Множества и операции над множествами.

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ (3 ч) У р о к  1 Цели:  познакомить учащихся с понятием множества, способами задания и   способами; описания   множеств;   учить   задавать   множества   различными   развивать логическое мышление учащихся. Ход урока I. Изучение нового материала. 1.   Знакомство   с   новым   понятием   начнем   с   рассмотрения   становления   и развития языка математики со времен Галилео Галилея (1564–1642) до наших дней.  2.   Современный   математический   язык   более   краток   и   в   первую   очередь заменяет   естественный,   разговорный   язык   специальными   буквенными   и символьными выражениями. Он более формализован и унифицирован, то есть подходит   к   рассмотрению   сразу   многих   однотипных   случаев.   Более   100   лет фундаментом   современного   математического   языка   являются   простейшие понятия и обозначения языка теории множеств. 3. Множество состоит из элементов. Если этих элементов немного, то удобно все элементы просто перечислить в каком­нибудь порядке. Чтобы не забыть, что перечисляемые   элементы   объединены   вместе   в   некоторое   множество,   такое перечисление   производят   внутри   скобок     {   ,   }.   Словесное,   поэлементное описание множества, задание множества перечислением его элементов можно рассмотреть в таблице на с. 26 учебника. 4. Замечание 1 на с. 27 (прочитать в учебнике). 5. Множество, элементами которого являются числа, называется  числовым. Для числовых множеств есть естественный порядок перечисления их  элементов от меньшего числа к большему числу.  6. Рассмотреть решение примера 1 на с. 27–29 учебника. 7.   Множество,   не   содержащее   ни   одного   элемента,   называется  пустым. Обозначается символом – Ø. 8. Если число элементов множества достаточно велико (например, несколько десятков, сотен и т. д.) или если множество бесконечно (например, множество всех   натуральных   или   множество   всех   целых   чисел),   то   явное   перечисление элементов   такого   множества   невозможно.   Способы   задания,   описания   таких множеств весьма разнообразны. 9. Рассмотреть примеры в таблице на с. 28–29 учебника. 10. Рассмотреть примеры 2–3 на с. 29–31 учебника.  11. Такие словесные обороты, как «элемент х принадлежит множеству А» или «х  является элементом множества  А» в математике более кратко записывают  xA.   Смысл   знака   принадлежности    легко   запомнить:    –   это так:   перевернутая буква «Э»,  то есть буква,  с  которой  начинается слово элемент. Знак  – это отрицание знака принадлежности .  Запись xA означает, что х не является элементом множества А.  12. Рассмотреть примеры использования этих знаков на с. 31 учебника. 13. Рассмотреть пример 4, с. 31–32 учебника. 14. Замечание 2 на с. 32 (прочитать в учебнике). II.Закрепление изученного материала.  1. Решить № 3.1 (a; б) на с. 19 задачника. a) {6; 7; 8; …}, б) {–6; –5; –4; –3; –2; –1}. 2. Решить № 3.2 на с. 19 задачника. а) множество всех четных цифр. б) все числа вида х + 1, где х ненулевая цифра. в) множество натуральных чисел, кратных трем, которые меньше 31. г) заглавные буквы английского алфавита. 3. Решить письменно № 3.3 (а, б) на с. 19.   a)  13 3   13; 3 х 1 4 . 3   0; х х (    ; 4 ]. 1 3   1 0; х  0;  1 х  0 О т в е т:   1; х х б)   5  1  5  5  1 х х  х  1  4 2 х  1 х О т в е т: (–1; 2). 4. Решить устно № 3.4 на с. 19. а) нет, б) да, в) нет, г) да. 5. Решить № 3.5 (а, б) на с. 19. а) Следует найти множество всех х таких, что является решением неравенства x2≤ 0, то есть   надо   решить   данное   неравенство.   