Научно- исследовательская работа "Геометрия вселенной"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ «Основная общеобразовательная школа № 28» Научно­исследовательская конференция УЧРЕЖДЕНИЕ «Яблоко « 2017               "Геометрия вселенной"             Автор: Осипова Дарья  6класс,МКОУ «ООШ № 28» г. Миасс Научный руководитель:  Фомина Анна Юрьевна, учитель математики, МКОУ «ООШ № 28»           Миасс, 2017  1 Содержание 1. Введение 2. Цель работы 3. Основная часть 4. Цифры и системы счисления 4.1 Зачем числа? 4.2 Простая система счисления 4.3 Позиционная и непозиционные системы счисления 5. Непозиционные системы счисления 5.1 Древнеегипетская десятичная 5.2    Римская пятеричная 6. История арабских чисел 7. Числа 8. Натуральное число 9. Цифры 10.Заключение 11.Список использованной литературы   2 1      Введение Чтобы заглянуть на миллионы лет назад,  не нужно машины времени,  — достаточно поднять голову  и посмотреть на звезды. — Кира Борг         Строение и развитие Вселенной всегда занимало ученых и будет их занимать. Вопросы мироздания ставились и решались наукой. Поэтому не удивительно, что к одному открытию одновременно подходили и физики и математики.        Пространство. Какова его природа? Как оно связано с материей Вселенной? Или оно отделено от нее? Может оно есть лишь создание человеческого ума или ума   божественного?   Только   наука   может   установить   истинное   строение пространства, а значит дает ответ, какой геометрией описывается его строение.  В каждой науке наступает время, когда необходимо собрать воедино все уже известное и из отдельных частей построить здание.         Таким строителем в геометрии стал Евклид. Великий геометр поставил своей задачей   найти   законы,   которым   подчиняются   все   линии   и   тела   в   природе,   и расположить эти законы в стройной системе. Также как из букв складываются слова, весь язык, вся литература, так же из геометрических   элементов   будет   построена   евклидова   геометрия.   Основными элементами   являются   точка,   прямая,   плоскость.   Основные   требования (постулаты),   которым   должны   подчиняться   элементы   или первоначальные допущения, на которых строится вся геометрия, были:   аксиомы, 1. Чтобы от каждой точки к каждой точке можно было провести прямую. 2. И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать по прямой. 3.   И   чтобы   из   любого   центра   можно   было   описать   окружность   любого радиуса. 4. И чтобы все прямые углы были друг другу равны. 5. И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие вместе менее дух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересеклись с той стороны, с которой эти углы составляют менее двух прямых.     3 2  Цель работы  Выяснить в чем заключается геометрия вселенной     3 Задачи работы  Узнать о великих математиках   Изучить геометрические фигуры, связанные с вселенной  Научиться видеть прекрасное      4 Геометрия Лобачевского Н.И. Евклид создал науку, в которой все было взаимосвязано, в которой все логически вытекало из другого. Структурно можно изобразить так: аксиомы (постулаты) – определения – теоремы. Однако,   в   19   веке   нашим   соотечественником   ­   Николаем   Ивановичем Лобачевским была создана удивительная геометрия. Её открытие произвело переворот   не   только   в   математике,   но   и   в   представлениях   людей   об окружающем   мире.   Лобачевский   утверждал,   что   геометрия   Евклида справедлива   для   сравнительно   небольших   расстояний   одной   Солнечной системы с однородной массой и кривизной пространства, равной нулю, то есть связал   геометрию   с   физикой:   «Никакая   математическая   наука   не   должна начинаться   с   темных   пятен,   с   каких,   повторяя   Евклида,   начинаем   мы геометрию. В своих рассуждениях Евклид не учитывал, что Земля круглая, что   пространство,   в   котором   мы   живем,   не   однородное   и   обладает кривизной».  