнений §7. Решение логарифмических неравенств Список литературы и интерактивных материалов 4 5 9 14 17 26 26 29 35 37 38 41 45 3 ВВЕДЕНИЕ.            Настоящие методические  рекомендации по дисциплине «Математика: алгебра и   начала   математического   анализа,   геометрия»   предназначены   для   организации самостоятельной   работы   обучающихся   первого   курса   (на   базе   основного   общего образования) по разделу «Корни. Степени. Логарифмы».           Целью использования данных методических  рекомендаций является повышение эффективности  процесса обучения, формирование умения самостоятельно решать типовые задачи и применять полученные знания при решении прикладных задач.              Рекомендации включают в себя необходимые теоретические   материалы по разделу, образцы решения примеров и задач, контрольные задания разного уровня сложности для самостоятельного решения.   4 ЧАСТЬ 1. §1. ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК. Соответствие    Пусть даны два непустых подмножества D и Е множества R. Если каждому  элементу х из D сопоставляется по какому ­ либо правилу в соответствие элемент у  из множества Е, то этот способ называется соответствием между двумя множествами D и E.    Следует отметить, что в этом случае одному элементу из множества D может соответствовать несколько элементов из множества E. Функция Пусть даны два непустых подмножества D и Е множества R. Если каждому элементу х из D сопоставляется по какому ­ либо правилу один и только один элемент у из Е, то говорят, что на множестве D задана функция. Эта функция записывается в виде y = f (x) для любого  x    Следует заметить, что функция является частным случаем соответствия, при  котором одному элементу из множества D ставится в соответствие только один   D. 5 элемент из множества Е.   Подмножество D или D ( f ) называется областью определения (существования)  функции у = f (х), подмножество Е или Е ( f ) множеством ее значений. Переменная х  называют независимой переменной или аргументом, переменная y ­ зависимой  переменной, а соответствие такого рода между ними ­ функциональной  зависимостью.   Функция называется числовой, если ее область определения и множество значений ­  числовые множества, т. е. D(f)  R и E ( f )  R .   П р и м е р   1 . Каждому значению R радиуса шара соответствует одно  определенное значение объема шара  . [ 0, + ∞).  Следовательно,   объем   шара   является   функцией   радиуса   шара.   Областью определения   этой   функции   является   множество   D   =   [0,   +   ∞),   (отрицательные значения R исключаются, поскольку радиус не может быть отрицательным). Таким образом, V = f ( R ), R  Способы задания функции А н а л и т и ч е с к о е   з а д а н и е   ф у н к ц и и . Функция задана аналитически,  если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает  совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены,  чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.   При аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения.  Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью ее  определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет  смысл.   З а м е ч а н и е . Областью определения функций f (x) ± g (x), f (x)∙g (x); f (x)/g(x)  является пересечение областей определения составляющих функций, причем  последняя функция, кроме того, не определена в тех точках, где знаменатель  обращается в ноль g (х) = 0.   З а м е ч а н и е . Функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью  которой она задана. Например, функции y = x2, x  [2, 4]  выраженные одной и той же формулой у = х2, различны, так как имеют разные  области определения. (­ ∞, + ∞) , и y = x2, x    Функция может быть задана разными  формулами на различных участках области  определения. Пусть, например (рис. 5.1).    Две функции равны только в том случае, когда их области определения совпадают, и эти   функции   принимают   одинаковые значения   при   одних   и   тех   же   значениях аргумента.   А н а л и т и ч е с к и й   с п о с о б 6 его       малая является з а д а н и я   ф у н к ц и и   удобен тем,   что   значения   функции   можно вычислить   при   любых   допустимых значениях   аргумента.   По   заданному аналитическому выражению функции удобно   изучать   ее   свойства.   