Его решением является одно число х = 0.    О т в е т: {0}. б)   Следует   найти   множество   всех  х  таких,   что   являются   решением неравенства x2 + 18x≤ –81, то есть надо решить данное неравенство x2 + 18x≤ –81; x2 + 18x + 81 ≤ 0; y = x2 + 18x + 81 x2 + 18x + 81 = 0 D = 182 – 4  1  81 = 324 – 324 = 0 x   18 2 9. Решением данного неравенства является одно число х = –9. О т в е т: {–9}. 5. Решить № 3.6 (б, г) на с. 19. б) Нет. Подставим  х  = 0,7 в неравенство  x2  + 16x≤  –64. Получим неверное числовое неравенство 11,69 ≤ –64. г)   Да.   Подставим  х  =   1,001.   Получим   верное   числовое   неравенство 0,003999 2,999 О т в е т: б) нет; г) да. 6. Решить № 3.7 на с. 20. a) x(x2 + 19) + 6 = (2x + 3)(3x + 2) – x2   0. x3 + 19x + 6 = 6x2 + 9x + 4x + 6 – x2     x3 + 19x + 6 – 6x2 – 9x – 4x – 6 + x2 = 0     x3 – 5x2 + 6x= 0     x1 = 0 D = 25 – 24 = 1 x2 = 3, x3 = 2. О т в е т: 0; 2; 3. б) M = {0; 2; 3}. в) {0; 2; 3}, {0; 3; 2}, {2; 0; 3}, {2; 3; 0}, {3; 2; 0}, {3; 0; 2}. г) 6.  О т в е т:  а) 0, 2, 3;   б) M = {0; 2; 3};   в) {0; 2; 3},  {0; 3; 2},  {2; 0; 3},  {2; 3; 0}, {3; 2; 0}, {3; 0; 2}; г) 6. III. Итоги урока. Перечислить способы задания и описания множеств. Домашнее задание: изучить материал § 3.1 на с. 25–32 учебника; решить  № 3.3 (в, г);  № 3.5 (в, г);  № 3. 6 (а, г);  № 3.17 (б)  на с. 19–21 задачника. У р о к  2 Цели:  познакомить учащихся с понятием подмножества, учить перечислять подмножества данного множества; развивать логическое мышление. Ход урока I. Актуализация опорных знаний. 1. Решить на доске задания из домашней работы, вызвавшие затруднения у учащихся. 2.   Какое   множество   называется   числовым?   Приведите   примеры   числовых множеств. 3. Какое множество называется пустым? 4. Перечислите способы задания и описания множеств. 5. Решить задачу № 3.16 на с. 21 задачника. а) Наименьшее натуральное число, куб которого есть трехзначное число, – это 5. То есть 53 = 125. Так же 63 = 216, 73 = 343, 83 = 512, 93 = 729. б) Наименьшее натуральное число из   125; 216; 343; 512 и 729 – это 125, а наибольшее   число   –   729,   так   как   требуется   перечислить   числа   в   порядке убывания от большего числа   к меньшему числу,   то множество  М  равно  M  = {729; 512; 343; 216; 125}. в)   Так   как   требуется   записать   множество  А  последних   цифр   элементов множества М, то надо выписать последнюю цифру каждого из чисел. Например, последней цифрой числа 729 является цифра 9, 512 – цифра 2, 343 – цифра 3, 216 – цифра 6, 125 – цифра 5. Перечислить их в порядке возрастания. Тогда A = {2; 3; 5; 6; 9}. г)   Вторых   цифр   из   множества  М  всего   3   –   это   2;   1;   4.   Если   на   I   место поставить 2, то для двух оставшихся чисел и двух оставшихся мест есть два варианта – {2; 1; 4} и {2; 4; 1}. Если на I месте стоит 1, то также имеется два варианта {1; 2; 4} и {1; 4; 2}. Если на первом месте  стоит 4, то так же имеется два варианта {4; 2; 1} и {4; 1; 2}. Всего способов – 6. О т в е т: а) 5, 6, 7, 8, 9;  б) M = {729; 512; 343; 216; 125};  в) A = {2; 3; 5; 6; 9}; г) 6. 6. Решить задачу № 3.17 (а) на  с. 21 задачника. а) Следует найти множество таких х, что 3(x + 1) – x2> 5, то есть решить это неравенство 3(x + 1) – x2> 5; 3x + 3 – x2> 5; –x2 + 3x – 2 > 0; x1 = 2, x2 = 1. Множество   решений   неравенства   3(x  +   1)   –  x2>   5   –   это   интервал   между корнями x1 = 2 и x2 = 1. О т в е т: (1; 2). II.Объяснение нового материала. 1. Элементы множества А можно объединять не сразу все вместе, а группируя их в разных комбинациях. Так можно получать различные подмножества.  