Учитывая   все   это,  по   пятому   постулату   Евклида   возможно   и второе предположение, что через точку вне данной прямой можно провести две   прямых,   параллельных   данной,   а   это   значит,   что   сумма   углов треугольника не постоянна, она зависит от длины его сторон. Чем больше стороны   треугольника,   тем   меньше   сумма   углов   треугольника.   Н.И. Лобачевский написал уравнение, которое связывало стороны треугольника с его   углами.   В   этом   уравнении   был   весь   смысл   новой   неевклидовой «воображаемой геометрии».  Геометрия   Лобачевского   охватывает   безграничные   просторы   Вселенной, огромные пространства, по сравнению с которыми мала не только Солнечная система,   но   и   наша   Галактика.   Он   понимал   и   предвидел   существование пространства   с   более   сложными   свойствами,   чем   понимал   его   Евклид,   и рассматривал   геометрию   реального   многообразного   мира,   движущейся материи.   Лобачевский   связал   воедино   геометрическое   пространство   с физическим.   Позже   это   подтвердит   Эйнштейн   в   своей   теории относительности.   Наше   реальное   физическое   пространство   не   является евклидовым,   если   рассматривать   кривизну   пространства.   Лобачевский рассмотрел   пространство   с   отрицательной   кривизной   и   поэтому   ему   ее 4 называют гиперболической. Под кривизной он понимал величину, обратную к радиусу кривизны, то есть 1/R. При радиусе, стремящемся к бесконечности, кривизна стремится к нулю и получается пространство Евклида. При радиусе, стремящемся   к   нулю,   растет   кривизна,   и   получаем   гиперболическое пространство Лобачевского.  5 Поверхность Римана     Несколько   отличное   направление   предложил   немецкий   математик Бернхард   Риман,   который   выдвинул   ряд   новых   идей   геометрии   на поверхности.  Риман целиком пересмотрел основы геометрии Евклида, вместо них   предложил   свои   собственные   принципы   построения   геометрии.   Он указывает на один из наиболее частных случаев на геометрию пространства положительной кривизны. Поэтому ее называют эллиптической. В отличие от Лобачевского,   Риман   описывает   свою   геометрию   словесно,   без   всяких математических выкладок. Основными понятиями остаются: точка, прямая, плоскость. Примером пространства Римана может служить шаровая сфера, то есть пространство замкнутое. Если плоскую фигуру поместить на сферу, то полного   соприкосновения   не   будет,   так   как   кривизна   у   них   различная. Кривизна плоских фигур равна нулю, а у сферы – больше нуля. Кривизна в геометрии   играет   большую   роль,   является   основополагающим   свойством поверхности.   Отсюда   следуют   законы   геометрии.   Причем,   чем   сложнее поверхности, тем важнее знать кривизну во многих точках. Риман высказывает догадки о существовании пространств и измерений. 6 Сферы        Попробуем   себе   показать,   что   представляют   собой   эти   три пространства: евклидова плоскость, сфера и гиперболическое пространство. Я   думаю,   что   любому   человеку,   изучавшему   геометрию   в   школе,   не составит труда представить евклидову плоскость: представьте, что стол, за которым вы сидите, простирается до бесконечных размеров. Сферические   предметы   также   окружают   нас   повсюду:   возьмите воздушный шар, глобус, футбольный мяч. 5 Рис.2 А вот понять, что такое гиперболическая поверхность, гораздо сложнее, чем  вообразить  сферу,  поэтому  я  хотела   бы  остановиться  на  ней  немного подробнее.   Гиперболические   поверхности   проявляются   в   различных   обликах   в зависимости от того, как мы попробуем их себе представить. Один способ изобразить эту загадочную поверхность был обнаружен великим французским математиком   Анри   Пуанкаре.   