Методы решения стереометрических задач

Методы решения стереометрических задач 3 Генералова Е.Г. МОУ «СОШ №24» Введение В геометрии применяются различные методы решения задач ­ это  синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований,  векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в  школьном курсе математики. Основным методом считается синтетический, а из  других наиболее высокое положение занимает координатно – векторный метод,  так как он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода  достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений.  Координатный метод этого не требует: решение задач во многом  алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение  задачи.  Координатно – векторный метод позволяет значительно облегчить  решение задач на нахождение угла между прямыми и плоскостями, расстояния  от точки до прямой и между прямыми. Такие задания встречаются в задаче №14 единого государственного экзамена. Этим и определяется актуальность  выбранной темы: «Использование координатно – векторного метода при  решении стереометрических задач». Предметом исследования данной работы является координатно­векторный метод и его применение для решения стереометрических задач. Цель работы – систематизировать теоретические и практические знания  для решения стереометрических задач.4 Глава 1 Теоретико­методические аспекты изучения темы «Использование  координатно – векторного метода при решении стереометрических задач» в школьном курсе математики 1.2  Опорные задачи в координатах Система координат — комплекс определений, реализующий метод  координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью  чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение  конкретной точки, называется координатами этой точки. Координаты на  плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных  способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом  координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту  из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном  случае. Существует множество систем координат: аффинная, полярная,  биполярная, коническая, параболическая,  проективная, сферическая,  цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них — прямоугольная система  координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и будем  пользоваться для решения задач. Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя  взаимно перпендикулярными осями координат ОХ, OY  и OZ. Оси координат  пересекаются в точке O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица  измерения отрезков на осях. Каждой точке пространства ставится в  соответствие тройка чисел, называемых её координатами. Применение  координатно – векторного метода даёт нам множество  возможностей для решения задач. 1.  Нахождение координат вектора  Пусть A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2) координаты соответственно начала и конца  вектора  ⃗АВ , тогда  ⃗АВ{x2−x1;y2−y1;z2−z1} .2. Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими  координатами. Пусть A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), тогда 5 3. Нахождение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении  Пусть отрезок АВ задан в системе координат ОХYZ  координатами своих концов А(x1, y1, z1) и В(x2, y2, z2), а точка С (x, y, z) делит отрезок АВ в данном  :    λ ⃗АС=λ∙⃗СВ  , тогда координаты точки С вычисляются по  отношении  формулам:   x= x1+λx2 1+λ ,y= y1+λy2 1+λ ,z= z1+λz2 1+λ . В частности координаты середины отрезка вычисляются по формулам:                   x= x1+x2 2 ,y= y1+y2 2 ,z= z1+z2 2    4. Скалярное произведение векторов Скалярное произведение  двух векторов – это произведение длин этих  векторов на косинус угла между ними. 5.