"методы решения иррациональных уравнений"

…Математические сведения могут                                                   применяться умело и с пользой только  в том случае, если они усвоены творчески,                                                        так, что учащийся видит сам, как можно                                                        было бы прийти к ним самостоятельно. Методы решения рациональных уравнений. (А. Н. Колмогоров)   В школьных  учебниках   на  тему  «Иррациональные уравнения»  предлагается примерно следующие уравнения, которые без затруднения  решит любой выпускник: 1)  х + √2х+3=6 ; 2¿√х+2   −√х−6  =2; 3√х2−8 ; 3)  х  −¿ 2 =  4) √х−3   −¿  6 = 4√х−3    Рассмотрим более сложные уравнения, которые встречаются в олимпиадных задачах. №1.   √х   +  №2.   √х−1−2√х−2 + √х+7−6√х−2   = 2 3√х−1   = 1 №3. 4√х∙(2−х)  +  3√х4∙(2−х)7∙(х+3) 5 + (х−2)(х+1)х2 ¿ 6√¿ 5√(х+2)(х+6)  +    =  2№4.    3√(х+1) 2 +  2  3√х2−1=8 3√(х−1) 2 3√(х+1)+3√(3х+1)=3√(х−1) №5.     №6.     х2    −5х    −4√х+13=0 №7.     √3х2+6х+7   + √5х2+10х+14  = 4  −2х–х 2  №8.   √4−х2   +√1+4х  +  √х2+у2−2у−3  =  4√(х4−16)−¿  у +5  №9.   6 3√(х−3) 3√(х−2) = 5   + 6√(х−3)(х−2) №10.       х2 √(2х+15)   +  √(2х+15)   = 2 х №11.      √(9−4√5)х №12.    √4х2−1    + х  =   |х−2|   +  √(9+4√5)х    =  18 Предлагаю   вашему   вниманию   решения   этих   Уравнение  №1 .√х   +  3√х−1   = 1   уравнений    Его можно решить несколькими способами, но самый рациональный метод решения следующий:   обозначим  √х   =  а ,   3√х−1  = в;         откуда        х = а2,      х  =  в3  +1     Составим систему уравнений:    а  + в  = 1,          а = 1  −¿   в,                                                                   а2  = в3  +1          (1  −¿  в) 2  =  в3  +1                                         Решив  второе уравнение системы  получим   1  −¿ 2 в  + в2  −¿  в3   −¿ 1 = 0 ,     получим:    в (в2  −¿  в  +2)   = 0 ,  откуда   в = 0   и находим   х  = в3  +1      т. е.      х  = 1                                                                                                                 Ответ: 1           Уравнение  №2.   √х−1−2√х−2 + √х+7−6√х−2  = 2  Заменим   выражение√х−2       на переменную ­   а√х−2  = а,  тогда   х  = а2  + 2;                                                                               Тогда  уравнение  примет вид:    √а2+2−1−2а   +   √а2+2+7−6а=2   а−1 ¿ ¿ ¿ √¿ а−3 ¿ ¿ ¿ √¿  +          = 2                  |а−1|   +  |а−3|    = 2 ,   это  уравнение  с модулем решим                    на интервалах:   ( −∞ ; 1)  ,    [ 1 ;  3)  и [ 3; + ∞¿ . На интервале   ( −∞ ; 1)  получим:      – ( а  –1) – ( а  – 3)  = 2,     –  а  +1   –   а  +3 = 2  –2 а  = –2,  а = 1, но  значение  1  не принадлежит интервалу( −∞ ; 1). На интервале  [ 1 ;  3) получим:   а   –1 –  а  + 3  = 2,    0 ∙а  =0,                  т. е.    а  – любое число из [ 1 ;  3). На интервале  [ 3; + ∞¿получается: ( а  –1) + ( а  – 3)  = 2;  а  –1 +  а   – 3  = 2,                       2 ∙а  =6,    а   = 3, значение 3 принадлежит  [ 3;  + ∞¿ . Значит:  1  ≤а≤3 ,  зная, что  х = а2  + 2 получим   12 +2  ≤х≤   32 +2              3 ≤х≤  11.          Ответ:   [3; 11]. Уравнение  № 3 . 4√х∙(2−х)  +  3√х4∙(2−х)7∙(х+3) 5 + (х−2)(х+1)х2 ¿ 6√¿ 5√(х+2)(х+6)  +    = 2  Найдем область  допустимых значений переменной  х из условия, что  выражение, стоящее под корнем четной степени должно быть  неотрицательным.          