В   диске   Пуанкаре   гиперболическая поверхность смоделирована в круге. Рис.3  Модель Диска Пуанкаре В   действительности   же   гиперболическая   поверхность   является бесконечно   большой.   Подобно   евклидовой   плоскости,   она   бесконечна.   В модели   Пуанкаре   для   наглядности   искажен   масштаб.   Так   Пуанкаре представлял себе Вселенную. Модель диска Пуанкаре была художественно представлена в работе голландского члена конгресса художников Мариуца Эшера.   свойственную гиперболической поверхности.  В работе “Предел Круга III” красные, зеленые, синие и желтые рыбы составляют мозаику их мира в созвучии треугольников и квадратов.   В   работе   “Предел   Круга   IV”   ангелы   и   демоны   заключены   в гиперболической троице, остальная плоскость заполнена шестиугольниками и восьмиугольниками.   Эшер   исследовал   бесконечную   симметрию, 6 Рис.4 “Предел Круга III” “Предел Круга IV” При всей привлекательности  модели Пуанкаре, мы не можем в полной мере   осознать   смысла   гиперболической   поверхности,   так   как   ограничены евклидовой перспективой. В течение долгого времени математики полагали, что такую модель в нашем евклидовом пространстве создать невозможно. Но оказывается,   что   есть   способ   представить   гиперболическую   поверхность, который   дает   нам   физическую   возможность   осознать,   по   крайней   мере, некоторые из его свойств.  Давайте   посмотрим   на   обычный   футбольный   мяч.   Он   составлен   из шестиугольников и пятиугольников: ряды белых шестиугольников окружает меньшее число черных пятиугольников. Это пример пространства Римана с положительной кривизной. Рис.5 Попытаемся  представить   его  на   евклидовой  плоскости.  Но  здесь  мы сможем   изобразить   поверхность,   состоящую   только   из   шестиугольников (классический образец улья). Это пример Евклидова пространства. Рис.6 На плоскости каждый шестиугольник (то есть фигур, которая имеет шесть сторон),   окружен   шестью   другими,   и   они   все   сложены   вместе   и   точно заполняют   плоскость.   Чтобы   изготовить   футбольный   мяч,   мы   заменяем 7 некоторые  из  шестиугольников   пятиугольниками  (которые, соответственно, имеют   только   пять   сторон);   таким   образом,   чтобы   полностью   заполнить сферическую  поверхность,  используется   меньшее  число   шестиугольников.  В гиперболической   версии   этой   модели   мы   совершаем   противоположные действия.   Вместо   того   чтобы   заменять   некоторые   из   шестиугольников пятиугольниками, мы заменяем их гептагонами (то есть фигурами, которые имеют семь равных сторон). Теперь, вместо замыкания в сферу поверхность раскрывается: появляется избыток поверхности. Эффект этот подобен тому, что   мы   видим   в   листьях     салата   и   некоторых   типах   водорослей,   где растительная   поверхность   расширяется   от   середины   листа.   Это   примеры гиперболических поверхностей. Рис.7 Естественные примеры гиперболической геометрии математики видят в листьях салата и водорослей, а также в мантиях морских моллюсков.  Рис.8 Гиперболические складки мантии морского моллюска 8 7 Компьютерные модели А так гиперболическую плоскость воспроизвел на компьютере математик Джеффри Виксом Рис.9 Компьютерная модель гиперболической поверхности Компьютерная   модель   неосязаема   и   плохо   подходит   для   проведения экспериментов.   Бумажную   модель   гиперболической   поверхности   можно склеить из нескольких равносторонних треугольников так, чтобы в каждой вершине сходились семь треугольников. Однако и бумажная модель неудобна для восприятия, трудна в изготовлении и обращении, очень хрупка, в чем нетрудно убедиться.  Оригинальный   способ   представления   гиперболической   поверхности изобрела математик Корнуэльского университета Дайна Таймина.   Дайна с детства   любила   вязать.   