Уравнение плоскости Определение. ad – bc называется определителем (или детерминантом) матрицы (a b c d) Определитель матрицы будем обозначать так:  |a b c d| . . Аналогично таблица  (a1 a2 a3 c1 c2 c3) b1 b2 b3  называется матрицей третьего порядка.Определение. Число  a1∙|b2 b3 c2 c3|−a2   ∙|b1 b3 c1 c3|  +  a3   ∙|b1 b2 c1 c2|   6 называется определителем (или детерминантом) матрицы  (a1 a2 a3 c1 c2 c3) b1 b2 b3  и  обозначается  |a1 a2 a3 c1 c2 c3| . b1 b2 b3      Пусть в пространстве с фиксированной точкой О задана плоскость  α .  Любой ненулевой вектор, параллельный этой плоскости, мы будем называть ее  направляющим вектором.      Пусть ненулевой вектор  ⃗n  перпендикулярен плоскости  α . Такой вектор  называется нормальным вектором этой плоскости.      Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ( x0 ,  y0 ,  z0 ), ( x1 ,  y1 ,  z1 ), ( x2 ,  y2 ,  z2 ), в координатной форме можно записать так:  |x−x0 y−y0 z−z0 x2−x0 y2−y0 z2−z0|  = 0. x1−x0 y1−y0 z1−z0  Всякая плоскость в пространстве может быть задана в системе координат  линейным уравнением Ax + By + Cz + D = 0, в котором коэффициенты A, B и C  не равны нулю одновременно; и обратно, всякое уравнение такого вида, в  котором A2 + B2 + C2 ≠ 0 задает в системе координат плоскость.      Если плоскость задана в системе координат уравнениемAx + By + Cz + D = 0, то нормальный вектор   ⃗n  этой плоскости имеет  координаты  {A;B;C} .   Задача 1.2.1 Определить координаты вершин и центра описанной окружности  правильного треугольника ABC, со стороной a в прямоугольной системе  7 координат с единичным отрезком 1. Решение 1. Введем прямоугольную систему координат с  началом в точке А. 2. Найдем координаты точек А (0; 0), С (а; 0).  Найдем координаты точки В. Проведем высоту и  медиану ВН, тогда АН =  a 2 . Из  ∆ АНВ,              АНВ = 900 ,по теореме Пифагора найдем ВН.   =  √a2−a2 ВН =  √AB2−AH2 (a 2 ) 2;a√3 Значит, В  . 4  =  √ 3a2 4 a√3 2 .   =  3. Пусть К – центр описанной окружности,  АК =  a√3 3 . Из  ∆ АНК,  АНК = 900 , по теореме Пифагора найдем КН. 36  =  a√3 6 4 =  √ 3a2 КН =   √ 3a2 9 −a2 (a 6 ) 2;a√3 (a 2 ) 2;a√3 Ответ: А (0; 0), В  Значит, К  . , С (а; 0), К  (a 6 ) 2;a√3 .Задача 1.2.2  Определить координаты вершин и центра описанной окружности  правильного шестиугольника ABCDEF со стороной a в прямоугольной системе  8 координат с единичным отрезком 1. Решение.  1. Введём прямоугольную систему координат 2. Найдем ОА, ОЕ, МВ, МD, OF, ОС        ОМ = АВ = а,  FС = 2а, тогда  ОF = MC = (2a – a) : 2 =  a 2 . Из  ∆ FOA,  FOA = 90o ,  по теореме Пифагора найдем ОА. ОА =  √AF2−OF2 OA =  √a2−a2 4  =  √ 3a2  =   a√3 2 . 4 OE = OA = MB = MD =  a√3 2 . 2. Запишем искомые координаты точек А(0;  a√3 2 ), В( a;   a√3 2 3a 2 ;  ); С( 0),  D(a; ­  a√3 2 ); E(0;  −a√3 2 −a 2 ; 0), K( a 2 ; 0). ); F( Ответ: А(0;  a√3 2 ), В( a;   a√3 2 3a 2 ; 0), D(a; ­  a√3 2 ); С( ); E(0;  −a√3 2 ); F(­  a 2 ; 0), K( a 2 ; 0).9 1.3  Угол между прямыми Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется  наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их  пересечения. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между  пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. Найти косинус угла между векторами, а, следовательно, и  сам угол можно  с  помощью следующей формулы: Пусть  ,  ;{ zyxа ; 1 1 1 ;{}, zyxb }; 2 2 2 тогда  из формулы скалярного произведения имеем: cos   xx 21   2 y 1 yy 1  2 z 1 2  2 2 x zz 21  y 2 x 1 2 2  z 2 2 Так как нас интересует острый угол между векторами, то скалярное произведение берём по абсолютной величине. Чтобы найти угол между прямыми необходимо выполнить следующие  действия: 1. Ввести прямоугольную систему координат.10 2. Определить координаты двух точек прямой а и найти координаты её  направляющего вектора. 3. Определить координаты двух точек прямой b и найти координаты её  направляющего вектора. 4.  Вычислить  косинус угла  α  , воспользовавшись формулой:  cosα= |⃗a∙⃗b| |⃗a|∙|⃗b| α  равен  5. Искомый угол  Пример 1.3.1 В правильной шестиугольной призме arccos  .α АВСDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите угол между прямыми АB1 и ВC1. Решение. 1. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А. 2. Найдём координаты точек А( 0; 0; 0), B1(1; 0; 1) . Вектор ⃗АВ1{1;0;1} 3. Найдём координаты точек В(1; 0; 0),  С1( 3 2 ;  √3 2 ; 1). Вектор ⃗ВС1{1 2 ;√3 2 ;1} 4. Косинус искомого угла вычислим по формуле: cos∝  =  cos∝  =  |x1x2+y1y2+z1z2| 2+y2 2+y1 2∙√x2 2+z1 2 2+z2 √x1   2 +1∙1| |1∙1 2 +0∙√3 √12+02+12∙√( 1 +( √3 2 )2 2)2 3 4  =  +12 Следовательно, искомый угол равен arccos  3 4 .Ответ: arccos  3 4 . 11 1.4 Угол между прямой и плоскостью Углом между прямой и плоскостью называют угол  между прямой и ее проекцией на плоскость. Угол  ∝  между прямой а и плоскостью   равен углу β π 2  –    φ φ , если   ≤  π 2 , или   ­  φ π 2 , если   > φ π 2  где  φ  – угол между направляющим вектором прямой  а и нормальным вектором  ⃗n   плоскости  .β Так как sin  ∝  = sin ( π 2  –  ) = φ sin (  ­ φ π 2 ) =  ¿cos   φ |, то  sin  ∝  = | cos | = φ |⃗a|∙∨⃗n∨¿ |⃗a∙⃗n| ¿ .      Чтобы найти угол между прямой и плоскостью необходимо выполнить  следующие действия: 1. Ввести прямоугольную систему координат. 2. Найти координаты двух точек прямой a и направляющего вектора ⃗a    прямой a.12 3. Найти координаты трех точек плоскости   определить координаты ее нормального вектора  ⃗n . β  не лежащих на одной прямой и  4. Найти синус угла  ∝ , воспользовавшись формулой sin  ∝  =  Искомый  угол между прямой и плоскостью равен:  ∝  = arcsin  |⃗a|∙∨⃗n∨¿ |⃗a∙⃗n| ¿ |⃗a|∙∨⃗n∨¿ |⃗a∙⃗n| ¿ .  . Пример 1.4.1 В прямоугольном параллелепипеде MNPQM1N1P1Q1 ребра MN = 15,  MQ = MM1 = 8. Найдите угол между QP1 и плоскостью QPN1. Решение 1. Ведем прямоугольную систему координат с  началом в точке Q. 2. Найдем координаты точек Q (0; 0; 0),  {15;0;8} P1 (15; 0; 8) и вектора  ⃗QP1   . N1 (15; 8; 8) и координаты  3. Найдем координаты точек P (15; 0; 0),  {A;B;C}  нормального вектора  ⃗n  плоскости  (QPN1) вычислив определитель: | x y z 15 8 8|  = x ∙  |0 0 15 0 0 8 8|  ­ y ∙  |15 0 15 8|  + z ∙  |15 0 15 8|  = 0 ∙ x – 120y + 120z=0 Значит уравнение плоскости (QPN1) имеет вид: y – z = 0. ⃗n  {0; 1; ­1} 4.  