Методы решений логарифмических уравнений

Название метода

Вид уравнения

Пример

Решение

Применение определения логарифма

Потенцирования

Переход от уравнения  к уравнению .

Применение основного логарифмического тождества

Переход от уравнения  к уравнению .

Метод введения новой переменной

Метод логарифмирования

Обе части равенства или неравенства, если они положительные, то можно прологарифмировать по одному основанию

Метод замены множителей

Позволяет решать неравенства повышенной сложности свести к решению рациональных неравенств. В основе метода лежат два равносильных утверждения:

1)Функция  есть строго возрастающая, тогда и только тогда, когда для любых значений  и  из области определения функции ( совпадает по знаку с разностью (

2)Функция  есть строго убывающая, тогда и только тогда, когда для любых значений  и  из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью (

Решение уравнений и неравенств за счет свойств, входящих в них функций

Использование ограниченности функции

Пусть левая часть уравнения  есть сумма нескольких функций , каждая из которых неотрицательна для из области ее существования. Тогда уравнение  равносильно системе уравнений:. Суть рассматривания подхода к решению уравнений и неравенств состоит в следующем: Пусть множество  есть общая часть (пересечение) областей существования функции и ,  и пусть  справедливы неравенства  и , где ,– некоторое число. Тогда уравнение  или неравенство  равносильно системе уравнений: .

Пример:

Решение:

Использование монотонности функций

Непрерывная функция  называется строго монотонной, если при  выполняется условие  или , т.е. в случае строгой монотонности неравенство для значений функции так же строгое.

Решение уравнений и неравенства с использованием строгой монотонности основано на утверждениях:

Если  – непрерывная, строго монотонная функция на интервале , то уравнение   может иметь не более одного решения на этом интервале.

Если  и  – непрерывны на интервале , и имеют в нем разный характер строгой монотонности (одна из функций возрастает, другая убывает), то уравнение  может иметь не более одного решения на этом интервале.

В случае, когда определить характер или интегралы монотонности функции из общих соображений не удается, то такая задача решается с использованием производных.

Пример:

Решение:

. Функция является непрерывной и строго возрастающей. Так как , то  из множества  удовлетворяет исходному неравенству.

Использование числовых неравенств

Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения (неравенства) позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений. Часто применяется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим: , где  (причем равенство здесь возможно лишь при ), и его следствия:  (причем

ОДЗ этого уравнения есть все действительные числа. Переписав левую часть уравнения в виде: , замечаем, что она не меньше 4, как сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при  она равна 4. В то же время правая часть при  также равна 4,  меньше 4. Следовательно,  есть единственное решение уравнения.