ВЫПУСКНАЯ РАБОТА

Тема: «Логарифмические  и показательные неравенства»

 

 

 

 

 

 

Учитель: Попович М.А. – преподаватель математики ГАОУ СПО «Бузулукский строительный колледж» г. Бузулука Оренбургской области,   категория  - высшая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение. 3

Теоретическая часть. 4

Теоретическая часть. 4

§1. Показательные неравенства. 4

§2 Логарифмические неравенства. 4

§3. Метод замены множителей. 5

§4. Задания ЕГЭ.. 6

Заключение. 12

Литература. 13

 

 

 

Введение

Важной  составляющей среднего профессионального образования  является  естественно – математическая подготовка. Большое внимание уделяется профессиональной направленности предмета,  так как студенты ориентированы на получение профессии. Поэтому на занятиях не уделяется должного внимания тем разделам математики, которые выносятся на ЕГЭ.

Однако некоторые  выпускники колледжа поступают в высшие учебные заведения, и вот здесь-то и требуются результаты единого государственного экзамена. 

Актуальность темы  выпускной работы связана с тем, что на данный момент задание  на решение  показательных и логарифмических неравенств, а также систем неравенств,  включено в  ЕГЭ (С3).

Цель работы: рассмотреть приемы решения  логарифмических и показательных неравенств, а так же систем, содержащих показательные и логарифмические функции.

Прежде чем приступить к решению систем логарифмических и показательных неравенств, необходимо научиться решать каждый из этих типов неравенств в отдельности. В частности разобраться с тем, как находится область допустимых значений, проводятся равносильные преобразования логарифмических и показательных выражений. При этом необходимо осознавать, что решение системы неравенств  не всегда сводится к решению отдельно каждого неравенства и пересечению полученных промежутков. Иногда, зная решение одного неравенства системы, решение второго значительно упрощается.

Работа содержит приемы решения показательных и логарифмических неравенств, а также метод замены множителей, позволяющий рационализировать  решение неравенств данного вида. В практической      части приведено решение заданий  вида С3.

 
Теоретическая часть

§1. Показательные неравенства

Решение показательных неравенств вида , где а – положительное число отличное от 1, основано на следующих теоремах:

Если а >1, то неравенство  равносильно неравенству .

Если 0 < а < 1, то неравенство равносильно неравенству .

Другие показательные неравенства теми или иными методами, как правило, сводятся к неравенству этого вида.

§2 Логарифмические неравенства

Любое логарифмическое неравенство может быть, в конечном счете, сведено к неравенству вида

…….(1)

Решение такого неравенства основывается на следующих теоремах:

Теорема 1. Если а > 1, то неравенство вида (1) равносильно системе неравенств:

Теорема 2. Если 0 < а < 1, то неравенство вида (1) равносильно системе неравенств:

Замечания:

-  Первые два неравенства систем задают область допустимых решений неравенства (1).

- В системе из теоремы 1 можно опустить первое неравенство, так как оно следует из второго и третьего. Аналогично в системе из теоремы 2 можно опустить второе неравенство.

Также при решении логарифмических неравенств полезно помнить следующие свойства:  

-                   При основании, большем единицы, большему числу соответствует   и больший логарифм, при  этом логарифмы чисел, больших  единицы, положительны, а логарифмы чисел, меньших  единицы, отрицательны.

-                   При основании, меньшем единицы, большему числу соответствует меньший логарифм, при этом логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а логарифмы чисел, больших единицы, отрицательны.

§3. Метод замены множителей

Решение неравенств повышенной сложности, содержащих  показательные, логарифмические функции, а также их комбинации, стандартными методами часто оказывается весьма сложным и громоздким. Одним из эффективных и доступных методов решения таких неравенств и их систем является метод замены множителя (МЗМ). Суть данного метода состоит в том, чтобы с помощью равносильных преобразований заменить каждый множитель в области его существования на более простой множитель, в конечном итоге, рациональный и имеющий те же интервалы знакопостоянства (на множитель равного знака.)

Условие равносильности для показательного неравенства :

1.    

2.     Æ

3.    

4.    

Условие равносильности для логарифмического неравенства :

 ó 

§4. Задания ЕГЭ

Задание 1.  Решите неравенство   (№ 17 «Демонстрационный вариант контрольно измерительных материалов единого государственного экзамена 2015 по математике. Профильный уровень)

Решение: 

Найдем область  допустимых значений

  ó     =>  

Используя свойства логарифмов преобразуем левую часть  неравенства:

1.                

2.                

3.                