sin∝  =  |⃗n|∙∨⃗QP1∨¿ ¿⃗n∙⃗QP1∨ ¿ ¿ ¿¿15∙0+0∙1+8∙(−1)∨ sin∝  =  ¿ √152+02+82+√02+12+(−1)2 ¿ 13 4√2 17  =  Следовательно, искомый угол равен arcsin  4√2 17 . Ответ: arcsin  4√2 17 . Пример 1.4.2  В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона  основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Найдите угол между плоскостью  BSC и прямой MN, где точка N – середина ребра AC, а точка М лежит на ребре  SB так, что ВМ = 1. Решение 1. Введем прямоугольную систему координат с началом  в точке N 2. Найдём координаты точек M, N и направляющего  вектора прямой NM  BN =  √3 , ON =  √3  ­  2√3 3  =  √3 3 ; OB =  2√3 3 Из ∆SOB,  SOB = 90 °  , по теореме Пифагора OS =  √9−2 √69 3 9  =  S (0;  √3 3 ;  √69 3 ), B (0;  √3 ; 0) Так как SM = 2BM, то M ( 0+2∙0 3 ;  √3 3 +2√3 3 ;  √69 3 +2∙0 3 );14 M (0;  7√3 9 ;  √69 9 ), N (0; 0; 0) ⃗NM  { 0;  7√3 9 ;  √69 9 } 3. Найдем координаты точек B ( 0;  √3 ; 0), C (1; 0; 0), S (0;  √3 3 ;  √69 3 ) и  координаты {A; B; C} нормального вектора  ⃗n  плоскости (CBS), вычислив  0 √69 3 |  ­ y  ∙   |−1 0 −1 √69 3 |  + z  ∙ 3|  = (x – 1)  ∙   |√3 √3 3 0 √69 определитель 0−1 √3 0−1 √3 3 |x−1 y z |−1 √3 3|  = −1 √3 = (x – 1)  ∙   √207 3  + y  ∙   √69 3  + z  ∙  (­  √3 3  +  √3 ) =  √207 3 x + √69 3 2√3 3 z ­  √207 3 y +   = 0 Значит, уравнение плоскости (CBS) имеет вид: √69 x +  √23 y + 2z ­  √69  =0 ⃗n  { √69 ;  √23 ; 2} |⃗n|∙∨⃗NM∨¿ ¿⃗n∙⃗NM∨ ¿ ¿ 3.  sin∝  =    ¿15 sin∝  =  |√69∙0+√23∙7√3 9 | 9 +2∙√69 √(√69)2+(√23)2+22∙√02+(7√3 +(√69 9 )2 9 )2 √69 16  =  Тогда искомый угол между прямой и плоскостью равен arcsin  √69 16 Ответ: arcsin  √69 16 .  1.5 Угол между плоскостями Угол  φ  между плоскостями  λ β  и   равен углу  ∝ ,  если  ∝  ≤  π 2  или   ­ π ∝ , если   ∝  >  π 2   между нормальными векторами  ⃗nλ  и  ⃗nβ  этих  плоскостей. Так как при нахождении угла между плоскостями, из двух смежных углов записывают значение не тупого угла, а косинусы смежных углов равны по  абсолютной величине, то косинус угла между плоскостями вычисляется по  формуле  cos φ = |cos ∝ | =  |⃗nλ∙⃗nβ| |⃗nλ|∙|⃗nβ| .Чтобы найти угол между плоскостями  λ β  и   можно выполнить следующие  действия: 1. Ввести прямоугольную систему координат. 16 2. Найти координаты трех точек, не лежащих на одной прямой, и  принадлежащих плоскости  ⃗nλ {A; B; C}. . Найти координаты нормального вектора  λ 3. Найти координаты трех точек, не лежащих на одной прямой и принадлежащих плоскости    ⃗nβ {A; B; C}. . Найти координаты нормального вектора β 4. Вычислить косинус угла между плоскостями  λ β  и  , воспользовавшись  формулой cos   = φ |⃗nλ∙⃗nβ| |⃗nλ|∙|⃗nβ| . Искомый угол между плоскостями равен   = φ arccos  |⃗nλ∙⃗nβ| |⃗nλ|∙|⃗nβ| . Пример 1.5.1 В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите косинус  угла между плоскостями ACB1 и BA1C1. Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А. 2. Найдем координаты точек:  A (0; 0; 0), C ( 1 2 ;  √3 2 ; 0), B1 (1; 0; 1) B (1; 0; 0), A1 (0; 0; 1), C1 ( 1 2 ;  √3 2 ; 1). 3. Найдем координаты {A; B; C} нормального вектора  ⃗n1  плоскости (ACB1),  вычислить определитель|x y z 1|  = x  |√3 √3 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1|  ­ y  |1 1 1|  + z  |1 2 0 2 1 17 √3 2 0|  =  √3 2 x ­  1 2 y ­  √3 2 z=0 Уравнение плоскости (ACB1) имеет вид: √3 x – y ­  √3 z = 0. ⃗n1 { √3 ; ­1; ­ √3 }. 4. Найдем координаты {A; B; C} нормального вектора  ⃗n2  плоскости (BA1C1),  вычислив определитель 1 |x−1 y z 0−1 0 2−1 √3 1 2 1|  = (x – 1)∙ | 0 √3 2 1 1|  ­ y  |−1 1 −1 2 1|  + z  |−1 −1 2 0 √3 2|  = −√3 2 =  1 2 y ­  √3 2 z +  √3 2  = 0 x +  Уравнение плоскости (BA1C1) имеет вид: √3 x – y +  √3 z ­  √3  = 0 ⃗n2 { √3 ; ­1;  √3 }. |⃗n1∙⃗n2| |⃗n1|∙|⃗n2| 5.  