МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТЕЙ НА ОСНОВЕ МНИМЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТЕЙ НА ОСНОВЕ МНИМЫх КОЭФФИЦИЕНТов ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА Даутов А. КГУ им. Ш. Уалиханова, г. Кокшетау Здесь   изучается   один   вариант   метода   фиктивных   областей   для   одной краевой задачи для уравнения Пуассона эллиптического типа.  Постановка задачи. Рассмотрим в области  эллиптических уравнений   с границей  S 2R  задачу Дирихле для линейных  v   x  f ,   v S .0 (1) (2) Известный   вариант   метода   фиктивных   областей   для   задачи   (1)­(2)   с , продолжением по младшему коэффициенту сводится к решению в области   строго содержащей в себе  область   :     , 0 D , следующей задачи с малым параметром   v   )( x   v  f  ,    v S .0 1 (3) (4) где: ­ граница области  , D 1S x )( ,0 ,1     xесли 1 DDxесли \ ,  .    (5) f      xf ( ,0 ), если если x  ,  . 1 DDx \ известных работах,   полный   обзор которых   содержится   в  [1:32],   достаточно   хорошо   изучена   задача   (3),   (4).   В работе  [2:45]  доказано   существование   единственного   решения   и   получена оценка: В    v где  C   , при   0 скорости сходимости DWDW ( (  ) 2 2 0 1 2  fC  )  , DL 2 ( ) . В работе [3:34] получена неулучшаемая оценка  v  v    L 2  C  . (6) Далее исследуется модификация метода фиктивных областей для задачи (1)­(2), в котором скорость сходимости выше, чем (6). Итак,   рассмотрим   следующий   вариант   метода   фиктивных   областей продолжением по младшему коэффициенту: v    v)( x    v  DL ) ( 1 2  f  ,  v S 1  0,0   ,1  (7) (8) где  1S ­ граница области  ,  D ,   x xf   ­ определяется по (5). Дальнейшие обозначения пространств взяты из работы [2].  Теперь дадим понятие обобщенного решения задачи (7)­(8). Определение 1. Обобщенным решением задачи (7)­(8) называется функция , удовлетворяющая интегральному тождеству  0 DW v ( 1 2 )  ,v(   DLxx  )  2   1  v DL ) 1 2 (  ,v(  )  DL 1 2  (  (9) ) , DL 2   f  , для каждого   0 DW ( 1 2 ), где u ,(    )  DL 2  ),( u   D dx . Теорема 1.  Пусть   0 DWf   (1 2 , тогда существует хотя бы одно ), 0   1 обобщенное решение задачи (7)­(8) и для него имеет место оценка   v f  2 0 DW ( 1 2  ) 1  v  2  ( DL 2 1  fC ) 2  1 DW (  2 0 DW ) 1 ( 2    ( sup 1  0  DW 1  2  . f ),  DL 2    , ) (10)  (11) Теорема 2. Обобщенное решение задачи (7)­(8) сходится к обобщенному решению задачи (1)­(2) при .0 Доказательство. В самом деле, в силу оценки (10) можно утверждать, что   можно   выделить   подпоследовательность,     для из   последовательности   {v } которой имеют место  v v слабо 0 DWв ( ), 1 2  v v сильно 2 DLв ( ) , при  .0  Переходя  к пределу при  0  в интегральном тождестве (9),  для   получим :  0  2W 1   ,v( x  )  x  ( f , .)  Покажем, что v S .0   Из теорем вложения и оценки (10) имеем  v  C v  DLx ( 1 2 )   1  v ( DL 2 1 ) ( SL 2 )    1  2 C     ,0 при  0 , где 0  .1  Далее v ( SL 2 )   v­v   v  C ( SL 2 ) ( SL 2 ) при .0 Итак, по Теорема  2,   доказана. v S .0 v­v x  DLx ( 2  ) v­v  1  DL ( 1 2   v ) ( SL 2 )  ,0 Определение   2.  Сильным   решением   задачи   (7)­(8)   называется   функция   удовлетворяющая уравнению (7) и краевому условию (8)  v DWDW ( ) (  ), 2 2 0 1 2 почти всюду. Теорема   3.  Если   f  L 2  ( ), CSS 1  , 2 0,   ,1   0 ,   то существует хотя бы одно сильное решение задачи (7)­(8), и для него имеет место оценка   v 2 2 DWDW ( (  ) 0 1 2 где   C  при  .0                 (15)  , C  ) Имеет место следующая оценка скорости сходимости  v  v (1 W 2  )   C     2( )     2  34  .  (16) Литература  1. Вабищевич   П.Н.   Метод   фиктивных   областей   в   задачах математической физики. ­ М.: Изд­во МГУ, 1991. ­ 111с. 2. Ладыженская   О.А.,   Уральцева   Н.Н.   Линейные   и   квазилинейные уравнения эллиптического типа. – М.: Наука, 1964. ­ 538с. 3. Войцеховский С.А. Метод фиктивных областей для эллиптических уравнений второго порядка // Вычислительная и прикладная математика.– Киев, 1981. ­ №58. ­ С.21­26. 4. Куттыкожаева Ш.Н. Об одном варианте метода фиктивных областей //   Материалы  III­й   традиционной   Казахстанско­Российской   научно­ практической   конференции   «Математическое   моделирование   научно­ технологических   и   экологических   проблем   в   нефтегазодобывающей промышленности», 19­20 октября. – Алматы, 2000. ­ С.125.