Получаем неравенство

Видим, что 

Определим знак левой части неравенства на ОДЗ.

При 0<x<1 получаем log_х(2-х)<0, следовательно, для всех х из данного промежутка  неравенство верно.

При 1<x<2 получаем log_х(2-х)<0, следовательно, для всех х из данного промежутка  неравенство верно.

Таким образом, решение исходного неравенства (0; 1) и (1; 2)

Задание 2. Решите систему неравенств (Вариант  12, С3. «Математика. Типовые тестовые задания» Под редакцией А.Л. Семенова, И. В. Ященко, 2014г)

Решение:

Способ 1. Решим первое неравенство системы

, выполним замену  2х=t>0 и решим квадратное уравнение

Выполняем обратную замену, получаем х1=3,  х2=2.

Решение данного неравенства  .

Решим второе неравенство системы:

Найдем область допустимых значений

С учетом решения первого неравенства системы, получаем 

Второе неравенство системы верно только при x=3, так как при х>3  оба множителя положительны и неравенство неверно.

Ответ: х=3

Способ 2.

Решение первого неравенства системы   .

Решим второе неравенство системы:

Найдем область допустимых значений

Используя метод замены множителя, получаем

 

Учитывая решение первого неравенства и ОДЗ, получаем, что при х>3  каждый множитель произведения положителен, поэтому данное неравенство выполняется, если х=3.

Ответ: х=3

Задание 3. Решите неравенство  (Вариант 14, С3.  «Математика. Типовые тестовые задания»  Под редакцией А.Л. Семенова, И. В. Ященко, 2014г)

 Решение: Найдем область допустимых значений

  =>   х(-4; -3) U(-3; 3) U(3; 5)

     ó .

Решаем первую систему совокупности неравенств

Решаем первое неравенство системы:   ó  ó   ó ó 3<|x|<5 . С учетом ОДЗ  получаем решение

х(-4; -3) U(3; 5)

Решаем второе неравенство системы:  ó 

Тогда решением  первой системы является  интервал (-4;  -3).

Решаем вторую  систему совокупности неравенств:

  ó  ó =>

Решением совокупности систем неравенств будет объединение полученных решений.

Ответ: (-4;  -3)U(-1;  3)

Задание 4.   Решите систему  неравенств (ЕГЭ 2014 от 5.06.2014)

Решение: Решим второе неравенство системы:

 разделим обе части неравенства на 2¹²⁰>0

Выполним замену: 

Поучаем неравенство:  ó . Умножим обе части неравенства на t>0. Получаем      ó  .

Делаем обратную замену .

Так как слева и справа от знака неравенства у нас степень с одинаковым основанием  2>1, то можно перейти к степенному неравенству: .

Решаем данное неравенство методом интервалов, получаем

 

Решаем второе неравенство системы

ОДЗ:  ó  ó 

Нетрудно заметить, что с учетом решения первого неравенства  в логарифмическом неравенстве мы имеем дело  с возрастающими функциями. Поэтому можно воспользоваться методом замены множителя.

Получаем 

  ó 

При    первый множитель положителен, поэтому рассматриваем второй множитель неравенства:    ó 

Найдем пересечение  двух решений  и получим решение данной системы с учетом ОДЗ:

Заключение

В работе были рассмотрены приемы решения логарифмических и показательных  неравенств. В качестве примеров  применения методов решения приведены реальные задания из демонстрационных вариантов ЕГЭ 2015 года и ранее. Данная работа будет полезна  учащимся и преподавателям для использования при подготовке к ЕГЭ, решения заданий части С3.

 

Литература

1.     ЕГЭ 2014.Математика: типовые тестовые задания: 30 вариантов и 800 заданий части 2(С)./ Под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2014 – 215 с.

2.     Коропец З.Л., Коропец А.А., Алексеева Т.А. Математика. Нестандартные методы решения неравенств и их систем. Рекомендовано ФГБОУ ВПО «Госуниверситет – УНПК» для использования в учебном процессе  в качестве учебного пособия для слушателей подготовительных курсов/           З.Л. Коропец.  - Орел,2012 – 125с.

3.     Неганова Л. М. Системы логарифмических и показательных неравенств. Репетитор и помощник в подготовке к ЕГЭ по математике [Электронный ресурс]. URL:http//cachalot.net Дата обращения( 21.12.2014)

4.     Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. Издание шестое./ С.И. Новоселов.- Москва, Государственное издательство  « ВЫСШАЯ ШКОЛА» - 1962. – 564с.

5.     Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике: математика для старшеклассников/ Дмитрий Письменный. – 12-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 352с.