cos∝  =  cos∝  =  |√3∙√3−1∙(−1)−√3∙√3| √(√3)2+(−1)2+(−√3)2∙√(√3)2+(−1)2+(√3)2 1 7  =  Ответ:  1 7 . Пример  1.5.2 В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания  равны 3, а боковые ребра равны 5. На ребре DD1 отмечена точка F так, чтоDF: FD1 = 2 : 3. Найдите угол между плоскостями ABC и AFC1. Решение 1. Введем прямоугольную систему координат с началом  18 в точке В. 2. Найдем координаты точек A (3; 0; 0), B (0; 0; 0), C (0; 3; 0) F (3; 3; 2), C1 (0; 3; 5). 3. Найдем координаты {A; B; C} нормального вектора  ⃗n1  плоскости (ABC)  вычислив определитель |x y z 0 3 0|  = x ∙  |0 0 3 0 0 3 0|  ­ y ∙  |3 0 0 0|  + z ∙  |3 0 0 3|  = 0 ∙ x – 0 ∙ y + 9z=0 Уравнение плоскости (ABC) имеет вид: 9z = 0 ⃗n1  {0; 0; 9}. 4. Найдем координаты {A; B; C} нормального вектора  ⃗n2  плоскости (AFC1),  вычислив определитель |x−3 y z 0−3 3 5|  = (x ­ 3) ∙  |3 2 3−3 3 2 3 5|  ­ y ∙  | 0 2 −3 5|  + z ∙  | 0 3 −3 3|  = 9x – 6y + 9z –  27=0 Уравнение плоскости (AFC1) имеет вид: 3x – 2y + 3z – 9 = 0. ⃗n2  {3; ­2; 3} 5.  cos∝  =  |⃗n1∙⃗n2| |⃗n1|∙|⃗n2| cos∝  =  |0∙3+0∙(−2)+9∙3| √02+02+92∙√32+(−2)2+32 3√22 22  =Значит, искомый угол равен arccos 3√22 22 Ответ: arccos 3√22 22 . 19 1.6 Расстояние от точки до плоскости Расстоянием от точки М до плоскости  β  является  длина перпендикуляра МН, опущенного из точки М   на плоскость  .β Пусть М (x0, y0, z0), плоскость  β  определяется  уравнением Ax + By + Cz + D = 0, тогда расстояние от  точки М до плоскости  β  вычисляется по формуле ρ (M,  ) = β |Ax0+By0+Cz0+D| √A2+B2+C2 . Чтобы найти расстояние от точки до плоскости можно выполнить следующие  действия: 1. Ввести прямоугольную систему координат. 2. Найти координаты точки М (x0, y0, z0). 3. Найти координаты трех точек, не лежащих на одной прямой, плоскости  найти уравнение плоскости  .β 4. Вычислить расстояние от точки М до плоскости  β , воспользовавшись   и β формулой   ρ (M,  ) = β |Ax0+By0+Cz0+D| √A2+B2+C2 . Пример 1.6.1В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF ребра основания равны 1,  боковые ребра равны 2. Найдите расстояние от точки А до плоскости EDS. 20 Решение 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в  точке D. 2. Найдем координаты точек A (2; 0; 0), E ( 1 2 ;   √3 2 ; 0), D (0; 0; 0). Найдем OS из прямоугольного треугольника SOD. По теореме Пифагора  OS =  √4−1  =  √3 . S (1; 0;  √3 ). 3. Найдем уравнение плоскости (EDS), вычислив определитель: |x y z √3|  = x ∙  |√3 √3 2 0 1 2 1 2 0 0 0 √3|  ­ y ∙  |1 1 √3|  + z ∙  |1 2 0 2 1 −√3 2 0 |  =   3 2 x ­  √3 2 √3 2 z=0 y +  Уравнение плоскости (EDS) имеет вид: 3x ­ √3 y +  √3 z=0 4.  ρ (M, β) =  |Ax0+By0+Cz0+D| √A2+B2+C2 ρ  (M,  ) = β |3∙2| √9+3+3  =  6 √15  =  6√15 15 2√15 5 .  =  Ответ:  2√15 5 . 1.7  Расстояние между двумя прямыми21 Пусть в пространстве даны две прямые а и b. Вектор  ⃗a   {l1, m1, n1} с началом в точке A(x1, y1, z1) направляющий  ⃗b  {l2, m2, n2} с началом в точке  B(x2, y2, z2) направляющий вектор прямой b, тогда расстояние между прямыми а  вектор прямой а, вектор  и b вычисляется по формуле: ρ (a; b) =  l1 l2 mod|x2−x1 y2−y1 z2−z1 n2 | √|l1 m1 +|l1 n1 l2 m2|2 l2 n2|2 +|m1 n1 m2 n2|2 m1 m2 n1 Чтобы найти расстояние между прямыми а и b можно выполнить следующие  действия: 1. Ввести прямоугольную систему координат. 2. Найти координаты направляющего вектора  ⃗a  {l1, m1, n1} прямой а,  зафиксировать координаты начала вектора A(x1, y1, z1). 3. Найти координаты направляющего вектора  ⃗b  {l2, m2, n2} прямой b,  зафиксировать координаты начала вектора B(x2, y2, z2). 4. Найти расстояние между прямыми а и b, используя формулу: l1 l2 mod|x2−x1 y2−y1 z2−z1 n2 | √|l1 m1 +|l1 n1 l2 m2|2 l2 n2|2 +|m1 n1 m2 n2|2 m1 m2 n1 ρ (a; b) =  Пример 1.7.1 Основание пирамиды SABC – равносторонний треугольник со стороной 1.  