2. Рассмотреть пример 5 на с. 32–33 учебника. 3.  Определение 1.  Если каждый элемент множества  В  является элементом множества  А,   то   множество  В  называют   подмножеством   множества  А. Обозначается: B  A. Знак «» называется знаком включения.  4. Рассмотреть пример 6 на с. 34–35 учебника. 5. Замечание 3 (прочитать в учебнике на с. 35). III. Выполнение упражнений. 1. Решить №  3.8 на с. 20 задачника.  { 8,1; 2; } 17 7   –   это   множество,   из   которого   выбираются   различные двухэлементные подмножества. Перечислим их –  { 8,1; 2},{ 8,1;  },{ 2, 17 7 17 7 }. а) Выберем из них подмножества, состоящие из двух чисел разного знака –  { 8,1; 2},{ 8,1;  это  17 7 }. б) Выберем из них подмножества, состоящие из двух положительных чисел – { 2, 17 7 }. это  в) Выберем из них подмножества, состоящие из рациональных чисел – это  { 8,1; 17 7 }. г) Выберем из них подмножества, среди которых есть иррациональные числа –  { 8,1; 2},{ 2, это  17 7 }. О   т   в   е   т:     а)   17 7  { 8,1; 2},{ 2, г)   { 8,1; 2},{ 8,1;  17 7 } { 2, 17 7 ,       в)   }  { 8,1; 17 7 } ,   ,       б)   }. 2. Решить устно № 3.10 на с. 20 задачника. а)   Включение  AB  –   не   верно,   так   как   множество  А  –   это   множество натуральных чисел, а множество В – множество четных натуральных чисел.  б) Включение  BC  – не верно, так как множество  В  – множество четных натуральных   чисел,   а   множество  С  –   множество   четных   натуральных   чисел, кратных 4. в) Включение CA – верно так как А – множество натуральных чисел, а С – множество четных натуральных чисел, кратных четырем.   г)   Включение  CB  –  верно,  так   как  С  –  множество   четных   натуральных чисел, кратных четырем, В – множество натуральных четных чисел. 3. Решить № 3.11 на с. 20 задачника.    а) AB не верно. б) BC верно. в) CA не верно. г) AC верно. 4. Решить № 3.18 на с. 21 задачника. а) Получится  3 утверждения – 2 {4; 0; 9},2 {4;1; 9},2 {4; 2; 9}. б) Таких утверждений получится 6 –   1 {4; 0; 9}, 1 {4;1; 9}, 1 {4; 2; 9},   2 {4; 0; 9}, 2 {4;1; 9}, 2 {4; 2; 9}. в) Получится 9 утверждений    0 {4; 0; 9}, 0 {4;1; 9}, 0 {4; 2; 9},   1 {4; 0; 9}, 1 {4;1; 9}, 1 {4; 2; 9},   2 {4; 0; 9}, 2 {4;1; 9}, 2 {4; 2; 9}. 3 9 г) Верные утверждения составляют        1 3  всех утверждений. 1 3 . О т в е т: а) 3; б) 6; в) 9; г)  IV.Итоги урока. Сформулировать понятие подмножества. Домашнее задание: изучить материал § 3.2 на с. 32–35 учебника; решить № 3.9, № 3.19 на с. 20–21 задачника. У р о к  3 Цели: познакомить учащихся с операциями над множествами – пересечением   множеств; и   объединением,   учить   находить   пересечение   и   объединение   развивать логическое мышление. Ход урока I. Проверка выполнения домашнего задания. 1. Решить на доске задания из домашней работы, вызывающие затруднения у учащихся. 2. Дать определение подмножества. II. Объяснение нового материала. 1. Изображение множеств в виде плоских фигур очень удобно для наглядного объяснения   различных  операций   над   множествами.   Обычно   множества   при этом   изображают   в   виде   некоторых   кругов.   Такие   круги   называют  кругами Эйлера  в   честь   великого   швейцарского   математика   Леонарда   Эйлера   (1707– 1783), который долгое время работал в России. 2.  Определение   2.  Пересечением   множеств  А  и  В  называют   множество, состоящее из всех общих элементов множества А и В, то есть из всех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В. 3. Рассмотреть рис. 30 на с. 36 учебника.  