Методическое пособие для решения задач на "смеси и сплавы" (алгебра 9 класс)

Методическое пособие (сборник задач)  «Решения задач на смеси, сплавы, растворы». 2018 г. 1 Содержание: 1.   Теоретические   основы   решения   задач   «на   смеси,   сплавы, растворы»…………….………….…………………………...…................................3 1.1. Основные понятия……………………………………………………………….3 1.2.Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси……………………..3 1.3. Способы решения задач…………………………………………………….......4  2. Примеры решения задач различными способами……………………………...4 2.1. Решение задач помощью таблицы……………………………………………..4 2.2. Решение задач с помощью математической модели…………………...…......7 2.3. Старинный способ решения задач ……………………………………….……9 2.4. Решение задач с помощью квадрата Пирсона…………………………...…..11 3. Задачи ……………………………………………………………………………14 4. Решения………………………………………………………………………......17 5.Дидактический материал (для самостоятельной работы)……………………30 2 1. Теоретические основы решения задач «на смеси, сплавы, растворы» 1.1. Основные понятия Перед тем, как приступить к объяснению различных способов решения подобных задач, примем некоторые основные допущения:   Все получающиеся сплавы или смеси однородны При   решении   этих   задач   считается,   что   масса   смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов Определение:  Процентным   содержанием   (концентрацией)   вещества называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Зачастую концентрация   определена по массе, но иногда может быть определена   и   по   объему.   Но,   как   показывает   практика,   не   всегда   сумма объемов смешиваемых веществ равна объему их смеси. Поэтому чаще всего мы будем находить процентное содержание по массе. Еще одно замечание по поводу терминологии такие понятия, как: процентное содержание вещества концентрация вещества массовая доля вещества    будем считать синонимами. 1.2Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:  1) изучить условия задачи; 2) выбрать неизвестную величину (обозначить ее буквой); 3) определить все взаимосвязи между данными величинами; 3 4) составить   математическую   модель   задачи   (выбрать   способ   решения задачи,   составить   пропорцию   или   уравнение   относительно   неизвестной величины) и решить ее; 5) провести анализ результата.        1.3  Способы решения задач Для решения задач на смеси и сплавы существуют много различных методов: алгебраический, арифметический, графический, способ расчета по формуле, при помощи   универсальной   таблицы,   метод   «креста»   (конверт   Пирсона),   метод «рыбки», метод «стаканчиков», при помощи прямоугольников и др.  2. Примеры решения задач различными способами Рассмотрим   некоторые   способы   решения   задач   на   смеси,   сплавы   и растворы.  Задачи   легко   решаются,   если   применить   графическую   иллюстрацию. Сначала рассмотрим самый распространенный способ решения задачи, где для успешного решения задачи, условие представляют в виде таблицы. 2.1   Алгебраический   способ   (Решение   задач   с   использованием таблицы)  (с помощью составления уравнения или системы уравнений) При   решении   большинства   задач   этого   вида,   удобнее   использовать таблицу, которая   нагляднее   и   короче   обычной   записи   с   пояснениями.   Зрительное восприятие   определенного   расположения   величин   в   таблице   дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи.  Рассмотрим решения задач с применением таблицы 4 Таблица для решения задач имеет вид Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов % содержание вещества (доля содержания вещества) Масса раствора (смеси, сплава) Масса вещества Задача №1Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? Решение: Наименование % содержание веществ, растворов, смесей, сплавов Первый сплав Второй сплав меди (доля содержания вещества) 15%=0,15 65%=0,65 Масса раствора (смеси, сплава) хг (200 – х)г Получившийся 30%=0,3 200 г сплав Масса вещества 0,15*х 0,65*(200–х)=130– 0,65х 200*0,3=60 Сумма масс меди в двух первых сплавах равна массе меди в полученном сплаве: 15,0 x  130  65,0 х  .60 Решив это уравнение, получаем  х=140. При этом значении  х  выражение   200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г Ответ: 140 г, 60г. Задача №2 Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другом 2:3. Сколько нужно взять   каждого   сплава,   чтобы   получить   15   кг   нового   сплава,   в   котором золота и серебро относилось бы как 1:4? 5 Теперь внесем данные в таблицу: Наименование % содержание веществ, растворов, смесей, сплавов Первый сплав: золото серебро Второй сплав: золото серебро Новый сплав: золото серебро меди (доля содержания вещества 0,1 0,4 0,2 Масса раствора (смеси, сплава) Масса вещества Х кг (15­х) кг 15 кг 0,1х кг 0,4*(15­х) кг 0,2*15=3 кг Решение: Сумма масс золото в двух первых сплавах равна массе золота в новом  сплаве 0,1х+0,4(15­х)=3 х=10кг m(1сплава)=10кг m(2сплава)=5кг Ответ: 10 кг и 5 кг. Если в условии задачи описаны несколько вариантов смесей, то  составляется система, содержащая два уравнения. Задача 5.  Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда   смешать   с   содержимым   третьего   сосуда,   то   получим   в   смеси   55   % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то 6 получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем. Решение: Наименование веществ, смесей Масса раствора (смеси, сплава) % содержание вещества (доля содержания М, кг вещества) m / M * 100% Масса вещества M, кг 0,7∙4=2,8 0,4∙6 = 2,4 0,01ху 0,55(4+х) = 2,8+0,01ху 0,35(6+х) = 2,4+0,01ху I сосуд II сосуд III сосуд 4 6 х I и III сосуды 4+х 70 %  40 %  у %  55 %  II и III сосуды 6+х 35 %  Итак, получаем систему уравнений : Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации. 7 2.2Решение задач с помощью математической модели Графические иллюстрации к условию задач помогают найти правильный  путь к ответу на вопрос задачи. Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками,   а   знак   «=»   между   вторым   и   третьим   прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид: Решим задачу №1 данным способом. Задача №1Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели­схемы: Решение: Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200­х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему: 8 Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства): 15,0 x  65,0   200  x  3,0 .200 Решив это уравнение, получаем  х=140. При этом значении  х  выражение 200­х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго­60г. Ответ:140г. 60г. Задача   №3Сколько   граммов   воды   нужно   добавить   к   180   г   сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%? 0,75180+х=0,8(180+х); 135+х=144+0,8х; 0,2х=9; х=45. Ответ: 45 г. 2.3 Старинный способ решения задач  9 Ввиду большой простоты предложенный  способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных   руководствах   для   мастеров   и   торговцев   никаких   обоснований   и разъяснений   не   приводилось.   Просто   давался   рецепт   решения:   либо,   как   в   либо   словесно   описывалась предыдущей   задаче,   рисовалась   схема, последовательность действий — поступай так и получишь ответ. Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия   Магницкого.   Замечательный   русский   математик   и   педагог   Леонтий Филиппович   Магницкий   (1669­1739)   фамилию   свою   получил   от   Петра  I  за умение притягивать к наукам молодых людей.  М1 – масса раствора с меньшей концентрацией  a1­меньшая концентрация раствора М2 – масса раствора с большей концентрацией a2­большая концентрация раствора М1+ М2 – масса конечного раствора a3 ­ концентрация конечного раствора a1