х∙(2−х)≥  0,                                           (х−2)(х+1)х2    ≥  0,         Методом интервалов решим первое неравенство системы:                            −¿                                     +                                          −¿                х1 2                       х∈  [ 0;2]   Решим второе неравенство системы: +   −¿                 +            −¿                                +                                         ­ 1                              0                               2                                      х                      х∈  (­  ∞;−1¿∪{0}∪ [2;+ ∞¿                 Значит, решение системы неравенств:   х  = 0,   х  =2.   Подставив  в  исходное уравнение,  убеждаемся, что  х  = 0 не является  решением, а х  = 2   удовлетворяет.            Ответ: 2 Уравнение  №  4.3√(х+1)2 + 2 3√х2−1=8 3√(х−1) 2 Это   однородное     иррациональное   уравнение,   которое   решается   методом деления на одно из слагаемых: 3√(х+1)2 3√(х+1)2   + 2 ∙ 3√х2−1 3√(х+1) 2    = 8 ∙   3√(х−1) 2 3√(х+1)2  1 + 2 ∙3√ х−1 х+1  = 8 ∙  ( 3√ х−1 х+1 )2 ;   Пусть  3√ х−1 х+1   =  t,  тогда  ( 3√ х−1 х+1 )2 =  t2  Решив уравнение  1 + 2 t = 8 t2,   получим  2 корня:   t = 0,5 и t  =  −¿ 0,25.       Вернемся  к переменной   х ,    3√ х−1 х+1   =  −¿ 0,25.   Возведя   каждое из  этих уравнений  в куб, получим: х+1  = 0,5   или  3√ х−1 3√ х−1 х+1 )3   = ( −¿ 0,25)3 3√ х−1      ( х+1 )3  = 0,53     или    (            х−1 х+1  = 1 8            или      х−1 х+1   =   −1 64     8 ∙  ( х  – 1) =  х  +1     или    64 ∙  ( х  – 1) =  −¿  ( х  +1)х    =   9 7                 или       х    =   63 65                     Ответ:    9 7 ; 63 65     Уравнение №5. 3√(х+1)+3√(3х+1)=3√(х−1)  Возведем обе части уравнения в куб.  В левой части уравнения куб суммы:       (а+в)3 = а3 + 3 а2 в + 3 а в2   +в3;          Получим:  3√х+1¿ 3 + 3 (  3√х+1 ¿ )2 ( 3√(3х+1) 3√х+1 ¿  +3 ) ( 3√3х+1 )2 = ( 3√х−1 )3,   х  +1 + 3  3√(х+1)(3х+1)(3√(х+1)+3√(3х+1))+¿  3х +1  =  х−1,                                                          3√(х−1)    ­  дано 3√(х+1)(3х+1)(х−1)  3    =  х−1−1–х−1−3х, 3√(х+1) (3х+1)(х−1) 3  3√(х+1)(3х+1)(х−1)   = −3х   −3  ,  =  −х   −1,                                                                        х−¿ (х+1) (3х+1) ¿ 1) =  х −¿   +1 )3,  ( х  2  −1  ) (3х+1)  =  −¿  ( х  3 + 3  х  2 + 3  х  + 1),  3  х  3   −¿  3 х   +  х  2 −1  = −¿   х  3  −¿  3  х  2  −¿  3 х−1,        4 х  3  + 4 х  2  = 0,     откуда  х  = 0     или     х   =  −¿  1                            Проверкой убеждаемся, что  х  = 0 не является корнем уравнения.  Ответ: −¿  1         Уравнение № 6. х   2      −5х    −4√х+13=0 , перепишем уравнение в виде:         х  2    −6х    +9+х−4√х+4=0,( х  – 3)2  + ( √х−2¿ 2    =  0,  сумма  неотрицательных  чисел равна 0,  если одновременно равны нулю оба слагаемых, т. е.              х  ­ 3 =  0,              х  =  3,          √х−2    = 0;        х  = 4;  но эта система уравнений противоречива.                             Ответ:  уравнение  не имеет корней.                                             Уравнение № 7. √3х2+6х+7+√5х2+10х+14=4−2х–х2    Решим это уравнение методом оценки  левой и правой частей уравнения: √3(х+1)2+4    +  √5(х+1)2+9  =  5  –   (х+1) 2 Заметим  что,  леваячастьуравнениябольшеилиравно5,таккак √3(х+1)2+4   ≥   √4    = 2   и √5(х+1)2+9≥   √9    = 3  (х+1) 2 А правая часть 5  –   , при любом значении х  наоборот  меньше или  равно (не больше)  5,   причем    наибольшее значение, равное    5 достигается  при    х  =  –  1.  