4. Пересечение множеств А и В обозначается так: А В.  5. Познакомиться с формульной записью определения пересечения множеств А и В: А В = {x | xA и xB}.  6. Рассмотреть пример 7 на с. 36–37 учебника. 7. Часто рассматривается пересечение не только двух, но и трех, четырех и т. д. множеств. Пересечением множеств А, В и С называют множество, состоящее из   всех   элементов,   которые   принадлежат   и   множеству   А,   и   множеству   В,   и множеству С. Обозначают так: А ВC. Рассмотреть рис. 32 на с. 37 учебника. 8. Замечание 4 на с. 38 учебника прочитать. 9.  Определение   3.  Объединением   множеств  А  и  В  называют   множество, состоящее  из всех элементов, которые  принадлежат хотя бы одному из этих множеств – или множеству А, или множеству В.  10. Рассмотреть рис. 33 на с. 38 учебника. 11. Объединение множеств А и В обозначают так: А В.  12.   Познакомиться   с   формульной   записью   определения   объединения множеств А и В: А В {x | xA или xB}. 13. Рассмотреть пример 8 на с. 38–39 учебника. 14. Часто рассматривается объединение не только двух, но и трех, четырех и т.   д.   множеств.  Объединением  множеств  А,  В  и  С  называют   множество, состоящее   из   всех   элементов,   которые   принадлежат   или   множеству  А,   или множеству В, или множеству С. Обозначают так: А ВC. Рассмотреть рис. 39 на с. 41 учебника. 15. Замечание 5 на с. 41 прочитать в учебнике. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 3.12 (а, б) на с. 20 задачника. а)  А  –   множество   всех   натуральных   чисел,   кратных   10;  В  –   множество натуральных чисел от 1 до 41 включительно. Число х принадлежит и множеству А, и множеству В, если это одно из натуральных чисел, больше либо равных 1 и меньше, либо равных 41, кратных 10. Таких чисел имеется ровно четыре: 10; 20; 30; 40. Итак, А В = {10; 20; 30; 40}. б) А – множество всех нечетных целых чисел, В – множество всех целых чисел от 0 до 21, кратных 3. Число х принадлежит и множеству А, и множеству В, если оно нечетное целое число от 0 до 21 включительно, кратное 3. Таких чисе л имеется ровно четыре: 3; 9; 15; 21. Итак, А В = {3; 9; 15; 21}. в) {–10; 0}. г) {2}. О т в е т:  а) А В = {10; 20; 30; 40}; б) А В = {3; 9; 15; 21}; в) {–10; 0}; г) {2}. 2. Решить № 3.13 на с. 21 задачника. № 3. 13 (в) объясняет учитель. а) А  В = (0; 0,9]. б) В  С = [–0,5; 0,9]. в) А  В  D = (0,1; 0,9]. 3. Решить № 3.14 (а, б, в) на с. 21 задачника. а) А  В = [–0,5; 1). б) А  D = (0; 1,1]. в) В  D = [–0,5; 1,1]. 4. Решить № 3.15 на с. 21 задачника. а) {c}, б) {c, d, e, g, k}, в) {c, e}, г) {a, b, c, d, e, f, g, k}. 5. Решить № 3.20 (а; б) на с. 22 задачника. [ 97; 101), ( A B    C ) ( 101;11). а)  А В    А В ( C    [ 97;13]. [ 97; 101), A B ) б)  Ответ: а) ( 101;11),  б) [ 97;13]. 6. Решить № 3.22 на с. 22 задачника. а) 18; б) 14; в) 7.  7. Решить № 3.23 на с. 22 задачника. а) 900 + 700 = 1600 (м2) – площадь участка застройки, если бы она состояла из двух непересекающихся участков.  1600 – 1500 = 100 (м2) – площадь участка, отведенного под гараж. б)   900   –   100   =   800   (м2)   –   площадь   части   первого   прямоугольника,   не отведенная под гараж. в)   Аналогично   б)   700   –   100   =   600   (м2)   –   площадь   части   второго прямоугольника, не отведенная под гараж. г) 600 + 800 = 1400 (м2) – площадь части застройки без учета гаража. Ответ: 100 м2, 800 м2, 600 м2, 1400 м2. IV. Итоги урока. Перечислить основные операции, выполняемые над множествами. Домашнее задание: изучить материал § 3.3 на с. 35–41 учебника; решить № 3.20 (в; г), 3.24, 3.21, 3.25 на с. 22 задачника.