Однако недостатком   этого   способа   задания наглядность. функции   Г р а ф и ч е с к и й   и   т а б л и ч н ы й   с п о с о б ы   з а д а н и я   ф у н к ц и и .  Графиком   числовой   функции  у  =  f  (х)   называется   множество   точек   плоскости   с координатами (х; f (х)), абсциссы которых ­ числа из области определения функции, а ординаты ­ соответствующие значения функции, т. е.  Г = {(x; y)| x  D , y = f (х)}. Графический способ задания функции используют тогда, когда функцию трудно или  невозможно задать аналитически. График функции дает наглядное представление о  свойствах функции. Задать функцию графически ­ это значит построить ее график.   3 а м е ч а н и е . Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не  всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задает  функцию, если любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает ее не более чем в  одной точке.    П р и м е р   2 . Линия, заданная уравнением y2 = 2∙x, не является графиком  функции, постольку прямая, параллельная оси Oy, пересекает его в двух точках при  всех значениях х, кроме х = 0. Заданное уравнение эквивалентно двум уравнением,  каждое из которых определяет функцию рис. 5.2.  y = ± √2x. Верхний знак соответствует верхнейполовине параболы, нижний знак соответствует нижней   половине   параболы.   Обе   функции   определены   при  x  [0,   +∞).   П р и   т а б л и ч н о м   с п о с о б е   з а д а н и я   ф у н к ц и и  рядом с числовым значением   аргумента   выписывается   соответствующее   значение   функции.   Таблицы могут составляться также по значениям х и у, полученным из опыта или наблюдения. Для   построения   графика   по   аналитическому   выражению   функции   в   простейшем случае   также   составляется   таблица   значений   аргумента   и   функции.   Недостатком   табличного   способа   задания   функции   является   то,   что   в   таблице могут   быть   указаны   не   все,   а   лишь   отдельные   значения   аргумента   и   функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.  Четные и нечетные функции   Функция  у  =  f  (х)   называется  четной,   если   для   двух   произвольных противоположных   значений   аргумента   из   области   определения   значения   функции совпадают  f (− х) = f (х) для любого х  D (f).   График   четной   функции   симметричен   относительно   оси   Oy   так   как,   по определению,   вместе   с   любой   своей   точкой   (х;  у)   он   содержит   и   точку   (­  x,  y).   Функция  у   =   f  (х)   называется  нечетной,   если   для   двух   произвольных 7 противоположных   значений   аргумента   из   области   определения   значения   функции противоположны.  f (− х) = − f (х) для любого х  D (f).   График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (х; у) он содержит и точку (− х; − у).   Говорить о четности либо нечетности можно говорить лишь для тех функций,  области определения которых симметричны относительно начала координат. Монотонные функции   Функция   называется  возрастающей   на   отрезке  [а,  b],   принадлежащем   области определения функции, если любому большему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее значение функции  x2 > x1   Функция называется убывающей на отрезке [a, b], если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствуют меньшие значения функции  x2 > x1   Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке,  называются монотонными функциями. Участки возрастания функции на рисунке  отмечены синим цветом (в чёрно белом варианте более толстым форматом). Участки убывания отмечены красным цветом (в чёрно белом варианте более тонким   → f (x2) < f (x1) для любого х1, x2  [a, b].  → f (x2) > f (x1) для любого х1, x2  [a, b]. форматом), рис. 5.3.  Понятие обратной функции     Если функция задана уравнением вида f (x, y) = 0, не разрешенным относительно у,  то она при некоторых условиях называется неявной функцией аргумента x.    Пусть задана некоторая функция у = f(х), которая каждому элементу из множества  D (f) ставится в соответствие один элемент из множества Е ( f ). Если обратное  соответствие есть тоже функция, то есть, каждому значению у  E   ( f )  соответствует единственное значение х  D ( f ), то ее называют обратной функцией  по отношению к функции f (х).    В этом случае соотношение у = f (х) определяет х как неявную функцию от у. Если  это соотношение разрешимо относительно х, то получим явное выражение обратной  функции: х = g (у).   