В   1997   году   она   решила   связать   свою   первую гиперболическую   поверхность,   чтобы   наглядно   продемонстрировать студентам ее свойства. Метод,   который   она   использовала,   было   вязание   крючком.   Сущность такого строительства состоит в простом увеличении числа петель в каждом ряде.   На   такой   модели   многие   из   характерных   свойств   гиперболической поверхности   теперь   становятся   видимыми   глазу   и   могут   быть   показаны непосредственно на модели.  9 Рис.10 Вернемся к сфере. Отрезанная от сферы круглая «шапочка» при распластывании на плоскости разрывается точно так же, как выпуклый кусочек кренделя. Значит, длина окружности круга на сфере меньше длины окружности плоского круга, имеющего такой же радиус. Поэтому говорят, что сфера имеет постоянную положительную кривизну. Рис.14 Если же вырезать круг из гиперболической поверхности, то при распластывании он будет сморщиваться и накладываться сам на себя. Значит, его площадь больше площади плоского круга того же радиуса. Говорят, что гиперболическая поверхность имеет постоянную отрицательную кривизну. 10 Рис.15 Итак,   теперь   мы   знаем,   что   представляют   собой   возможные   типы поверхностей: евклидова плоскость, сфера и гиперболическая поверхность. Но применимы ли к последним двум поверхностям теоремы обыкновенной стереометрической геометрии, которую мы учим в школе? На первый взгляд, применимы.   Между   тем,   если   присмотреться   к   сфере   и   гиперболической поверхности внимательнее ­ а для этого подойдёт обыкновенный  глобус и вязаная модель, ­ легко обнаружить немало удивительного.  8 Постулат Евклида Рассмотрим   пятый   постулат   Евклида,   который   определяет   условия параллельности линий. Проведем прямую и обозначим точку Р, не лежащую на этой прямой. Рис.11 Теперь   проведем   прямую   линию   через   точку.   Каков   результат?   Пятый постулат   Евклида   говорит,   что   есть   только   одна   линия,   которую   можно провести   через   P,   которая   никогда   не   будет   пересекать   первоначальную линию. 11 Рис.12   Все другие линии отклонились бы относительно первоначальной линии и в конечном   итоге   пересекли   бы   ее.   Мы   говорим,   что   параллельные   линии   не пересекаются   и   обозначаем   их   небольшими   стрелками,   указывая,   что   они продолжаются на неопределенное расстояние, не пересекаясь между собой. Это кажется неоспоримым. Лобачевский и Риман предложили опровержение этого постулата. Возьмите нить и натяните её между двумя пунктами на глобусе. Она пройдёт по кратчайшей линии на сфере, соединяющей эти пункты, и укажет, в частности, наилучший   маршрут   для   самолета.   Если   вы   проложите   такой   маршрут   из Москвы   в   Нью­Йорк,   находящийся   примерно   на   одной   широте   с   Баку,   то обнаружите, что путь лайнера проходит севернее, чем, возможно, вы ожидали, ­ через Скандинавию и близко от Гренландии. Что же это за линия? Ответ станет ясен,  если   взять   точки   на   экваторе.   Тогда   и  вся   нить   пройдёт   по   экватору. Экватор является одной из больших окружностей сферы, то есть окружностей наибольшего   радиуса.   Они   образуются   при   пересечении   сферы   её диаметральными, проходящими через центр, плоскостями. Из других линий на глобусе кроме экватора большие окружности образуют так же меридианы. Рис.13 Именно большим окружностям и отводится роль прямых в сферической геометрии. Как правило, через две точки на сфере, как и на плоскости, можно 12 провести   только   одну   сферическую   прямую.   Исключение   составляют диаметрально   противоположные   точки:   например,   через   полюсы   на   глобусе проходит бесконечно много меридианов. Но в отличие от обычной геометрии любые   две   сферические   прямые   пересекаются   в   двух   диаметрально противоположных точках ­ на сфере отсутствует само понятие параллельности. Другое   существенное   отличие   прямой   на   сфере   от   прямой   на   плоскости заключается в том, что сферическая прямая замкнута: двигаясь по ней всё время в одну сторону, мы в конце концов вернёмся в исходную точку, то есть точка не разбивает сферическую прямую на две части, подобные лучам обычной прямой.  