Microsoft Excel

1.     ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Пусть функция у =f(x) определена на отрезке [а, b]. Разобьем этот отрезок на п частей точками a=x₀<x₁<x₂<...<x_n=b. На каждом отрезке [х_i-1, х_i] разбиения возьмем произвольную точку e_i и составим сумму , где ∆x_i=x_i – x_i-1 которая называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b].

Предел интегральной суммы при условии, что число отрезков стремится к бесконечности, а длина наибольшего из них стремится к нулю, называется определенным функции f(x) в пределах от x=a до x=b и обозначается

  .         

При этом число а называется нижним пределом определенного интеграла, число b — его верхним пределом, функция f(x) — подынтегральной функцией, выражение f(x)dx — подынтегральным выражением, а задача о нахождении

   - интегрированием функции f(x) на отрезке [а, b].

Рис 4.1. Геометрический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в следующем: интеграл – это площадь фигуры, ограниченная осью Ох, ординатами x=a, x=b и функцией f(x).

Существует значительное количество численных методов вычисления интегралов. Они основаны на разных способах нахождения площади под кривой f(x)                  

a) как суммы элементарных прямоугольников — метод прямоугольников:

,

 ,

где y₁,...y_n – значения функции f(x) в точках х₁,…х_n; h=(b-a)/n; [а, b] – участок интегрирования; n – количество отрезков деления участка интегрирования.

б) как суммы элементарных трапеций — метод трапеций:

.

Существуют также метод Симпсона и ряд других.

2. РЯДЫ.

При решении многих прикладных математических задач приходится рассматривать суммы, составленные из большого количества слагаемых, в том числе и из бесконечного множества слагаемых. Задача суммирования бесконечного множества слагаемых решается в теории рядов.

2.1. Числовые последовательности.

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел  расположенных в определенном порядке одно за другим. Числа, входящие в последовательность, называются ее членами. Последовательность считается заданной, если известен закон ее образования, то есть правило, по которому можно определить любой член последовательности. Примерами последовательностей являются натуральный ряд, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия и т.д.

Пределом последовательности  называется число U, к которому числа  подходят сколь угодно близко, если такое число U существует для данной последовательности. Предел последовательности обозначается как   .

Широко распространенными числовыми последовательностями являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый последующий член получается из предыдущего прибавлением определенного числа а, называемого разностью прогрессии: u_n+1=u_n+a     , откуда u_n=u₁+a∙(n-1)    , сумма первых п членов прогрессии равна

. Если а > 0, прогрессия называется возрастающей, если а < 0 — убывающей.

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый последующий член получается из предыдущего умножением его на определенное число q, называемое знаменателем (основанием) прогрессии: u_n+1=u_nq, откуда u_n=u₁q^n-1, сумма первых п членов прогрессии

  . Если q > 1, прогрессия называется возрастающей, если |q| < 1, убывающей.

В MS Excel для нахождения членов арифметической или геометрической прогрессии существует специальная процедура Прогрессия. Для ее реализации необходимо:

1. Ввести значение первого элемента прогрессий в выбранную ячейку.

2. Выделить блок ячеек под требуемое количество членов прогрессии (либо в дальнейшем потребуется указать значение последнего элемента).

3. Выполнить команду вкладка Главная => Заполнить => Прогрессия.

4. В появившемся диалоговом окне Прогрессия указать тип и параметры формируемой последовательности значений.

2.2. Числовые ряды.

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u₁, u₂,…,u_n,… соединенных знаком сложения:

.

Числа u₁, u₂,…,u_n,…  называются членами ряда, а член u_n — общим или п членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член u_n=f(n) (п=1,2, ...), то есть задана функция f(n) натурального аргумента.

Сумма п первых членов ряда u_n называется п-й частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, то есть:

. 

Число S называется суммой ряда. Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

В математике существуют специальные приемы нахождения частичных сумм ряда. В MS Excel обычно вначале вычисляются п первых членов соответствующей числовой последовательности. Для этого вводится требуемое количество значений натурального аргумента, затем формула общего члена ряда копируется в п ячеек, после чего находятся требуемые суммы.