Тема: Модель Леонтьева

ЗАДАНИЕ.   

•      построить   таблицу      межотраслевого баланса      в        стоимостном выражении;

•      найти изменения валовых выпусков при увеличении конечного выпуска первой отрасли на 20%, третьей на 10% и неизменном конечном выпуске второй отрасли;

•      как следует изменить цены на продукцию отраслей, если поставлены задачи увеличения добавленной стоимости в первой отрасли на 20%, а в третьей на 10%.

Дана матрица А коэффициентов прямых  материальных затрат с компонентами (а_ij ) и вектор конечного выпуска у с компонентами ( _уi ).

РЕШЕНИЕ. 

 0,3 0,4 0,1

        

A ⁼ _ 0,2 0,2 0,1_ – матрица коэффициентов прямых  материальных затрат;

 0,3 0,2 0,1

100 

                      

  Y ⁼ _150 _–  вектор конечного продукта.

                      

190 

Коэффициенты прямых материальных затрат показывают объем материальных ресурсов i-го вида, необходимый для производства единицы валового продукта j-го вида. Матрица А продуктивна, т.к. для всех столбцов сумма элементов меньше единицы.

Уравнение межотраслевого баланса в матричной форме:

 x₁ 

X AX Y= + , где    X ^=_ x₂ ^_ – вектор валового выпуска. 

              x₃ 

 Для того, чтобы найти объемы валовой продукции каждой отрасли, перепишем уравнение межотраслевого баланса в следующем виде:

 X AX Y−    = или (E A X Y− ) = . Откуда X E A Y= −(   )⁻¹ .

Находим матрицу С =E A− и обратную к ней матрицу полных затрат

B E A= −( )⁻¹.

                                          1 0 0   0,3 0,4 0,1  0,7         −0,4 −0,1

                                                                                                                

С = E A− ⁼ _ 0 1 0 _{ }−   0,2 0,2 0,1_{ }=  −0,2    0,8   −0,1_

                                                                                                                

                                          0 0 1   0,3 0,2 0,1  −0,3 −0,2         0,9 

Определитель этой матрицы

                          0,7 −0,4 −0,1                    7 − −4 1

detC = −0,2      0,8 − =0,1  0,001⋅−2     8 − =1

                      −0,3 −0,2    0,9                 − −3 2   9

                                         8 −1− −2        1        −2    8

= 0,001⋅ ⋅7        − −( 4)⋅      −1⋅=         −2 9−3   9− −3         2

= 0,001⋅{7 72( − + − − − +2) 4( 18                  3) ( 4      24)}= 0,001⋅( 490− −84     28)= 0,378.

Алгебраические дополнения элементов матрицы С = Е – А:

0,8 −0,1−0,2 −0,1

c₁₁ == 0,72 − 0,02 = 0,70;     c₁₂ =−=− −( 0,18 − 0,03)= 0,21;

               −0,2                            0,9−0,3                            0,9

               −0,2                             0,8−0,4 −0,1

c₁₃ == 0,04 + 0,24 = 0,28;     c₂₁ =−=− −( 0,36 − 0,02)= 0,38;

                                                         −0,3 −0,2−0,2                            0,9

0,7 −0,10,7 −0,4

c₂₂ == 0,63 − 0,03= 0,60;     c₂₃ =−=− −( 0,14 − 0,12)= 0,26;

               −0,3                            0,9−0,3 −0,2

−0,4 −0,10,7 −0,1

c₃₁ == 0,04 + 0,08 = 0,12;     c₃₂ =−=− −( 0,07 − 0,02)= 0,09;

0,8 −0,1−0,2 −0,1

0,7 −0,4

c₃₃ == 0,56 − 0,08 = 0,48.

               −0,2   0,8

Обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:

 0,70 0,38 0,12   1,85 1,01 0,32 

B = (E A− )^{−1 = 1 }_ 0,21 0,60 0,09 ^{ }_{ }= 0,56 1,59 0,24 ^_       

                                           0,378                                                                      

 0,28 0,26 0,48  0,74 0,69 1,27 

Находим объемы валовой продукции каждой отрасли:

 1,85 1,01 0,32 100   396,30   x₁ 

X = (E A Y− )−1 =  0,56 1,59 0,24 150   = 338,89  =  x2 .

                                                                                                                    

 0,74 0,69 1,27 190   418,52   x₃ 

Межотраслевые поставки найдём по формуле  x_ij = a_ij · x_j   ( i,j =1,2,3 ).

Таблица межотраслевого баланса в стоимостном выражении

Находим изменения валовых выпусков при увеличении конечного выпуска первой отрасли на 20%, третьей на 10% и неизменном конечном выпуске второй отрасли.

По условию вектор конечного потребления теперь будет следующим:

          100 1,2⋅   120 

          Y ⁼  150  = 150 

                                       

           190 1,1⋅   209 

 1,85 1,01 0,32  120   439,37 

                                    

Валовый выпуск X B Y= ⋅    ⁼ _ 0,56 1,59 0,24 _ 150 _{ }= 354,52 _.

 0,74 0,69 1,27  209   457,46 

Следовательно, валовый выпуск продукции в 1-ой отрасли надо увеличить с

396,30 до 439,37, т.е. на 10,87%; во 2-ой отрасли – увеличить с 338,89 до 354,52, т.е. на 4,61%; в 3-ей отрасли – увеличить с 418,52 до 457,46, т.е. на 9,30%. 

Анализируем изменение цены на продукцию отраслей, если поставлены задачи увеличения добавленной стоимости в первой отрасли на 20%, а в третьей на 10%.

Модель равновесных цен Ð = B^Ò ⋅V , где  

 p₁ 

P ^{= }_ p₂ ^_– вектор цен;

 p₃ 

 v₁ 

                                                                                                 z _j

V ⁼ _v_{2 } – доля добавленной стоимости, v_j ⁼ _x j ;

v₃ 

 1,85 0,56 0,74 

^T                         

B ⁼ _ 1,01 1,59 0,69 _ – матрица, транспонированная к матрице B.

 0,32 0,24 1,27 

Матрица В^Т является ценовым матричным мультипликатором (матричным мультипликатором ценового эффекта распространения).

Эффект распространения ∆Р, вызванный изменением доли добавленной  стоимости  на    ∆V   может   быть   рассчитан  из   как ∆P B V= ^T ⋅∆   .

            z¹         79,26                       z²         67,78                     z³       292,96

v₁ =     = = 0,20;   v₂ =     = = 0,20; v₃ =     = = 0,70

            x₁       396,30                      x₂        338,89                    x₃       418,52

                0,20                         0,20 0,⋅ 2   0,04 

                                                                     

V =  0,20 ;          ∆V =           0       =    0 ;                                          

                0,70                         0,70 0,⋅ 1   0,07 

 1,85 0,56 0,74  0,04   0,126 

^T                                                        

∆P B=     ⋅ ∆V =  1,01 1,59 0,69  0  =   0,088 

 0,32 0,24 1,27  0,07   0,102 

Следовательно,  для увеличения добавленной стоимости в первой отрасли на 20%, а в третьей на 10% надо увеличить цены в первой отрасли на 12,6%, во второй отрасли на 8,8%, а в третьей – на 10,2%.