Если мы возьмем гиперболическую поверхность и проведем на ней прямую линию, то она также как и на сфере не будет восприниматься как прямая на плоскости. Она будет казаться очень сильно искривленной, но можно проверить, что это не соответствует действительности. Так, желтые линии в модели ниже, изогнутые на вид, на самом деле представляют собой прямые. Рис.14 Можно   видеть,  что   на   гиперболической   поверхности   постулат   Евклида   о параллельности линий также нарушен: в модели ниже есть три гиперболические прямые, которые проходят через одну точку, не лежащую на гиперболической прямой   (той,   что   в   основании).   Все   три   из   верхних   прямых   никогда   не пересекают   первоначальную.   Таким   образом,   пятый   постулат   Евклида   на гиперболической поверхности также не действует. 13 Рис.15 Из школьной программы мы знаем, что сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов. Это верно на евклидовой плоскости, но это не верно на сфере или на гиперболической поверхности.  Сферический   треугольник   впервые   ввел   в   геометрический   обиход   и исследовал Менелай из Александрии (I в.). Его труд "Сферика" стал вершиной достижений   греков   в   сферической   геометрии.   Менелай   перенёс   на   сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при   котором   три   точки   на   сторонах   сферического   треугольника   или   их продолжениях   лежат   на   одной   прямой.   Многие   свойства   сферического треугольника почти дословно повторяют свойства обычного треугольника. Или, например,   три   признака   равенства   треугольников.   Понятно,   что   все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере. Рис.15 14 На   сфере,   сумма   внутренних   углов   треугольника   всегда   больше   чем   180 градусов, поэтому треугольник на сфере может иметь сразу три прямых угла, если,   например,   он   ограничен   двумя   перпендикулярными   меридианами   и экватором. Рис.16 На гиперболической поверхности сумма углов треугольника меньше, чем 180 градусов. Кроме того, с увеличением длины сторон, углы треугольника будут уменьшаться. А если вершины треугольника бесконечно далеко удалить друг от друга для  создания наибольшего треугольника, углы будут стремиться к нулевой величине!  Рис.17 C  помощью неевклидовой геометрии люди получили новое представление о пространстве, а также о происхождении и форме Вселенной. 15 Споры   о   том,   что   представляет   Вселенная:   евклидово   пространство (плоская   Вселенная),   сферическое   пространство   (замкнутая   Вселенная)     или гиперболическое (открытая Вселенная) не разрешены до настоящего времени. Рис.18 Будущее   Вселенной   зависит   от   ее   геометрии.   Если   Вселенная   имеет сферическую геометрию, то она в конце концов снова будет сжиматься. Если ее геометрия гиперболическая, то расширение будет продолжаться вечно. Если же геометрия   Вселенной   евклидова,   то   она   тоже   будет   вечно   расширяться,   но скорость   расширения   будет   стремиться   к   нулю.   В   принципе   можно   было   бы узнать, какова геометрия Вселенной, наметив гигантский треугольник и точно измерив сумму его внутренних углов. Если бы сумма углов оказалась больше 180°, то геометрия пространства была бы эллиптической; если бы сумма углов была равна 180°, то геометрия была бы евклидовой; если же сумма оказалась бы меньше 180°, то геометрия была бы гиперболической.  Немецкий   математик   Карл   Фридрих   Гаусс   ещё   в первой   половине   XIX столетия понимал, что реальное пространство окружающего мира может быть и неевклидовым.   