Если функция g является обратной по отношению к функции f, то и функция f  является обратной по отношению к функции g, т. е. эти две функции ­ взаимно­ обратные. 8 Одна и та же кривая у = f (х) представляет собой график функции у = f (х) и график  обратной функции х = g (у) (если она существует), но в последнем случае значения  аргумента рассматриваются на оси Оу, а значения функции ­ на оси Ох.   Если придерживаться стандартных обозначений и независимую переменную  обозначать через х, а функцию − через у, то функция, обратная по отношению к у = f  (х), запишется в виде у = g (х). В этом случае график функции у = g (х) симметричен  графику функции у = f (х) относительно прямой у = х − биссектрисы I и III  координатных углов.   Для взаимно ­ обратных функций имеют место следующие соотношения  D ( f ) = E ( g ), E ( f )= D (g), т.   е.   область   определения   данной   функции   совпадает   с   множеством   значений обратной функции, и наоборот.  .  Вопросы для самопроверки 1. Что такое  числовая функция, ее область определения, область значения? 2. Перечислите способы задания функции.  3. Что называется графиком функции?  4. Сформулируйте определение четной (нечетной) функции.  5. Сформулируйте определение возрастающей (убывающей) функции.  6. Что такое обратная функция? Контрольные задания  1 ). 1. Функция задана формулой f(х) = ­ 5х – 2. Найдите: а) f(0); б) f(2); в) f(­ 3); г) f( 2 2. Известно, что g(х) = 12 – 4х. Найдите значение х, при котором: а) g(х) = 0; б) g(х) = 6; в) g(х) = ­ 8. 3. Найдите область определения функции, заданной  формулой: а) у = 4х – 6; б) ó  6  õ ó . 3  õ 8 ; в)  4. Функция задана формулой f(х) =  ). 5.   Найдите   область   определения   функции,   заданной   формулой:   а)   . Найдите: а) f(0); б) f(2); в) f(­ 3); г) f( 2õ 5 õ  2 7 1 2  1 2 х 4  х . 1 у 6.   Постройте   график   функции   у   =   х   +3.   При   каких   значениях   х   выполняется неравенство  7.    С   помощью   формул   описано   изменение   температуры   воды   в   баке  (в  0С)   как функции времени t (в минутах):            у 5 ? 0 у  5 ;   б)  х 2                     2t + 20, если 0 ≤ t < 40, p =       100, если 40 ≤ t < 60, 9 2 3 t + 140, если 60 ≤ t ≤ 150. Найдите: р (20); р (40); р (50); р (60); р (90). Постройте график функции р = f (t). Какой физический смысл имеет рассматриваемый процесс в каждом из промежутков [0;40], [40;60], [60;150]? §2. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК. Вы знакомы с функциями y=x, y=x2, y=x3, y=1/x и т. д. Все эти функции являются  частными случаями степенной функции, т. е. функции y=xp, где p ­ заданное  действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с  действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет  смысл степень xp. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в  зависимости от показателя степени p. Показатель p=2n ­четное натуральное число.  В   этом   случае   степенная   функция y=x2n,   где n ­   натуральное   число,   обладает следующими  свойствами:  область определения ­ все действительные числа, т. е. множество R;   множество значений ­ неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;   функция y=x2n  четная, так как x2n=(­x)2n   функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на  промежуткеx>0.  График функции y=x2n имеет такой же вид, как например график функции y=x4. Показатель p=2n­1­ нечетное натуральное число. 10 В этом случае степенная функция  y=x2n­1 , где натуральное число, обладает  следующими свойствами:  область определения ­ множество R;   множество значений ­ множество R;   функция y=x2n­1 нечетная, так как (­x)2n­1=x2n­1;   функция является возрастающей на всей действительной оси.  График функции y=x2n­1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x3.         Показатель p=­2n, где n ­ натуральное число. В этом случае степенная функция y=x­2n=1/x2n обладает следующими свойствами:  область определения ­ множество R, кроме x=0;   множество значений ­ положительные числа y>0;   функция  y=1/x2n четная, так как 1/(­x)2n=1/x2n;   функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на  промежутке x>0.  График функции y=1/x2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x2.  