Таким образом,  равенство  возможно   при таком значении х,   при   котором обе части   уравнения  будут  равны 5.       Значит,   х  = –  1.               Ответ:   –  1   Уравнение № 8. √4−х2   +√1+4х  +  √х2+у2−2у−3  =  4√(х4−16)−¿  у +5.  Это  уравнение с двумя переменными,  найдем область допустимых значений переменных х и у .        4  −¿    х  2  ≥   0,                                          1+ 4  х   ≥   0,                                                               х  4   −¿ 16  ≥   0,                                            х  2  + у 2  −2у−3≥   0.Первое и третье  неравенства этой системы дают решение    х=±  2.      число х =  −¿ 2  не удовлетворяет  второму неравенству системы. Годится  х  = 2. Тогда,  подставив  в  исходное  уравнение   х  = 2, получим уравнение вида:   0   −¿   √9+¿   √(4+у2−2у−3)   =  0 + 5  –  у, откудаполучим:|у−1|   = 2  –у,   если  у  ≥1,  у  −1  = 2 −у,   у  =   1,5.              Если   у  ¿  1,  то   1 −у=2–у ,   получим уравнение  0 ∙  у = 1,  которое  не имеет решения.       Ответ:    х  = 2,  у = 1,5. Уравнение № 9. .   6 3√(х−3) 3√(х−2) = 5   + 6√(х−3)(х−2) ,   прежде всего, заметим,    что (х−3)(х−2)≥0,т.е.   х∈  (­  ∞;−3¿∪ [2;+ ∞¿    Считая, что х ≥3,перепишемуравнениеввиде: 6( 6√(х−3)2+6√(х−2)2)=5 6√(х−3)(х−2).                                                  Это    однородное уравнение, метод решения однородных уравнений мы  рассмотрели в примере 4.  Разделим  обе части уравнения на выражение 6√(х−3) 2 ,    при  6√(х−3) 2≠  0 получим  6 + 6√ (х−2) 2 (х−3) 2  = 5 6√ (х−2) (х−3) ¿ ) Пусть   Значит (х−3) 6√ (х−2) 6√ (х−2) (х−3)   = t, t ≥0,тогда   6 + t2 = 5 t, откуда   t = 2 или t = 3 =2или6√ (х−2) (х−3) =3 Решая эти уравнения, находим    х     ¿ 190 63      или    х  =    2186 728Ответ: 190 63 ;  2186 728 . Уравнение № 10.    х2 √(2х+15)  +  √(2х+15)   = 2 х Решим методом « искусства».  Обе части уравнения разделим  на х,  х ≠  0.   х √(2х+15) √(2х+15) х  +  = 2,  пусть  х √(2х+15) =t,  тогда  √(2х+15) х  = 1 t ,  t≠  0 t  = 2,   t 2    −¿  2 t+1=0 ,  находим  t=1.Значит√(2х+15) t+ 1 х  =1,  √(2х+15)   = х,    (2х+15)=¿  х2,,                                        х  ≥0;                     откуда   получим   х =5.   Ответ: 5  Уравнение № 11.    √(9−4√5)х   +  √(9+4√5)х    =  18   Преобразуем выражение √(9−4√5)  = √(9−4√5)(9+4√5) √(9+4√5) 1 √(9+4√5)  = 1 (      =  у,               √(9+4√5) ) х    +  √(9+4√5)х 1 у  + у = 18,  решив это уравнение получим           = 18,  пусть √(9+4√5)х тогда уравнение примет вид:   у = 9 +  √80     или    у = 9  −¿    √80 √(9+4√5)х   = 9 +  √80    или  √(9+4√5)х=¿ 9  −¿    √80х  = 2                         или                                х  =  −¿   2             Ответ:  −2;2                                                                       √4х2−1    +  х   =   |х−2| Уравнение № 12.  Рассмотрим  два случая:   х   ≥2их   ¿2 1) Если   х   ≥2,то   уравнение примет вид  √4х2−1    +  х   =    х –2,         √4х2−1=–2 ,  что невозможно.                                                                       2) Если   х   ¿2,то   уравнение примет вид  √4х2−1    +  х   =   –  ( х –2¿; √4х2−1=2−2х;    решив,   получим      х  = 0,625                                                                                                                 Ответ:   0, 625  Гафарова Рузиля Талгатовна , учитель математики.