Проводя   многолетние   геодезические   работы   в Ганноверском королевстве,   Гаусс   задался   целью   с помощью   прямых   измерений   исследовать геометрические   свойства   физического   пространства.   Для этого   он выбрал   три удаленные одна от другой горные вершины — Хохенгаген, Инзельберг и Броккен. 16 Стоя на одной из этих вершин, он направлял отражённые зеркалами солнечные лучи   на две   другие   и измерял   углы   между   сторонами   огромного   светового треугольника.   Тем   самым   он пытался   ответить   на вопрос:   искривляются ли траектории световых лучей, проходящих над сферическим пространством Земли? (Кстати, примерно Николай Иванович Лобачевский предложил экспериментально исследовать вопрос о геометрии физического пространства, используя звездный треугольник.) Если бы Гаусс обнаружил, что сумма углов светового треугольника отличается от 180 градусов, то последовал бы вывод, что стороны треугольника искривлены   и реальное   физическое   пространство   неевклидово.   Однако в пределах   ошибки   измерений   сумма   углов   „проверочного   треугольника Броккен — Хохенгаген — Инзельберг“ составляла ровно 180 градусов. Таким образом, в малых (по астрономическим меркам) масштабах Вселенная предстает как евклидова (хотя, конечно, по этому эксперименту сделать такой вывод о всей Вселенной нельзя). Согласно   последним   исследованиям   и   теориям   ученых   наша   Вселенная   в основном   плоская   с   небольшой   кривизной,   но   окончательный   вывод   пока   не сделан,   мнение   ученых   относительно   данного   вопроса   постоянно   меняется,   у многих  современных   астрофизиков   есть   серьезные   основания   полагать,   что геометрия  Вселенной, в которой мы живем, может быть  сходна  с  геометрией гиперболических   поверхностей,  поэтому   неэвклидова   геометрия   остается актуальной и при изучении космоса. Следовательно, искривленность сферических и гиперболических поверхностей – не просто математический курьез. Изучая эти поверхности,   мы   сможем   больше   узнать   об   окружающем   нас   мире, способствовать движению науки. Заключение В результате проделанной работы мною  были выполнены задачи: 17 1. Какие ученые внесли вклад в изучении геометрии вселенной 2. Проследить,   как   поменялось   изучение   вселенной   на   протяжении нескольких веков. 3.  Выяснить, кто первый занялся этим изучением. В ходе проектно­исследовательской деятельности  найдено  много интересной и познавательной информации по истории геометрии вселенной. Работа по  поиску нужного материала была полезной и увлекательной.  Я научилась анализировать материал и систематизировать его.  В перспективе планируется продолжить сбор о геометрии вселенной, а также  рассказать, как она прекрасна. Литература: 18 1. Бонола   Р.   Неевклидова   геометрия.   Критико­историческое   исследование   её развития. – С.­Петербург, 1910. – 213 с. 2. Букреев Б. Я. Планиметрия Лобачевского в аналитическом изложении. – М.­Л., 1952. 3. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике /М. Я. Выгодский. – М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2002. – 992с., ил.              4. Гуль И. М. Геометрия Лобачевского. – М.­Л.: Акад. пед. наук РСФСР, 1947. – 100 с 5. Энциклопедический словарь юного математика: Для сред. и ст. шк. возраста /Сост. Савин А. П. – 2­е изд., испр. и доп. – М.: Педагогика, 1989. – 349 с., ил. 6. Энциклопедия элементарной математики. Кн. 4. Геометрия. – М.: Физматгиз, 1963. – 568 с., ил. 7. Энциклопедия элементарной математики. Кн. 5. Геометрия. – М.: Наука, 1966. – 624 с., ил. 9. Математика трехмерных многообразий У.П. Терстон, Дж. Уикс. ­ // «В мире науки» № 9 – М., 1984 год 10. А.Мадера. Какую форму имеет наша Вселенная? ­ // «Наука и жизнь» 11.   А.Д.   Линде   Лекция   на   тему:   «Многоликая   Вселенная»   ­   Интернет   сайт «Элементы большой науки» 12. Daina Taimina Hyperbolic Space Crochet Models – Интернет сайт. Daina Taimin 19