Показатель p=­(2n­1), где n ­ натуральное число. В этом случае степенная функция y=x­(2n­1) обладает следующими свойствами:  область определения ­ множество R, кроме x=0;  11  множество значений ­ множество R, кроме y=0;   функция y=x­(2n­1) нечетная, так как (­x)­(2n­1) =­x­(2n­1);   функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.  График функции y=x­(2n­1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x3. СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ 1. a0 = 1 для любого числа a, не равного 0.  Например: (1,17)0 = 1, (–2)0 = 1. 2. a1 = a для любого числа a. Например: 71 = 7.   (ab)n = anbn  для любых допустимых чисел a, b и n.  3. Например: (3 ∙ 0,3)1,7 = 31,7 ∙ (0,3)1,7 4.  для любых допустимых чисел a, b и n.  Например:  . 5.  для любых допустимых чисел a и n.  Например:  6. для любых допустимых чисел a, b и n.  12 Например:  . 7. anam  =  an+m  для любых чисел n и m. Например: 31,2 ∙ 30,8 = 31,2+0,8 = 32 = 9. 8. или, что то же самое, an : am = an–m... Например: 41,1 : 40,1 = 41,1­0,1 = 41 = 4.  Теперь покажем на примерах, как применять свойства степеней для вычислений.  Пример 1. Вычислить:            Решение. Переведем смешанные и десятичные дроби в обыкновенные:    и . Пользуясь свойствами степеней, получим:       =   Ответ:  . Пример 2. Вычислить:     . Решение. Упростим сначала выражение в числителе дроби Упростим выражение в знаменателе дроби: = 1 – 10 = – 9. = 9 – 3 = 6. 13 Дробь равна   = – 1,5. Ответ: – 1,5.  Перечислите свойства степенной функции c показателем степени 2n ­1. Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте  определение степенной функции. 2. Перечислите свойства степенной функции c показателем степени 2n.  3. Постройте график степенной функции c показателем степени 2n.. 4. 5. Постройте график степенной функции c показателем степени 2n ­1. 6. Перечислите свойства степенной функции c показателем степени ­ 2n.  7. Постройте график степенной функции c показателем степени ­2n. 8. Перечислите свойства степенной функции c показателем степени –(2n ­1). 9. Постройте график степенной функции c показателем степени –(2n ­1). 10.Перечислите свойства степени с действительным показателем. Контрольные задания  1. Вычислить    2. Вычислить      3. Найдите значение выражения  4. Найдите значение выражения  . 5. Найдите значение выражения  6. Найдите значение выражения  . 7. Найдите значение выражения:  . . §3. КОРЕНЬ n–НОЙ СТЕПЕНИ И ЕГО СОЙСТВА. 14 Напомним основные свойства арифметических корней (иногда их называют  свойствами корней n­ой степени). Все они верны и для квадратных корней, так как  :   для     и   .  Это важнейшее свойство, которое позволяет переходить от корней к  рациональным степеням. После такого перехода можно пользоваться всеми  свойствами степеней.     для    ,   и       для        для     ,    ,       для        для        для      ,    ,       и       для        и    .    и      и        и        и     .     . . . . .     для   любого числа а и нечетного числа    . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.   Покажем на примерах, как используются свойства корней и рациональных степеней в вычислениях. Пример 1. Вычислить     . Решение. 1) Упростим сначала первую часть выражения.  Используя свойство №2, получим     Теперь применим свойства №6 и №5:  Применим теперь свойство №2:  В итоге мы получили:  2) По свойству №6:  . .   . . Подставим результаты вычислений из 1) и 2) в выражение 15 Здесь мы использовали свойства № 2 и № 8 арифметических корней.  Ответ: 2. Во многих задачах удобно заменить арифметические корни рациональными  степенями по свойству №1. Решим предыдущий пример, перейдя от корней к  рациональным степеням. Решение.  Перейдем от корней к рациональным степеням, начиная с самых  внутренних корней:  ; . Подставим полученные результаты в выражение: Ответ: 2.  . Решим более сложный пример. Основной метод — переход от арифметических  корней к рациональным степеням. Затем широко используются свойства степеней.  Пример 2. Найти значение выражения  Решение. Разложим числа, встречающиеся в условии задачи, на простые множители:  54 = 6 ∙ 9 = 2∙3∙3∙3= 3∙33 128 = 27 15 = 3 ∙ 5 4 = 22 32 = 25 9 = 32 16 162 = 2 ∙ 81 = 2 ∙ 34  Вычислим выражение в числителе дроби. Перейдем от арифметических корней к  рациональным степеням: Вычислим выражение в знаменателе дроби: Находим значение дроби: Ответ:  Контрольные задания  1. Найти значение выражения     2. Найти значение выражения    §4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.  Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называется  иррациональным. 17 К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида: )( хА  ( хВ ), )( хА  )( хВ .       Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к  рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному  иррациональному уравнению, либо является его следствием. При решении  иррациональных уравнений речь всегда идет об отыскании действительных корней.  Область допустимых значений иррационального уравнения состоит из тех значений  неизвестных, при которых неотрицательными являются все выражения, стоящие под  знаком радикала четной степени. Иррациональные уравнения решаются, в основном возведением обеих частей  уравнения в натуральную степень, то есть переходом от уравнения  )( xg                                                     (1)  ([ xg )] n , nNn  ,  2 .                                       (2) к уравнению xf )( n )] Справедливы следующие утверждения: ( xf [ ,  2 1) при любом  1) если  2  k 2  (n – четное число),  то уравнение  (2)  равносильно уравнению 2) если   (n – нечетное число),  то уравнения  (1)  и  (2)  равносильны;  уравнение  (2) является следствием уравнения (1);  nNn 1 n n k )( xf  )( xg ,                                                   (3) а уравнение (3)  равносильно совокупности уравнений   )( xf ( xg ), )( xf )( xg .                                         (4) В частности, уравнение равносильно совокупности уравнений (4).  Пример 1. Решить уравнение  [ ( xf )] 2  ([ xg )] 2                                           (5) 3 2 x  x  x 2 . 1 Решение.  Согласно теореме 2, возводить в квадрат можно обе части уравнения, только если они обе неотрицательны, т.е. уравнение равносильно системе    x 2   1    3 x 2  x x  01 2     2 x 2 x  x 03  1 откуда следует что  этом  грамотное решение не требует проверки. , а корень  1x 3x 2  не удовлетворяет второму неравенству. При 1x Ответ:  Пример 2. Решить уравнение        .  9 2 x  3 x  6 6 x  24 . Решение. Это уравнение равносильно системе  6 x  .0 9 2 x  6 x  3 24      6 x  ,24 18 Решая   первое   уравнение   этой   системы,   равносильное   уравнению   ,  02 .   Однако   при   этих   значениях  x  не   выполняется   и   , и потому данное уравнение не имеет корней. получим   корни    неравенство  x x 1 1  0 24 2 x 2 6 x x   2 Ответ: корней нет. Пример 3. Решить уравнение Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение 2 x  5 x  2 2 x  3 x  3 3 . 2 x  5 x  2 2 x  3 x  33 , равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, так как  они обе положительны, получаем уравнение 2 x  5 x  92  4 x 2  3 x x  35   63 2 3 x x  3 x  3  2 x  , 3 которое   является   следствием   исходного   уравнения.   Возводя   обе   части   этого уравнения в квадрат при условии, что   , приходим к уравнению  x 05 4 Это   уравнение   имеет   корни   ,   x 2 .   Первый   корень   удовлетворяет 2 16 x  40 x  25 3 x  )3        7 2 x  13 x  02 .  2 (9 x 1 x 2 1 7 исходному условию   4 x 0 5 Ответ:  2x . , а второй – не удовлетворяет. Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод  введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в  случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой­ нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно  введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. 1 1   x x 16 16   x x  5 3 .        Пример 4.   Решите уравнение            Решение:    Сделаем замены:   перепишется в виде    возводя обе части уравнения   Отсюда  х = 15 .  Осталось сделать проверку:    14  14  ba ba 5 3 ,      16        0 1 a x x 15 15 16 16 15 15 1 1      Ответ:   15 .  b x  .  Исходное уравнение  0   ,   откуда находим, что   а = 4b   и    в квадрат, получаем:     16 4 1 x  1   .   Далее,  .   x 16(16 x  )  0a  5 3   ­ верно! 19 Пример 5. Решить уравнение  x x , получим существенно более простое иррациональное  2 u x x .   Возведем   обе   части   уравнения   в   квадрат:   7 2 21 u 2  )21 Решение. Положив   u 2 u 2  2( )7 u уравнение    u (   21  2 2 7 2 2 u x x x x .  2 2 2 . Далее последовательно получаем:  u u   21 2 u 2 u 7 u ;         14 36 22 0  22 2  u 9 7  u 9 u 2 u  ;         u 2 1 u ;           2 u ,  7 ;  6 u 11 2 . Проверка найденных значений их подстановка в уравнение  показывает, что  1 u 2  – корень уравнения, а  u 2 11 Возвращаясь   к   исходной   переменной  x,   получаем   уравнение   квадратное уравнение  Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.  