Вершина S проецируется в точку А, и SA = 1. Найдите расстояние между  прямыми AB и SC. Решение22 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в  точке А. 2. Найдем координаты точек A(0; 0; 0), B( 1 2 ;  √3 2 ; 0) ⃗AB { 1 2 ;  √3 2 ; 0} 3. Найдем координаты точек C(1; 0; 0), S(0; 0; 1) ⃗SC {1; 0; ­1). 4. Найдем расстояние между прямыми SC и  AB, подставив найденные значения  в формулу  ρ (SC; AB) =  √|1 2 1 |−√3 2 | √ 7 4 √21 7 .  =  Ответ:  √21 7 . 0 1 2 1 √3 2 0 mod|0−0 0−0 1−0 −1| +|√3 0|2 0 −1|2 +|1 1 −1|2 √3 2 2 0 0 2 mod|0 √(−√3 2 )2 1 2 1 0 √3 2 0 −1| 1 0  = +(−√3 2 )2 +(−1 2 )2  =23 Заключение Координатно – векторный метод является достаточно простым в  применении.  Данный метод является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование рассмотренного метода, позволяет  значительно упростить и сократить процесс решения некоторых задач.  В данной работе:  описан координатно – векторный метод;  систематизирован теоретический материал по данной теме;  рассмотрены виды и этапы решения некоторых  задач данным методом;   представлена подборка задач, которые можно решить координатно –  векторным методом.24 Список использованных источников 1. Геометрия. Готовимся к ЕГЭ.11 класс: пособие для учащихся общеобразоват.  учреждений/  В.Н. Литвиненко. ­ М.: Просвещение, 2012. ­ 160с. 2. Геометрия. 10 кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений с углубл. и  профильным изучением математики/ Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. – 6­е изд. –  М.: Дрофа, 2008.­227с. 3. Геометрия. 11 кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений с углубл. и  профильным изучением математики/ Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. – 2­е изд.,  испр. – М.: Дрофа,  2004.­368с. 4. Геометрия. 10­11 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений  (базовый и профильный уровни)/ И.М. Смирнова, В.А. Смирнов.­ 5­е изд., испр.  и доп.­ М.: Мнемозина, 2008. ­ 288с. 5. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве/ И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – 3­е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2011. – 158с. 6. Калинин А.Ю., Терёшин Д.А. Геометрия. 10­11 классы. – Новое изд., испр. и  доп. – М.: МЦНМО, 2011. – 640с. 7. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 10­11 кл. общеобразоват. учреждений:  базовый и профильный уровни. – М.: Просвещение, 2009. – 178 с. 8. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10­11 кл.: Учеб.  для общеобразоват. учеб.  заведений. – М.: Дрофа, 1999. – 208с. 9. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2013: учебно – методическое пособие / Под  редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов­на­Дону: Легион, 2012. –  416с. 10. Геометрия: Учеб. для 10­11 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.  Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2009 – 255 с.25 11. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Обобщающее повторение темы «Решение  заданий С2 координатно векторным способом». Часть 1// Математика в школе,  2012 ­ №10. ­  с.9 – 15. 12. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Обобщающее повторение темы «Решение  заданий С2 координатно векторным способом». Часть 2// Математика в школе,  2013 ­ №1. – с.11­16 13. http:// wikipedia.org/  14. http://nsportal.ru/ 15. http://rudocs.exdat.com/  16. http://lycc1546.mskobr.ru/