Методы решения смешанных уравнений

Методы решения  Методы решения  смешанных уравнений смешанных уравнений

Стандартные методы                 В  вариантах  ЕГЭ  довольно  часто  встречаются  стандартные иррациональные уравнения вида                                      ,     которые вполне могут быть решены одним из двух  стандартных способов ­ переходом к       равносильной системе               или возведением в квадрат обеих частей  уравнения и последующей проверкой.

Решите уравнение  1 способ (Равносильные  преобразования)

2 способ (Проверка)  Перейдём к уравнению­следствию.

Проверим, являются ли найденные значения  переменной  корнями  исходного уравнения. При            уравнение принимает вид    Равенство  неверно, следовательно, найденное  значение не является корнем исходного  уравнения. При         уравнение принимает вид   Равенство верно, следовательно, число 3 –  корень данного уравнения.

Однако, данные способы решения всё­ таки отнимают некоторое время, что при  решении задач Единого Государственного  Экзамена (ЕГЭ) может быть довольно  важным. Следует отметить, что задачи  подобного типа встречаются, как  правило, в первой части, то есть  представляют из себя задачи с кратким  ответом. Значит, подробное решение  задачи не требуется. Отсюда возникает  ещё один способ – «угадать» решение.

3 способ(Использование монотонности) Заметим, что левая часть уравнения  представляет из себя убывающую на всей  области определения функцию, а правая  часть – возрастающую функцию. Отсюда  следует вывод, что если решение есть – то  оно единственное. Это решение несложно  подобрать           .

Использование  монотонности функций    Как было показано в предыдущем  примере, уравнение вида              будет  иметь не более одного корня, если  левая часть представляет из себя  монотонно возрастающую функцию, а  правая – монотонно убывающую.

Решите уравнение                     . Если уравнение  имеет больше одного корня, в ответ запишите их  сумму.      Левая часть уравнения представляет из  себя монотонно возрастающую  функцию, правая – постоянное число.  Значит, если решение есть – то оно  единственное. Несложным подбором  убеждаемся, что это число 21.

В рассмотренном выше примере видно, что  «метод угадывания» значительно сокращает  временные затраты на решение. Кроме того, он,  по существу, включает в себя метод проверки  (ведь угаданный корень необходимо подставить в  уравнение). Ну и немаловажно отметить, что, как  указано в инструкции по выполнению работы  ЕГЭ: «Ответом в заданиях 1­12 является целое  число или число, записанное в виде десятичной  дроби». Следовательно, ответ надо искать среди  целых чисел, ну а, учитывая, что в приведённом  примере участвовал логарифм по основанию 6 –  ответ становится очевиден.

Метод оценок (мажорант)   Иногда уравнение вида                 устроено так, что левая и правая части  представляют из себя ограниченные  функции. В этом случае можно (а иногда  и единственно возможно) применить  метод «оценивания» правой и левой  частей. Особенно этот метод полезен при  решении так называемых «смешанных»  уравнений. Проиллюстрируем это на  примере.

Решите уравнение     Стандартным путем решить это уравнение  невозможно. Обратим внимание на то, что в  левой части под логарифмом выражение  всегда больше либо равно единицы,  логарифмическая функция с  основанием      ­ убывающая, поэтому

То есть – левая часть всегда меньше или равна  нулю. В правой же части – арифметический  квадратный корень, который всегда больше  или равен нулю. Отсюда получаем, что  равенство возможно  когда обе части  уравнения обращаются в нуль. Левая часть  равна нулю при      и при      , а правая – при        и      . Отсюда – единственное решение      . При решении подобных уравнений особенно  стоит    отметить выделение квадрата  двучлена в одной или в обеих частях  уравнения.

Решите уравнение      Преобразуем  левую часть уравнения.           Преобразуем  правую часть уравнения.          Значит, равенство возможно только тогда, когда обе части  уравнения принимают значение 2. Левая часть равна двум  только при          . Проверкой убеждаемся, что и правая часть  при этом значении переменной равна двум. Таким образом,  ответ ­ 6  .      Стоит отметить, что так как это задание первой  части ЕГЭ ,  то ответ обязательно должен быть и притом единственный,  так что подставлять число ­6   в правую часть не совсем  обязательно.

Решите уравнение      Правая часть уравнения – постоянное число, левая  часть – сумма двух квадратных корней. Так как  значения арифметического квадратного корня  неотрицательны, то для того, чтобы уравнение  имело решение, необходимо, чтобы оба квадратных  корня были равны нулю. Решив квадратное  уравнение                  , получим                 .  Проверкой убеждаемся, что первый корень  обращает в нуль второе слагаемое, а второй – нет.  Отсюда, ответ ­     .

Решите уравнение    Можно  выделить полный квадрат в левой  части уравнения      Правая же часть, в свою очередь, меньше либо  равна двум. Отсюда получаем, что равенство  возможно только тогда, когда обе части  уравнения принимают значение, равное двум.  Левая часть равна двум только при      .  Непосредственной проверкой убеждаемся, что  при        и правая часть также равна двум.  Таким образом, ответ ­       .

Решите уравнение    Снова поможет выделение полного квадрата, на  этот раз – в показателе степени.    В свою очередь, правая часть уравнения не  может быть меньше девяти. Отсюда получаем,  что единственный ответ ­        .

Графический метод     Для решения некоторых уравнений   полезно привлекать графические  иллюстрации и соображения.

Решите уравнение     Функция              возрастает на R. Функция                     также возрастает на  R , но «скорость»  её роста меньше, чем «скорость» роста    .  Объяснение этому факту возможно, например  с использованием производной ­   Кроме того,                   . То есть           .  Значит, если точка пересечения существует,  то она – единственная. Подбором  убеждаемся, что           .

Использование области определения    Иногда полезно найти область  определения уравнения – если  «повезёт», то, может быть, она будет  состоять из конечного множества точек,  среди которых можно отыскать ответ  просто проверкой – подставив в  исходное уравнение.

Решите уравнение      Найдём область определения уравнения (или, как часто  говорят – ОДЗ – область допустимых значений переменных,  входящих в уравнение). Арифметический квадратный корень определен для  неотрицательных подкоренных выражений, следовательно:     Таким образом, единственное допустимое значение      .  Проверкой убеждаемся, что это значение является корнем  исходного уравнения.

Решите самостоятельно следующие уравнения .       1.       2.       3.       4.       5.