02  x x 2 , решив которое находим два корня:  u u 2   7  – посторонний корень. ,   то   есть  x 2 1 x . 2 1 x 2 21 2 u  x , 2 Ответ:  1 x 2 ,  x 2 1 . Замена   особенно   полезна,   если   в   результате   достигается   новое   качество, например, иррациональное уравнение превращается в рациональное. Пример 6. Решить уравнение   ( x  )(5 x  3)2  ( xx  0 )3 . Решение. Перепишем уравнение так:   x 3 Видно, что если ввести новую переменную  y  x 2 2 x ,3 x  ­ посторонний корень и   10  3 2   x 3  0 x  0 y 2 y 2 . , то уравнение примет . вид  2 y 10  y 3  0 Из уравнения  , откуда   x x 3 2 y 1 2 5  получаем  x 1 4 ,  2 x 1 .  4 x 1 Ответ:  Пример 7. Решить уравнение   2 x 1 ,  .  2 x 1  x 1  2 .  1  1 x  2 1 x  2 1 x  1 x Решение. Введем новую переменную     В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного y   0 0y  ,  2 1 y y y .  2 , 2 y 20 откуда   учитывая   ограничение   0y ,   получаем   2y .   Решая   уравнение    2 x 1  x 1  2 , получаем корень  Ответ:  .5,2 5x 2 .  m ax  n          Уравнения вида     (здесь  a,  b,  c,  d  – некоторые числа,  m,  n  – натуральные   числа)   и   ряд   других   уравнений   часто   удается   решить   при   помощи введения двух вспомогательных неизвестных:     и , где   последующего перехода к эквивалентной системе рациональных уравнений.  , zy 0      и   axm cxn cx d p d b b y z Пример 8. Решить уравнение     4 47  2 x 4  35  4 2 x . Решение.   Возведение   обеих   частей   этого   уравнения   в   четвертую   степень   не , то исходное обещает ничего хорошего. Если же положить   уравнение переписывается так:  . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее  y  и  z. Для этого возведем равенства y  в четвертую степень и заметим, что   z 4 z  4  4 35 47 82 47 35 ,     ,    2 2 2 2 x x x y y y x z z .   4 4 4 4 Итак, надо решить систему уравнений       y y  ,4 z 4 4  z ;82 Возведением в квадрат получаем:             yz После подстановки    22    256 yz 64 zy 4 t     имеем:    2 2   64 174 t t  16 y yz 2 y z z 4 4 2 2 . 22  zy  2 0 t  3   или    система   3  4 z не имеет решений. yz y     имеет два решения:  1 y 1 ,  1 z 3 ;  2 y 3 ,  2 z 1 Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным   4    дает       Первая из них дает    ,1  .3     и систему    47 35 2 2 x x     4 4 47 4 35 2 x   x 2 ,3  x 2 1 . 23 Ответ:  x 1 17 ,  2 x 23 . 29t    . Тогда  yz 29  y 4 z , а система  x 1 17 , вторая   Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений.  1  Пример 9. Решить уравнение   Решение. Умножим обе части уравнения на одну и ту же функцию   x 1   называется сопряженным для выражения   . )( xh 1 . Цель такого   x Выражение     11  x 1 4 1 1 1 1 1 x x x . 21 умножения   ясна:   использовать   тот   факт,   что   произведение   двух   сопряженных выражений уже не содержит радикалов.  x  x   В результате этого умножения и очевидных преобразований приходим к уравнению совокупности   уравнений  1  ,0  x 1   равносильно     которое  0  3  .03 14 14 x x x ,   Уединив первый радикал второго уравнения совокупности, возведем его в квадрат и, с учетом ОДЗ, получим    x  1(16 1  x 1 ,1  x )  24 1  x 9       17 24 x  1 x ,1 24 1  x        24 2   1  x . 2 x    17 24  1 x 1  24 x 17  .0 Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить,   пусто.   Следовательно,   уравнение что   пересечение   множеств   1;1   и   ;   24 17     1  x 14  x  0  3  имеет 1  x 14  x  03  решений не имеет. Значит, уравнение  x единственный корень  0x . Подстановка в исходное уравнение показывает, что  Впрочем, здесь можно было обойтись и без подстановки: функция    – корень. 0x   нигде в   и   поэтому   умножение   обеих   частей   уравнения   на   эту   функцию   не   приводит   к   появлению   посторонних )(xh   x нуль   не   обращается, 1 4 решений.  11  1 1 x x Ответ:  0 . Пример 10. Решите уравнение  2 3 x  5 x  8 2 3 x  5 x  11 Решение: Выберем функцию   xh   2 3 x  5 x  8 2 3 x  5 x  0 1 Умножим обе части уравнения на выбранную функцию: 2 3 x  5 x  38 x 2  5 x  1 2 3 x  5 x  8 2 3 x  5 x  1 Приведем подобные слагаемые и получим равносильное уравнение 2 3 x  5 x  8 2 3 x  5 x  7 1 Сложим исходное уравнение и последнее, получим 2 3 x  5 x  4 8 x 1  ,1 x 2  2     2 3 . 22